受面内激励和横向外激励联合作用下蜂窝夹层板的双Hopf分叉*

周艳 张伟 孙敏 陈建恩

(北京工业大学机电学院，北京 100124)

受面内激励和横向外激励联合作用下蜂窝夹层板的双Hopf分叉*

周艳†张伟 孙敏 陈建恩

(北京工业大学机电学院，北京 100124)

随着航空航天事业的发展，对各种材料性能的要求也越来越高．而蜂窝夹层板在结构和性能上具有许多优点，已在航空航天等领域应用广泛，并在一些重要结构中充当承力部件，但由于其特殊的蜂窝结构，相对于一般的板，在受力时会发生比较大的变形，所以用非线性理论研究蜂窝夹层板结构，并考察不同参数对非线性振动特性的影响，具有重要的理论和实际意义．如今，蜂窝夹层板的几何非线性问题已引起更多学者的关注．在一般均质理论的假设下，一些学者已经研究了各向同性蜂窝夹层板板的非线性动力学特性．本文研究了一类受面内激励和横向外激励联合作用下的四边简支蜂窝夹层板在主参数共振－1:2内共振时的双Hopf分叉问题．首先利用多尺度法得到系统的平均方程，然后结合分叉理论得到了系统的分叉响应方程，根据对分叉响应方程的分析，得到了六种不同的分叉响应曲线并给出了系统产生双Hopf分叉的条件．利用数值方法得到系统在参数平面的分叉集，通过对不同分叉区域的分析发现，随着参数的变化系统平衡点会分叉为两类周期解，随后周期解会通过广义静态分叉为准周期解，或者通过广义Hopf分叉为3D环面．

双Hopf分叉， 蜂窝夹层板， 不变环面， 周期解

引言

近年来，许多学着研究了时滞引起的非共振双Hopf分叉［1－3］，但对共振双 Hopf分叉的研究文献尚少．共振双Hopf分叉现象发生在Rn，n≥4的动力学系统中，是一种重要的余维2分叉现象．因此，在参数平面η上研究点()附近邻域内的系统平衡点是非常有必要的．

2001 年，Zhang［4，5］等人分别研究了面内激励作用下四边简支矩形板以及面内激励和横向外激励联合作用下四边简支矩形板的非线性动力学．2005年，Ye和Zhang［6］等人利用全局摄动法研究了复合材料层合板的非线性动力学行为．2008年，Hao［7］等人利用三阶板壳理论研究了面内激励和横向外激励联合作用下四边简支矩形功能梯度板的非线性动力学行为．2008年，Sun［8］等人对单自由度和二自由度蜂窝夹层板的非线性动力学进行了研究．

本文研究了受面内激励和横向外激励联合作用下蜂窝夹层板的双Hopf分叉．首先，在第一部分，利用多尺度方法得出了系统在主参数共振－1:2内共振情形下的直角坐标和极坐标下的平均方程;在第二部分中，在分叉理论基础上，借助于稳定性判定准则，分析了系统可能存在的各种非线性动力学现象，并给出了分叉解稳定性的奇异性边界．通过分析我们发现周期解可能发生Hopf分叉从而失稳．并且研究了系统发生双Hopf分叉的条件．在第三部分，借助于Matlab，给出了蜂窝夹层板系统在参数平面上的一些数值结果．

1 平均方程

我们研究的蜂窝夹层板力学模型如图1－1所示，同时受到x方向的面内载荷与横向面外载荷联合作用，夹层板在振动过程中考虑阻尼的影响．这是以飞机飞行中机翼的颤振为工程背景的．夹层板的长、宽、高分别为a、b、h，直角坐标oxy位于层合板的中性面内，z轴向下，设板内任一点沿x、y和z方向的位移分别为u、v和w，沿着x方向作用的面内载荷为Px=P0－P1cosΩ2t，横向载荷为Fx=F0－F1cosΩ1t．夹层板分为三层，上下蒙皮是完全相同的各向同性材料，蒙皮厚度为hf．中间由正六角形蜂窝芯层隔开，蜂窝芯轴向为坐z方向，蜂窝芯厚度为hc．

图1 蜂窝夹层板模型Fig．1 the model of honeycomb sandwich plate

基于von Karman板理论，应用 Hamilton原理以及二阶Galerkin离散，我们得到如下形式的二自由度非线性动力学方程［9］，

假设系统是一个弱非线性系统，我们引入小扰动项ε，可得到如下方程，

下面我们研究蜂窝夹层板在主参数共振－1:2内共振，即

其中ω1和ω2是相应线性系统的第一阶和第二阶固有频率，为了计算方便，设Ω=2．

利用多尺度方法进行摄动分析，设方程(2)的一致渐近解为

式中T=t，T1= εt．

微分算子为

式中Dn=∂/∂Tn，n=0，1．将式(3)－(5)代入方程(2)，令等式两边ε同次幂的系数相等，得到

ε0阶

方程(7)复数形式的解可以写为，

将(8)式代入(7)式得

其中CC为复共轭项，NST为非长期项．

令方程的长期项等于零，可以得到如下复数形式的平均方程

代入方程(10)，并分离实部和虚部，得到直角坐标形式的平均方程为

2 局部分叉分析

在这一部分，我们主要考虑蜂窝夹层板系统的稳态解包括平衡点和可能存在的周期解，以及它们的稳定条件．

2．1 初始平衡解

方程(11)有平衡解x1=x2=x3=x4=0．由方程(11)的Jacobian矩阵的特征值我们可以判断平衡解(IES)的稳定性．方程(11)在初始点xi=0(i=1，…，4)处的 Jacobian 矩阵为

对应的特征方程为

由此可得平衡点稳定的条件为

此时，式(14)有三个负实部的特征值和一个零特征值，由奇异性理论可得系统(11)的IES点在奇异性边界L1处发生静态分叉，对应于原系统(1)的周期解 PSガ(即方程(11)的解x1≠0，x2≠0，x3=x4=0或者方程(12)的解a1≠0，a2=0)．由此稳态解PSガ可以表示为

此时可以得到另一个稳态解PSギ(即方程(11)的解x1=0，x2=0，x3≠0，x4≠0 或者方程(12)的解a1=0，a2≠0)，由此周期解PSギ可以表示为

2．2 周期解稳定性分析

通过以上分析可得，当

时，方程(11)在(x1，x2，0，0)处的 Jacobian 矩阵为

其中

特征方程为

＞0时，周期解PSガ稳定的奇异性边界为

在奇异性边界L3上式(24)的另外两个特征根为

当μ2＞0时，存在奇异性边界

此时式(11)的特征方程为

从式(29)可得在奇异性边界线L5上，系统存在一对纯虚特征根

因此，系统(11)的周期解PSギ在奇异性边界上通过Hopf分叉失稳，Hopf分叉的频率为

当μ2＞0时，存在奇异性边界

2．3 准周期解稳定性分析

其中a1，a2满足下列方程

此时，式(11)在准周期解处的特征方程为

由Hurwitz准则，准周期解稳定的条件为

因此，由以上分析可得在p2＞0，p4＞0和p3(p1p2－p3)－＞0时，准周期解稳定性的奇异性边界为

当p1＞0，p2＞0和p4＞0时，准周期解稳定性的奇异性边界为类似以上分析，准周期解在奇异性边界L8上会发生Hopf分叉，从而失稳．

2．4 双Hopf分叉解的稳定性分析

由式(12)可得

式(41)又可以写为

由(42a)中第一个式子可得

将(43a)，(43b)分别代入(42b)中第一式，我们可以得到分叉响应方程为

3 数值模拟

利用数值模拟方法对蜂窝夹层板系统在主参数共振－1:2内共振情况下的非线性动力学行为进行研究．利用Matlab程序对系统 (2)进行数值模拟．结果如图2和3所示．其中(a)，(c)和(h)是系统的二维相图，(b)和(d)是系统两个模态的波形图，(e)和(f)是系统的三维相图．我们选取如下初始值和参数

图2 系统 (1)的一倍周期运动，μ1=0．3，μ2=0．4Fig．2 Phase portraits for honeycomb sandwich plate

图3 系统平衡解分叉出现的周期解，此时 μ=0，μ=0，σ ＞121Fig．3 Phase portraits for honeycomb sandwich plate

4 结论

本文研究了受面内激励和横向激励联合作用下蜂窝夹层板的双Hopf分叉问题．利用分叉理论和Hopf分叉定理给出了系统平衡点在参数空间小邻域内发生的各种分叉现象，以及在主参数共振—1:2内共振情形下发生双Hopf分叉的必要条件．最后，数值模拟验证了理论分析的正确性．

1 Faria T，Magalhaues L T．Normal form for retarded functional differential equations with parameters and applications to Hopf bifurcation．Journal of Differential Equations，1995，122:181 ～200

2 Reddy D V R．Dynamics of a limit cycle oscillator under time delayed linear and nonlinear feedbakds．Physica D，2000，144(324):335～357

3 buono P L，Belair J．Restricttions and unfolding of double Hopf bifurcation in functional differential equations．Journal of Differential Equations，2003，189:234 ～266

4 Zhang W．Global and chaotic dynamics for a parametrically excited thin plate．Journal of Sound and Vibration，2001，239(5):1013～1036

5 Yu P，Zhang W，Bi Q S．Vibration analysis on a thin plate with the aid of computation of normal forms．International Journal of Non－linear Mechanics，2001，36:597 ～627

6 Ye M，Sun Y H，Zhang W，Zhan X P，Ding Q．Nonlinear oscillations and chaotic dynamics of an antisymmetric crossply laminated composite rectangular thin plate under parametric excitation．Journal of Sound and Vibration，2005，287:723～758

7 Hao Y X，Chen L H，Zhang W，Lei J G．Nonlinear oscillations，bifurcations and chaos of functionally graded materials plate．Journal of Sound and Vibration，2008，312:862～892

8 孙佳，张伟，陈丽华，姚明辉．蜂窝夹层板的非线性动力学研究．动力学与控制学报，2008，6:150～155(Sun Jia，Zhang Wei，Chen Lihua，Yao Minghui．Nonlinear dynamics of the honeycomb sandwich plates．Journal of Dy－namics and Control，2008，6:150 ～155(in Chinese))

9 Chen L H，Liu C l．Vibration control simulation of laminates with integrated piezoelectrics．Second International Conference on Intelligent Computation Technology and Automation，2009，2:299 ～305

10 Zhang W，Yu P．Degenerate bifurcation analysis on a parametrically and externally excited mechanical system．Intenationl Journal of Bifurcation and Chaos，2001，11(3):689～709

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China(FNNSFC)(10732020)，and the National Natural Science Foundation of China(NNFSC)(11072008)

† Corresponding author E－mail:yanzhou924@emails．bjut．．edu．cn

DOUBLE HOPF BIFURCATIONS OF A HONEYCOMB SANDWICH PLATE SUBJECTED TO TRANSVERAL AND IN－PLANE EXCITATION*

Zhou Yan†Zhang Wei Sun Min Chen Jianen
(Beijing University of Technology，Beijing100124，China)

A honeycomb sandwich plate with hexagonal honeycomb core was investigated to reveal the dynamic behavior near a critical point characterized by initial resonance．Based on the averaged equations，the transition boundaries were obtained to divide the parameter space into a set of regions，which correspond to different types of solutions．By applying the stability criteria to determine the stable conditions of respective equilibrium points，the conditions of the occurrence of double Hopf bifurcations were found．Two types of periodic solutions may bifurcate from the initial equilibrium．And the periodic solutions may lose their stabilities via a generalized static bifurcation，which leads to stable quasi－ periodic solutions，or via a generalized Hopf bifurcation，which leads to stable 3D tori．

Hopf bifurcation， honeycomb sandwich plates， invariant torus， periodic solution

12 April 2012，

21 June 2012．

10．6052/1672－6553－2013－010

2012－04－12 收到第 1 稿，2012－06－21 收到修改稿．

*国家自然科学基金重点项目(10732020)，国家自然科学基金项目(11072008)

E－mail:yanzhou924@emails．bjut．edu．cn