须丛曲线理论研究

吴红艳，王府梅

（东华大学 纺织学院，上海 201620）

1940年，文献[1]提出照影机曲线理论，即利用梳子取样法，在纤维长度根数累积分布图中，一根被握持着的纤维，其左端伸出握持点的长度至少为L的概率是L右边面积除以总面积，进而得出照影机曲线为纤维长度根数累积分布曲线的一次积分，也等于纤维长度根数分布曲线的两次积分.

1959年，文献[2]对Hertel提出的照影机曲线理论进行了分析与批判，并指出对各种长度的纤维而言，其左端伸出握持点的长度不小于L的事件是不等概率事件，而Hertel却简单地把它看作等概率事件，因此认为Hertel的理论存在缺陷.

1972年，文献[3]采用基于气流式棉纤维长度测试仪的钳夹取样器，从须丛的长度根数频率分布角度，根据纤维头端在夹子内的分布情况，利用条件概率和边缘分布理论推导出3种不同的照影机曲线，并给出平均长度和变异系数的计算方程，但没有讨论须丛长度分布与原样品长度分布的关系.此外，指出Hertel推导的方程不适宜作照影机曲线方程.

1973年，文献[4]指出文献[3]得到的平均长度应为质量平均长度而不是根数平均长度.

1987年，文献[5]指出Hertel得出的须丛曲线的纵坐标应代表原样品的相对质量而不是相对根数，这与文献[3，6]的观点一致，且利用须丛曲线的切线方程给出了更多的长度指标计算方法.随后，很多学者[7－9]对须丛曲线理论进行过研究.

一个完整的须丛曲线理论应包括：须丛曲线理论方程、须丛纤维长度分布与原样品长度分布间的关系、纤维长度根数分布与质量分布的关系、纤维长度指标的计算方法，同时应明确各个分布是长度质量分布还是长度根数分布.文献[10-12]都指出每个方程都应明确是根数分布还是质量分布.但现有研究尚未完整、充分、明确地阐述以上关系，很多观点存在各种各样的争议.为此，本文提出一种纤维长度测量的新制样方法，推导论证新方法制得须丛曲线的理论方程，并完整地讨论上述各种关系，给出各种长度指标的计算式.

1 制样方法

本文延用由文献[13]提出的须丛概念，即须丛为从原样品中取出并经过制样得到的用于长度测试的纤维试样.

本文提出一种纤维条梳夹取样法用于制取测试用须丛.借助纤维引伸器或其他装置将待测纤维制成纤维条，如图1所示，使纤维沿纤维条轴向伸直、平行且随机排列.在纤维条的任一横截面处用钳夹将其夹住，扯去未被夹持的纤维，并梳去浮游纤维，如图2所示.然后用另一钳夹紧贴原钳夹口夹持须丛，移去初始钳夹，梳去另一端浮游纤维，制成宽约5cm质量约20～40mg的双端测试用须丛，如图3所示.

图1 纤维条Fig.1 Sliver

图2 须丛制作Fig.2 Production of the beard

图3 须丛Fig.3 The beard

此制样方法具有以下优点：纤维被夹持后不会有任何滑移、脱离的现象；纤维均伸直、平行，在夹持线处无纠缠且无一根纤维被多次握持现象；测试可以从紧贴夹持线处开始；制样简单、快速、方便，试样代表性强.

2 须丛长度分布与原样品长度分布的关系

须丛长度分布与原样品长度分布存在某种数学关系.只有明确了两者间的数学关系，才能通过须丛长度分布计算出原样品的长度分布，并讨论由须丛所得的各统计量与原样品参数间的对应关系.而须丛与原样品长度分布的关系取决于取试样和制样方法.

根据纤维条梳夹取样法可知，纤维上的被夹持点沿纤维长度方向是随机的，纤维被夹持的概率与其长度及根数频率成正比[8]，即长度为l（0＜l≤lm，lm为最长纤维的长度）的纤维在任一点被夹取的概率为k·l·p（l，其中：k为常数，等于须丛与原样品的纤维根数比；p（l）为原样品长度根数频率密度函数；l为原样品纤维根数平均长度.

以N表示原样品的纤维总根数，Nl表示须丛中长度为l的纤维根数，则

所以，须丛中纤维长度根数频率密度函数f（l）为

原样品纤维根数平均长度由式（2）计算

将式（2）代入式（1）得

由前人研究可知，纤维长度质量分布pw（l）与长度根数分布的关系[8，14－15]为

将式（3）和（4）联立得

由此可见，由纤维条梳夹取样方法制得的须丛长度根数分布等于原样品的长度质量分布.

3 须丛曲线理论方程

须丛曲线理论方程是指须丛中伸出夹持线某一距离L（0≤L≤lm）的相对纤维量F（L）与L的关系.

综上，将式（5）代入式（6）可得

式（7）为本文提出的新测试方法的须丛曲线理论方程，它与原样品的质量频率密度分布直接相关.

在式（7）中对L求一次微分得

求二次微分得

化简式（9）得须丛曲线与原样品长度质量分布的关系为

4 长度指标提取

由于实际操作中很难做到图1所示的纤维条为理想随机排列，导致实测须丛曲线方程难免包含一些误差，若按式（10）求微分会进一步放大误差，所以式（10）所示的基于须丛曲线反推纤维长度分布的问题是个难题[3].但可直接在须丛曲线上提取长度指标，由式（10）可知，须丛曲线上提取的各统计量对应着原样品长度质量参数.

4.1 质量加权平均长度

文献[3，5，15]都曾将数学期望应用于求纤维长度均值，这里也将利用数学期望求质量平均长度.根据数学期望的定义可得纤维长度为l的数学期望为

将式（10）代入式（11）得

利用分部积分法得

从上文的分析可知式（13）的第一部分为0，所以

再利用分部积分法得

所以原样品的质量加权平均长度为须丛曲线与坐标轴包围面积的2倍.

4.2 长度质量分布的变异系数

由方差的定义可得

将式（10）代入式（16）得

对式（17）进行两次分部积分得

因此可得变异系数CV为

可利用数学软件计算出长度质量分布的变异系数.

4.3 主体长度

须丛曲线分布如图4所示，设F（l0）为须丛曲线上一点，F（l1）为临近F（l0）的一点.两点间的弧长为ΔS，作两点的切线相交于F，夹角为Δα，两切线分别与y轴相交于D和E.则根据曲率定义得l0处的曲率为

图4 须丛曲线Fig.4 The fibrogram

因此，当ΔS为定值时kl0∝Δα.由图4可知，在∠BFE中Δα＝∠BFE－∠BFD，Δα∝，所以有

另外，根据须丛曲线可求得l0处的质量频率密度为

由式（7）和（8）联立可得

将式（23）代入式（22）可得

所以有

联合式（21）和（26）可得

主体长度是指在纤维长度分布中占质量或根数最多的那部分纤维长度[16]，因此当最大时，pw（l）最大，此时的l0即为纤维的主体长度lz，而此时l0处的曲率kl0也为最大，即须丛曲线上具有最大曲率点的横坐标值就是原样品的质量主体长度.

4.4 品质长度

品质长度是指主体长度lz以上各组纤维的质量加权平均长度[16].根据定义可得品质长度lp的表达式为

将式（10）代入式（28）的分子，并利用分部积分法可得

由式（23）可知，当L＝lz时有

将式（29）和（30）代入式（28）可得品质长度为

5 结 语

本文提出一种制取纤维长度测量用须丛的新方法——纤维条梳夹取样法，推证分析了须丛长度分布与原样品长度分布的关系，发现利用新制样法得到的须丛长度根数分布等于原样品的长度质量分布.然后建立了须丛曲线理论方程，推导出原样品长度质量分布与须丛曲线的关系.最后给出由须丛曲线求取原样品长度特征指标（包括平均长度、主体长度、品质长度、变异系数）的方法，其中平均长度为须丛曲线与坐标轴包围面积的2倍；主体长度为须丛曲线上具有最大曲率点的横坐标值；而变异系数和品质长度也可利用数学软件快速算得.

参 考 文 献

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