在实践中思考 在活动中创造——“观察、探索、猜想”教学实录与评析

安徽省马鞍山市外国语学校 司擎天 执 教 （邮编：243000）

安徽省马鞍山市教育科学研究院 刘义杰 评 析 （邮编：243000）

活动目标 （1）通过分析数据、寻找规律，发现并验证课例中f、m、n三者关系.

（2）让学生在“做”中学，通过实际操作获得亲身体验，积累数学活动经验.强化学生在数学学习过程中的主体地位，发挥学生的积极性、主动性和创造性，自主地投入活动.

（3）通过动手操作、观察类比、分析归纳、合作交流等一系列探究活动，了解解决问题的过程和方法；经历从特殊到一般的过程，体验观察、探索、猜想、验证的数学思维方式.

活动重点 经历实践活动的过程，学会寻找思考问题的着眼点，掌握研究问题的方法，领悟数学思想.

活动难点f、m、n三者之间关系的探究.

活动过程 本活动分为两个阶段.

第一阶段：课内活动

1 提出问题

师：出示PPT1.这是2002年8月在北京举行的第24届国际数学家大会期间，国际数学大师陈省身先生给少年儿童的题词“数学好玩”.今天我们就以2012年我省的一道中考题为背景，一起再感受一下“数学好玩”.

PPT2.问题 在由m×n（m×n＞1）个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f与m、n之间的关系.

评析 从“数学好玩”的角度提出问题，激发了学生的探究欲望.

2 明确问题

观察图形，明确m、n、f的含义.请学生说出图中m、n、f的数值.

3 探究问题

师：现在请大家任取m、n的值，在方格纸（课前已发给学生）上画矩形网格，探究f与m、n之间的关系.

学生画图，教师巡视.

从巡视中发现，每个学生都画了许多不同的矩形网格，有的还将m、n、f的值以表格形式呈现出来.

评析 教师要求学生任取m、n的值，在方格纸上画矩形网格，探究f与m、n之间的关系.拓展了问题的思维空间，体现了“做”中学，凸显了学生的主体地位，激发了学生学习的积极性、主动性和创造性.

师：请说出选取的m、n的值和由此得到的f的值.

生1：（板书）

猜想：f＝m＋n－1.

师：大家同意吗？

生2：不同意！比如：（板书）

f≠m＋n－1，此时f＝m＝n.

师：还有别的发现吗？

生3：我的结论和他们不太一样.（板书）

f≠m＋n－1，此时f＝n＝2m.

生4：我的发现是：（板书）

f≠m＋n－1，此时f＝m＋n－2.

评析 把问题抛给学生，给足探究时间，学生在肯定与否定的思维碰撞中，不断审视发现的问题，不断修正提出的问题.结论的多样性，激发了学生的探究热情，为进一步深入研究做好了心理准备.

师：同学们讨论得很热烈，得到了f与m、n之间的一些关系，但这些关系随着m、n的取值不同而不同，不具有普遍性.如果我们仍这样探究下去，一定还会得到一些特殊关系，由于m、n的取值有无数组，这样的探究没有尽头.如何优化探究方法，缩短我们的探究历程？

评析 以学生为主体，不等于完全放手.教师的主导作用如何发挥？发挥到什么程度？是值得我们思考的问题.学生在得出f与m、n之间的各种不同关系后，如果老师仍放手让学生继续画图探究，那么其结果只能是盲无目标的简单重复.教师提出“由于m、n的取值有无数组，这样的探究没有尽头.如何优化探究方法，缩短我们的探究历程？”这正是引在关键处，导在转折点，可谓点睛之笔.

生5：m、n的取值虽有无数组，但我们可以对它进行分类.

师：怎么分类？

生5：可以分成三类：m、n同偶；m、n同奇；m、n一偶一奇.

生6：可以分成两类：m、n互质；m、n不互质.研究两类比研究三类更简便.

师：说得好！

生7：当m、n互质时，就是生1一开始举的几个例子，此时f＝m＋n－1.

师：大家同意他的观点吗？能不能举一个反例？

生8：我找 到 一 个 反 例：m＝5，n＝ 7，f＝10.

众生：f＝11！

生8（不好意思）：我数错了.

评析 分类使探究呈现“柳暗花明”新境界，闪耀着学生智慧的火花.

师：刚才你们是从“数”的角度得到这个猜想，还能从“形”的角度说明猜想的正确性吗？

生9：我画图发现当m＝5，n＝7时，横线有6条，竖线有8条，对角线与每条横线和竖线都相交，这样共有6＋8＝14个交点，而对角线的两个端点又重复计算了一次，所以共有12个交点，这12个交点将对角线连续分成11段，每段对应一个小正方形，因此f＝11.

（掌声！）

评析 由“数”到“形”，拓宽了探究方法，丰富了学生数学活动经验.

师：我们已研究了m、n互质的情况，下面应该研究……

众生：不互质.

师：当m、n不互质时，f与m、n之间有何关系？

（学生分组讨论.）

生10：从前面的例子中，发现关系不唯一.

师：能否将这些不唯一的关系统一起来？

生11：我从生2、生3给的例子中发现当n是m的倍数时，f＝n；从生4给的例子中发现当n不是m的倍数时，f＝m＋n－2.

师：有不同意见吗？

生12：当n不是m的倍数时，不一定有f＝m＋n－2.

师：请举例说明.

生12：m＝6，n＝9，f＝12≠6＋9－2；m＝8，n＝12，f＝16≠8＋12－2.

师：当n不是m的倍数时，不一定有f＝m＋n－2原因出在哪里？

（学生分组讨论.）

生13：是因为m、n的取值有变化.

师：观察生4给出的例子

m、n的取值变了，为什么关系式f＝m＋n－2不变？

（学生沉思.）

生14：m、n中可能有不变的“东西”.

师：看来抓住m、n中的不变因素是关键！

生15：m、n都是偶数没变.

生16：不对！刚才的m＝8，n＝12虽都是偶数，f≠m＋n－2.

生15（恍然大悟！）啊！是最大公约数没变！

师：最大公约数是多少？

生15：是2.

师：那就是说在什么情况下f＝m＋n－2？

生15：m、n的最大公约数为2的情况下，f＝m＋n－2.

师：大家同意吗？再举几个最大公约数为2的m、n试试.

（学生快速进入验证之中.）

师：有不同意见吗？

众生：没有！

师：若m、n的最大公约数为3，请猜想f与m、n之间有何关系？

众生：f＝m＋n－3！

师：请在方格纸上画图验证.

生16：m＝6，n＝9，f＝6＋9－3＝12；m＝3，n＝6，f＝3＋6－3＝6.

师：若m、n的最大公约数为d，请猜想f与m、n之间有何关系？

众生：f＝m＋n－d！

师：你们还能从“形”的角度来说明吗？

生17：我想这和上面不互质研究的方法一样，可以从对角线与网格线的交点个数来考虑.

师：说得好！这个问题留给你们课下研究.

师：m、n互质与不互质时，我们得到了两种关系，这两种关系有联系吗？

生18：如果用d表示它们的最大公约数，都有f＝m＋n－d.（PPT3）

师：好！这体现了数学知识之间的和谐美.

评析 观察是发现问题的源泉.在m、n不互质的情况下，教师以“能否将这些不唯一的关系统一起来？”为“诱饵”，引导学生抓住不变，从变中找不变.经历了发现问题、提出问题的过程，学生在这一过程中进一步积累了数学活动经验，加深了对问题本质的理解.

4 拓展问题

（PPT4）若将原题中的“小正方形”改为“小矩形”，上述结论还成立吗？若“小正方形”改为“小平行四边形”，结论又如何？提出你的猜想并验证.

生19：我认为结论应该一样.

师：说说理由.

生19：我是凭感觉猜的.

师：好！到底结论是否相同？我们先小组讨论.

（各小组迅速进入讨论中，教师不时也加入讨论行列.）

生20：结论一样.

师：你是怎么发现的？

生20：我是画图发现的.

师：把你画的图展示给大家看一下.

（通过实物投影仪将生20画的图展示在屏幕上.）

师：生20通过画图验证了结论仍然成立.很好！还有没有别的方法？

生21：借鉴前面的探究经验，我们还可以根据对角线与网格线的交点个数来确定f与m、n的关系.我发现当m、n互质时，对角线不经过网格内部交点即格点.

师：能否举一个具体例子？

生21：比如m＝2，n＝3.

师：好，你在黑板上画一下.同学们再取一对互质的m、n，在方格纸上画图验证.

师：当m、n互质时，对角线真的不经过网格内部格点吗？

众生：不经过！

师：谁能说出其中道理？

（学生犹豫.）

师：大家再讨论.

生22：老师！我可以到黑板前讲吗？（众生笑）

师：可以！

生22：在生21画的图中，如果对角线还经过网格内部格点，我们假设格点为P，则点P到大矩形相邻两边的距离为小矩形边长的整数倍，不妨设为m′、n′，根据相似三角形的性质，则有＝，由于点P是网格内部的点，所以m′＜2，n′＜3，这与2、3互质是矛盾的，所以对角线不经过网格内部格点.

（掌声一片！）

师：生22说得太精彩了！你能继续说说为什么结论仍然成立？

生22：在m×n个小矩形组成的矩形网格中，横线有（m＋1）条；竖线有（n＋1）条，对角线与每条横线和竖线都相交，这样共有（m＋1）＋（n＋1）个交点，而对角线的两个端点又重复计算了一次，所以共有（m＋n）个交点，这（m＋n）个交点将对角线连续分成（m＋n－1）段，每段对应一个小正方形，因此f＝m＋n－1.

（掌声更热烈！）

师：当m、n不互质时，又如何说明结论仍然成立？

（学生陷入思考.）

生23：我发现当m、n不互质时，对角线经过网格内部的格点.

师：请你也在黑板上画图说明，其他同学任取一对不互质的m、n，在方格纸上画图验证.

生23：取m＝3，n＝6，对角线经过网格内部2个格点，加上两个端点，这样对角线与网格线的交点中，有4点重复计算了1次，所以交点总数为（3＋1）＋（6＋1）－4＝7，这7个交点将对角线连续分成6段，每段对应一个小矩形，所以对角线穿过6个矩形，符合f＝m＋n－d＝3＋6－3.

生24：我取m＝2，n＝4，对角线经过网格内部1个格点，结论也是成立的.

师：看来确定对角线经过网格内部的格点数是关键.请各小组交流：对角线经过网格内部格点数与什么有关？

生25：我们发现：

对角线经过网格内部格点数＝m、n的最大公约数－1.

师：很好！如果m、n的最大公约数为d，对角线与网格线共有多少个交点？

生25：因为对角线经过格点时，交点重复计算了1次，所以对角线与网格线共有（m＋1）＋（n＋1）－（d－1）－2＝m＋n－d＋1个交点.这（m＋n－d＋1）个交点将对角线连续分成（m＋n－d）段，每段对应一个小正方形，因此f＝m＋n－d.

师：太棒了！

生26：假设图是画在可以拉伸的橡皮膜上，我们可以想象不论小正方形变为小矩形还是小平行四边形，结论显然是成立的.

（掌声雷动！）

评析 在实践中思考，在活动中创造，是综合实践活动课程的重要价值取向之一，综合实践课程的重要功能就是要培养学生创新精神.通过问题拓展，激活了学生的创新思维，在经历问题解决的过程中，学生体验了建立模型、数形结合、化归求解等数学思想方法，在反复尝试中，不断提高学生发现问题、提出问题的能力.

5 活动小结

（PPT5）通过本节课的学习，你有哪些收获？

第二阶段：课外活动

数学综合实践活动评价报告

评析 反思参与活动的全过程，将研究的过程和结果形成报告或小论文，有利于相互交流，共享成果.通过小组和老师评价，总结参与数学活动的收获和克服困难的过程，有利于进一步积累数学活动经验.

教学反思

（1）拓展探究空间，增加问题开放度

义务教育数学课程标准（2011年版）以下简称“课标2011版”指出：要使学生能充分、自主地参与“综合与实践”活动，选择恰当的问题是关键.这些问题既可来自教材，也可以由教师、学生开发.提倡教师研制、开发、生成出更多适合本地学生特点的、有利于实现“综合与实践”课程目标的好问题.基于这一理念，本课例以2012安徽省一道中考题为背景，原题中分m、n互质与不互质两种情况并且给出了5个基本图形和表格，问题指向明确，坡度小.为了使问题变得自然、开放.这里我舍弃了m、n互质与不互质两种情况以及基本图形和表格，把问题抛给学生：为了探究f与m、n之间的关系，你准备怎么做？学生画图、列表、交流，得到若干组不同的m、n值以及相应的f值.

“综合与实践”活动课难上，难就难在课堂是开放的，正如叶澜教授所说：“课堂是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的风景，而不是一切都必须遵循固定路线，而没有激情的行程.”教师如何发挥好组织者、引导者、合作者？如何创设有助于学生创新的问题情境？如何驾驭更加开放的课堂？等等，已向我们提出了新的挑战.

（2）突出活动过程，积累活动经验

课标2011版强调：“综合与实践”的实施是以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动.它有别于学习具体知识的探索活动，更有别于课堂上教师的直接讲授.它是教师通过问题引领、学生全程参与、实践过程相对完整的学习活动.“综合与实践”是积累数学活动经验的重要载体.在经历具体问题的过程中，引导学生体验如何发现问题，如何选择适合自己完成的问题，如何把实际问题变为数学问题，如何设计解决问题的方案，如何选择合作的伙伴，如何有效地呈现实践的成果，让别人体会自己成果的价值.通过这样的教学活动，逐步让学生积累运用数学解决问题的经验.

在我的几次教学过程中，为了探索f、m、n三者之间关系，多数学生都采用了列表探究，还有学生提出了如下处理方法.生1：利用函数探究（模型思想出现）.我问：函数是研究两个变量之间的对应关系，而这里有三个变量，如何处理？生1：可以把m、n看成一个整体（整体思想出现）.我又问：m、n如何组合成一个整体？生1：我发现f的值不小于m、n的值，我猜想f一般不会是m、n相减；f是正整数，我猜想f一般不会是m、n的商；从表中看某些m、n的积要比f的值大得许多，所以我猜想f应与m＋n之间存在某种函数关系.生2：既然有三个变量，我们可以限制一个变量.如m都取1然后观察f与n的关系（转化思想出现）.生3：可以用比较法，把有相同规律的放在一起研究（分类思想出现）.生4：当m是n的倍数时，f＝m.生5：当m＝n时，f＝m＝n等等.学生在观察、探究中迸发出来的这些思维火花，真是令人兴奋不已！这些宝贵的活动经验推动着课堂向纵深发展，使课堂精彩纷呈.

（3）增强问题意识，培养创新能力

“综合与实践”是培养学生应用意识和创新能力的有效载体，而学生发现问题和提出问题又是创新的基础.因此增强学生的问题意识在教学过程中显得尤为重要.如何培养学生发现问题和提出问题能力？这又将成为我们研究的课题.“拓展问题”的设计给出了提出问题的一种方法，但不足的是这里的问题是由教师提出的，若能改为学生提出将会更好.

美国著名学者布鲁巴克指出：“最精湛的教学艺术，遵循的最高准则就是让学生自己提问题.”有专家在中西方教育的比较研究中曾说：“中国衡量教育成功的标准是：将有问题的学生教育成没问题，全懂了，所以中国学生年龄越大，年级越高，问题越少；而美国衡量教育成功的标准是：将没问题的学生教育得有问题，如果学生提出的问题教师都回答不了，那算是非常成功.所以美国学生年级越高，越有创意、越会突发奇想.”这确实值得我们深思.

（4）课内课外结合，升华活动成果

整个活动分两部分：课内和课外.“综合与实践”活动实际上是一种“小课题长作业”.目前，在课程改革背景下，我国学生小课题的探究也受到极大的重视，正逐渐成为改善学生学习方式的一个重要方法.“小课题长作业”的基本过程是：提出问题——动手实验——观察记录——解释讨论——得出结论——表达陈述.设计第二阶段：课外活动《数学综合实践活动评价报告》，目的是想在这些方面作些尝试，引导学生在“综合与实践”活动中，积累活动经验、展现思考过程、交流收获体会、激发创造潜能.

初中数学“综合与实践”是一种激发学生主动探求知识、重视问题解决、促进学生形成终身学习习惯的课程.它体现了创新教育改革的方向，其内容的丰富性和实施模式的多样性，值得我们深入研究和广泛实践.

1 中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012

2 汪宗兴，刘义杰.穿越彰精彩化归显本质［J］.中学数学教学参考（中旬），2012（9）