地震拖缆的复模态振动主动控制

张 亮，张维竞，刘 涛

(上海交通大学海洋工程国家重点实验室，上海 200030)

在海洋石油勘探中，拖曳阵列被广泛使用。海洋地震勘探由一个拖曳船，一组零浮力拖缆和探测控制设备等组成。为探测由海底返回的声波，在拖缆上均匀分布着水听器组。国际上，目前拖缆的长度一般为3 000 m左右，一个典型的拖曳形状如图1所示。在拖曳的时候，拖缆由深度控制器(水鸟)控制，通常情况下这些控制器沿拖缆每隔100～300 m布置一个。

拖缆系统的动力学模型已经被数位学者研究过，例如Dowling，Triantafyllou G，Chryssosdis［2］，Pedersen E，Sorensen［3］，Svein Ersdal［4］，上述学者主要研究了拖缆系统的线性化模型。Tu Duc Nguyen［5］基于边界测量，设计了指数稳定的观测器，同时利用观测器和边界测量的信息，设计了一个指数稳定的控制器。段磊，张小卿［6-7］设计了一种新的控制拖缆姿态的控制器，可以在深度和水平方向控制拖缆。刘涛，张维竞［8-9］基于lyapunov方法研究了拖缆系统主动振动控制规律。上述控制规律方面的研究都主要集中于拖缆系统的运动稳定性，在抑制拖缆系统振动性能方面的研究文献还比较少见。

图1 海上地震勘探系统Fig.1 Marine seismic surveying system

实模态控制方法是一种发展较为成熟的技术，但由于地震拖缆的重阻尼特性，采用比例阻尼来代替实际阻尼特性的近似方法，不能真实反映地震拖缆系统的动力特性，从而使得实模态主动控制策略难以实施。因此，首先建立了地震拖缆系统的有限元模型，基于模态观测器，在独立复模态空间，通过选择合适的权重矩阵，对地震拖缆的低阶模态，设计了稳定的最优控制规律。

1 拖缆系统运动方程和有限元模型

地震拖缆系统的线性化模型［4］:

式中:m表示单位缆长的质量与其附加质量之和;Q(x)=T(x)-aU2，U表示拖曳速度，a表示单位缆长的附加质量;T(x)=T0+ft(l-x)，T0是拖缆尾端张力，ft=0.5ctρπdU2，ft表示单位缆长切向水阻力，ct表示切向水阻力系数;l表示拖缆的长度，ρ表示海水的密度，d是拖缆的直径;a1=2aU;fn=0.5cnρπdU2，fn表示单位缆长法向水阻力，cn表示法向水阻力系数。

使用有限元方法能够将上述控制方程离散，得到系统的有限元模型，详细的有限元建模可参考文献［4］。

式中:M表示n×n质量矩阵，C是n×n线性化水阻尼矩阵，G是由拖缆的轴向运动引起的n×n陀螺阻尼矩阵，K是n×n系统的刚度矩阵，F表示n×1节点力向量，能被分解为

式中:Fc表示由水鸟提供的控制力，Fd表示扰动力。

2 控制描述

将系统的有限元模型转化为状态空间模型，令

其中，yi表示拖缆垂向速度，yn+1表示拖缆垂向位移 。

则可以将式(4)写成

上式是一组2n个耦合的一阶常微分方程。

应用左右特征向量的双正交性［10］，可解耦上述方程。

使用下面的线性变换，原状态向量X(t)能够被转换到模态坐标

其中，R就是右模态矩阵。利用双正交性可以获得下列一组解耦的模态方程

其中，Q(t)=LTBV(t)，L是包括左特征向量的实部和虚部的模态矩阵。模态矩阵L，R满足LTR=I。方程(10)包括n对下列形式的解耦的模态方程

3 最优独立模态空间控制

控制的目标是最小化系统的响应。最优独立模态空间控制通过最小化目标泛函得到

其中，Js是稳态系统响应的独立模态泛函，k是被控的模态数。

其中，Es是权重矩阵。

从最优控制理论可以得到最优的独立模态控制力是

其中，Ks为最优控制器设计的反馈增益矩阵，Ss可以通过求解下面的Riccati方程获得

Riccati矩阵是一个2×2矩阵，由于矩阵的对称性，对每一个仅仅需要求解3个元素。在地震拖缆控制系统中，水鸟提供的控制力正比于水鸟中电机所消耗的能量，即式(13)中的第二项代表的是水鸟的能耗。

权重矩阵Es如果选择不当［11］，可能会导致闭环系统的不稳定。采用新的设计方法［11-12］使用一个具有相对角同元素的对角权重矩阵Es=diag(Es11，Es11)能保证系统的稳定性，相应的最优控制的Riccati方程的解就变为:

则最优独立模态空间控制的控制输入为

在计算反馈控制力时需要精确的模态状态，因为深度传感器的测量是实际的位移和速度，需要将传感器的读数转换为模态状态参数。这可以通过观测器或者模态滤波器实现，模态滤波器有众多的优点，但进行模态滤波时需要较多的传感器，实际的拖曳系统的传感器数目较少，因此可以通过状态观测器实现传感器的读数到模态状态参数的转换。

4 数值仿真

通过数值计算可验证上述控制策略的有效性。仿真长度为900 m的拖缆，有限元模型共有90个元素，即n=90。拖缆系统运动方程的初始条件为:φ(x)=sin(2πx/900)，φ(x)=0。仿真使用的数据见表1。

表1 拖缆系统参数Tab.1 Parameters of towed seismic cable

由于拖缆张力为一沿拖缆长度变化的量，为了更有效地控制拖缆系统的动态行为，在250 m、450 m、600 m和800 m处配置水鸟。选择250 m和600 m处的水鸟控制拖缆的第一阶模态，450 m和800 m处的水鸟控制第三阶模态。对400 m拖缆处施加一个冲击载荷，图2给出了550 m处拖缆系统的响应，由图可以看出与未控制拖缆相比，在550 m处被控制拖缆有较好动态响应。

图3给出了4个水鸟的作用力变化图。各水鸟提供的作用力完全在现有水鸟能够提供的变化力范围之内。由图3(a)、(b)可见，在拖缆张力较大的前端，也就是250、450 m处的水鸟对外扰施加的作用力较大，但能够较快地收敛到零，而处于拖缆张力较小的尾部，也就是600、800 m处的水鸟，虽然需要施加的作用力较小，但却需要较长的时间才能收到零，这些是和实际情况相符合的。

图2 550 m处拖缆的位移响应Fig.2 Displacement response of seismic cable at 550 m

图3 不同位移水鸟的作用力Fig.3 Force provided by bird

图4给出了拖缆前三阶模态的变化图。从图4(a)、(c)可以看出，由于对第一、三阶模态施加了控制力，这两阶模态得到了较好的抑制;而从图4(b)可以看出，第二阶模态非但没有得到抑制反而有所增强，这是由第一、第三阶模态的控制力溢出引起的。

图4 拖缆前三阶模型变化Fig.4 Response of the first three mode

5 结语

对地震拖缆的振动主动控制进行了初步研究。由于地震拖缆系统的重阻尼特性，使得用比例阻尼近似实际拖缆阻尼特性将产生较大误差，为解决无法在实模态空间进行有效的控制策略设计问题，基于拖缆系统的有限元模型，在拖缆系统的复模态空间，使用两个作动器(水鸟)控制拖缆系统的一阶复模态，设计了稳定的最优复模态控制规律。数值仿真的结果表明，通过由水鸟提供的控制力控制拖缆系统的第一、三阶模态，能够快速地抑制一、三阶模态的振动，但是控制力也会溢出到第二阶模态，因此如何有效地减少控制溢出的问题是下一步工作的重点。基于复模态的地震拖缆最优控制策略，综合考虑了水鸟耗能和抑制拖缆振动，在最大程度地利用水鸟自带电池能量的基础上，有效地抑制拖缆振动，既能减少水鸟更换频率，又能提高地震勘探数据采集质量，进而提高勘探作业的效率。

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