垂直提升管道输送过程中的流固耦合效应分析＊

周知进，卢 浩，王 钊，左明健

（1.湖南科技大学机电工程学院，湖南 湘潭411201；2.湖南科技大学机械设备健康维护省重点实验室，湖南 湘潭411201；3.阿尔伯塔大学机械工程系，埃德蒙顿，T6G2M7）

流体－结构相互作用问题和一般的多物理场问题往往过于复杂而难以分析解决，所以它们要通过实验或数值模拟方法完成。由于在计算流体力学和计算结构动力学领域的研究工作取得长足进展，这些领域的成果使流体－结构相互作用的数值模拟得以完成。模拟流体－结构相互作用问题有2种主要方法：

单片方法：管流方程和结构位移同时解决，用一个单一的求解器一同解决；

分区方法：分别采用2个不同的求解方程来求解流体和结构位移，

单片方法需要这个物理问题特定组合分区的方法，而保留软件模块，因为有现成的流动求解和结构求解耦合的代码。此外，分区的办法，由于流动方程和结构方程的不同，可能更利于开发专门的流体方程和结构方程的解决方案。另一方面，在分区模拟中需要稳定和精确的耦合算法。

同时Newton－Raphson方法和不动点迭代可以用来解决流固耦合作用（Fluid－Structure Interaction，简称FSI）问题。基于Newton－Raphson迭代方法在单片［1－3］和分区［4－5］方法中被使用。采用 Newton－Raphson的这些方法解决非线性流体方程和结构方程。在Newton－Raphson内的迭代线性方程组可以解决系统没有雅可比矩阵迭代法先验知识的系统，而用矢量雅可比产品有限差分进行近似。

而Newton－Raphson方法解决在整个液体和固体域的状态流动和结构性问题，它也有可能重新用于在界面位置未知数的多自由度系统的FSI装置问题。这个域分解凝结成了1个与界面有关的子空间FSI误差［6］问题。因此具有未知界面位置的这个FSI问题或者成为了1个求根或者1个固定点问题。

采用Newton－Raphson迭代的界面牛顿－拉夫森方法解决寻找这个解的问题，例如：雅可比近似线性递减物理模型［7－8］。在耦合迭代过程中采用最小二乘模型耦合黑箱子流体界面拟牛顿法雅可比来逆向逼近求解流体和结构［9］。这种技术是基于界面拟牛顿最小二乘模型，其中重新表示FSI问题作为1个系统界面的位置和界面上的应力分布作为未知数方程的雅可比矩阵逼近技术。该系统解决了高斯－赛德尔类型的流体求解和结构求解雅可比矩阵块拟牛顿迭代逼近最小二乘模型［10］。

固定点问题也可能用固定点迭代解决，也被称为高斯－赛德尔迭代［6］，这意味着流体问题和结构性问题都相继解决，直到变化小于收敛准则。然而，迭代收敛速度慢，尤其是当流体和结构之间的相互作用很强时，特别是高密度流体／结构比例或不可压缩的流体的情况［12］。适用基于以前的固定点迭代能被Aitken松驰和最速下降松弛因子稳定和加速收敛［10］。

如果流体和结构之间相互作用较弱，仅仅在每1个时间步需要1个固定点迭代。这些所谓的交错或松散耦合方法不强制执行1个时间步内的流体结构界面上的平衡，但它们适用于带有重型的和相当刚性的结构模拟。部分研究分析了用于模拟流体－结构相互作用分割算法的稳定性［11－12］。

垂直悬臂提升管道在输送固液两相流过程中，管道（固体）为弹性体，受到内外流体作用，流体的作用引起管道壁发生变形或运动，管道的变形或运动又反过来改变流场形态，从而改变流动状态，流动状态的改变又会影响管道的运动和变形，管道与流体之间的这种相互作用，在不同约束支撑下将产生多种形态各异的流固耦合现象［3］，即管道与流体之间的耦合作用。以往学者大多对水平输送、固定支撑（多约束）、弹性支承等管道振动进行研究［4－7］，对于垂直单端支撑提升管道振动研究较少，更没有考虑柔性支撑情况下输送过程的流固耦合作用，所得结果精度不高［13－14］。

1 扬矿硬管流固耦合数学模型

对扬矿硬管工作状态进行计算分析的时候，扬矿硬管内部固液两相流体和外部海水必然都是相互影响的。流体作用力施加到管壁（结构）上，结构的变形反过来影响流体区域，这样就形成了流固耦合过程。

流固耦合边界位移协调方程［15］：

流固耦合边界力平衡方程：

式中：df为流体位移；da为结构位移；τf为流体的应力；τs为结构的应力。

将这些值定义在流固耦合界面上。由位移协调方程来决定流固耦合边界上流体节点的位置，另外由力平衡方程决定在流固耦合边界上的应力，根据公式：

式中：hd为结构节点的位移；τf为流体的应力。流体均布力积分为集中力施加到结构节点上。

流固耦合中流体和结构模型的时间积分必须是相容的，在ADINA中流体和结构在流固耦合界面上2个坐标系是相同的，都是用lagragian坐标系。流体和结构的方程分别用Gf［f，f′］＝0和Gs［d，d′，d″］＝0来表示，以f和d分别表示流体和结构的变量。流体的速度和加速度分别表示为：

方程中t＋Δt时刻的速度和加速度可以用位移未知量来表示：

将这个公式应用到耦合系统中，可以得出时间积分格式为：

Gs（t＋Δt）≈Gs［dt＋Δt，dt＋Δta＋ξt，dt＋Δtb＋ηt］＝0 （9）流固耦合有限元方程则表示为：

式中：Xf、Xs分别为流体和结构节点上的解向量；Ff、Fs分别是Gf和Gs相应的有限元方程。

在这个问题中，内外部流场作用力引起了结构的变形，同时结构的位移又影响流场的状态，两者相互作用。在考虑2种作用时流固耦合分析称为双向耦合，流固耦合分析中流固耦合方程必然是非线性的，所以使用迭代方法得到解。ADINA中使用应力、位移或者应力和位移来检查迭代收敛性。

2 扬矿管道有限元模型

2.1 管道模型的建立

管道几何模型采用ADINA—native建模方式，本文根据不同截面尺寸建立管道几何模型，按照相关要求定义和施加边界条件，一种是对管道上端按照固接情况施加约束，另一种是对管道上端按照铰接情况施加约束，施加载荷类型为Mass Proportional，在Z轴负方向定义 Magnitude为9.8m／s2，管道单元采用3D solid单元，单元划分采用8节点3D实体单元，网格密度在线、面、体建模时依次设置，并选择小变形假设。

2.2 流体模型的建立

将管内流体简化成圆柱体，采用native建模方式，流体单元采用3DFluid单元，单元划分采用8节点3D实体单元，并根据输送流体体积浓度等情况不同设置管内液体参数；管外流体区域大小选择为管道结构的7倍［15］，单元选择与划分和管内流体相同。

得到的管道流体流固耦合有限元模型及管道、管外流体、管内流体有限元模型见图1。

图1 管道、流体、管道流体有限元模型Fig.1 Finite element model of pipe and fluid and pipefluid coupled

3 仿真及结果分析

3.1 不同输送矿石体积浓度对管道固有频率的影响

扬矿管道输送不同体积浓度矿石颗粒会对管道产生不同程度的振动，管道固有频率受矿石颗粒体积浓度影响程度不一样。

选取同一管道结构，分析不同矿石颗粒体积浓度对管道固有频率的影响，选取管段长度11m，管内径为206mm，壁厚10mm，弹性模量210GPa，泊松比0.3，密度为7800kg／m3。管外流体为水，密度为1 000kg／m3，体积模量为2×109N／m2，流速设定为0.1m／s。管内输送矿石颗粒密度为2 040kg／m3，体积浓度分别为5%、10%、15%，上端采用固接约束，对管道进行流固耦合模态分析，计算3种输送浓度下管道的前6阶固有频率与相应振型，并将管内流体—管道二者耦合、管内流体—管道—管外流体三者耦合与不考虑流固耦合效应进行对比，且定义考虑流固耦合与不考虑流固耦合的管道固有频率之比为影响系数［15］。管内流体—管道二者耦合固有频率、管内流体—管道—管外流体三者耦合固有频率仿真结果如表1、表2所示，相应的曲线见图2～3。

表1 不同输送浓度的管内流体—管道二者流固耦合管道固有频率Table 1 Natural frequency of fluid－pipe coupled under different transporting volume concentrations

表2 不同输送浓度的管内流体—管道—管外流体三者流固耦合管道固有频率Table 2 Natural frequency of internal fluid－pipe－outer coupled under different transporting volume concentrations

图2 不同浓度下管内流体－管道耦合频率Fig.2 Both coupled frequency under different concentration

图3 不同浓度下管内流体－管道－管外流体耦合频率Fig.3 Three coupled frequency under different concentration

由表1、2可以看出：（1）管道的前6阶固有频率，第1、2阶，第3、4阶，第5、6阶数值相同，振型也相同，只是振动方向不同，即存在强的对称性，1、2阶振型表现为横向偏移，3、4阶振型表现为单向弯曲，5、6阶振型表现为双向弯曲；（2）管道流固耦合固有频率随着输送浓度的增大而降低，同一阶固有频率的影响系数也呈递减趋势，即管内输送流体浓度越大，考虑流固耦合的固有频率较不考虑耦合时差异越明显；（3）不同阶次固有频率影响系数不同，即不能单纯的乘以1个系数来处理，在实际的管道输送中应该考虑流固耦合效应对固有频率的影响，尽量使管道固有频率远离工作频率，避免管道共振情况的发生；（4）考虑管内流体—管道—管外流体三者流固耦合时管道固有频率较只考虑管内流体—管道二者耦合要低，比不考虑流固耦合时更低，影响系数也呈下降趋势。

从图2和图3可以看出，在体积浓度较低情况下，浓度小幅波动对流固耦合管道固有频率影响较小。考虑流固耦合与不考虑流固耦合情况随着模态阶次提高，管道固有频率差异越来越大。如输送浓度5%时管内流体－管道二者耦合时其固有频率相差分别为：一阶相差0.4Hz、三阶相差2.5Hz、五阶相差11.15Hz。只考虑管内流体－管道耦合的管道固有频率比考虑管内流体－管道－管外流体三者耦合求得的固有频率高4Hz左右。

3.2 不同管道截面对管道流固耦合固有频率的影响

管道的截面尺寸由直径和壁厚决定，扬矿管道根据设计要求具有多种截面，本文用壁厚与管径之比［14］即管道相对壁厚d来讨论其对管道流固耦合固有频率的影响。下面以管内流体为5%体积浓度的矿石颗粒，支撑条件为管道上端固接，计算各种截面参数下管道的前6阶流固耦合固有频率。由于其1阶与2阶，3阶与4阶，5阶与6阶固有频率相同，故选择1阶、3阶、5阶频率为对象讨论管道截面尺寸对流固耦合固有频率的影响。计算结果如表3所示，相应曲线如图4、5、6、7所示。

表3 不同截面参数下管道流固耦合固有频率Table 3 Natural frequency of fluid－pipe interaction under different cross－section

从表3和图2可以看出，流体对管道流固耦合固有频率的影响程度随着相对厚度d值的增大而减小，因为d值越大说明管壁相对越厚，流体对管道的作用效应相对就弱，则流固耦合效应对固有频率的影响就小。考虑管内流体—管道—管外流体三者耦合比考虑管内流体—管道二者耦合时各阶固有频率均降低，三者耦合时相差比二者耦合时大，说明了考虑三者耦合时计算结果更加趋于精确。

4 结论

本次调查基于有限元软件ADINA－FSI模块的利用，建立了管道流固耦合有限元模型，对管道－流体之间相互作用进行了流固耦合模态分析，讨论了不同输送体积浓度、不同管道截面尺寸下流固耦合效应对管道固有频率的影响。结果表明：

（1）扬矿管道流固耦合固有频率随着管内输送矿石颗粒浓度的增大而降低，考虑管内流体—管道—管外流体三者流固耦合时的管道固有频率较只考虑管内流体—管道二者耦合和不考虑流固耦合时要小，影响系数也相应降低，即考虑三者流固耦合时管道固有频率结果更加精确。

图7 相对误差%与管道相对壁厚b的关系曲线Fig.7 The curve of relative proportion of FSI natural frequency of pipe with d

（2）流体对管道流固耦合固有频率的影响程度随着相对厚度d值的增大而减小，在考虑管内流体—管道—管外流体三者流固耦合时管道固有频率较只考虑管内流体—管道二者耦合相对误差增大，说明了考虑三者流固耦合的重要性。

（3）在实际的扬矿管道输送中应该考虑输送流体颗粒浓度、不同相对管道壁厚对管道固有频率的影响及管内流体—管道—管外流体三者流固耦合作用对固有频率的影响，尽量使管道固有频率远离工作频率，避免共振情况的发生。

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