压电层合纤维在动载荷作用下的应力和电势的瞬态响应

沈俊新，王 熙

(上海交通大学 船舶海洋与建筑工程学院 海洋工程国家重点实验室，上海 200240)

压电材料在航空，航天，汽车等领域中的传感器，驱动器和超声换能器应用方面具有很大的实际应用价值和潜力［1－3］。压电材料在工程中的广泛应用使得对各类压电材料和压电结构的力、电性能的研究显得迫切的需要［4－9］。文献［4］给出了一个装有可压缩流体的功能梯度压电圆筒的耦合振动分析。作者［5］研究了压电圆筒的力、电耦和瞬态响应的规律。文献［6］给出一种精确的分析方法来研究粘接在半无限均匀固体上功能梯度压电材料的瑞利波特性。作者［7］利用能量方法研究了在电热机械耦合载荷作用下，内部填充PE泡沫对DWBNNT增强PVDF压电圆柱壳的扭转屈曲行为的影响。文献［8－9］提出了通过建立悬臂杆结构含金属芯压电纤维的不同的振动模型和动态测试模型，给出了具体方法计算出压电纤维的主要参数。文献［10］给出了实心压电圆柱在径向载荷冲击作用下的应力和电势瞬态响应。根据作者对已有文献的了解，目前对于多层压电纤维结构的力、电耦合瞬态响应的研究是较少的。

本文基于双层压电圆柱模型，研究了双层压电纤维在径向动载荷作用下的应力与电势的瞬态响应历程和规律。将每一层压电纤维动态方程的解设为准静态解和动态解的叠加。其中，准静态解可以直接利用积分的方式得到，然后由有限Hankel积分变换和Laplace变换得到相应的动态解;利用层间连续条件和外表面边界条件，从而获得用位移表示的双层压电纤维在径向动载荷作用下电弹性耦合运动平衡方程的解析解表达式;利用物理关系可以得到相应的瞬态应力和电势的响应历程和规律以及双层压电纤维实心处的动应力和电势的集中效应。

1 基本方程

考虑一个无限长的正交异性的双层压电实心纤维，内外层为不同压电材料，双层压电实心纤维的外层表面受到径向动载荷(图1)。该问题属于平面应变问题，其在柱坐标下的本构关系表示为:

图1 冲击载荷下的无限长双层压电圆柱Fig.1 A long laminated piezoelectric fiber subjected to dynamic load

其中:标记 l=1，2表示双层压电纤维的层数，σrl，σθl，和分别为第l层各点的动应力、位移、电位移、电势、材料的弹性常数、压电常数和介电常数。运动平衡方程为:

忽略自由电荷密度的电平衡方程为:

由双层压电纤维的圆心处的电位移为有限值及层间的连续条件可得:

利用式 (1a)、(1b)、(1c)、(4)和(5)可得位移表示的动态平衡方程:

边界条件、连续性条件和初始条件可表示为:

2 问题的求解

2.1 双层压电纤维的内层求解过程

设动态方程(5)的位移由静态解uq1(r，t)和动态解 ud1(r，t)的叠加:

其中uq1(r，t)满足下列准静态方程和相应的圆心处条件:

求解方程(8a)并利用圆心处位移条件(8b)得到uq1(r，t)的精确解析表达式为:

将式(7)代入式(5)，并利用式(6a)第一式和式(8a)、8(b)得到动态解ud1(r，t)需要满足的非齐次动态方程和其相应的边界条件及初始条件:

定义一个有限Hankel积分变换［11］:

对上式进行反变换得到:

其中:

JH1(ki1r)表示为第一类H1阶Bessel函数，ki1为满足特征方程(14)的特征根。

对(10a)进行Hankel变换，并利用边界条件和初始条件(10b)、(10c)得到:

对上式两边进行Laplace变换可得:

其中:L为Laplace变换参数，对上式进行Laplace反变换可得:

将式(12)和式(9)代入式(7)，这样可得 u1(r，t)的解为:

将式(18)代入式(1)并利用式(2)，可得内层压电纤维的动应力和电势的瞬态解:

2.2 双层压电纤维外层的求解过程

其中uq2(r，t)满足下列准静态方程和相应的边界条件:

方程(21a)精确解为:

类似于2.1节中的求解过程，可得双层压电纤维外层的位移、应力和电势的瞬态响应:

JH2(ki2r)，YH2(ki2r)分别表示为第一类和第二类H2阶Bessel函数，ki1为满足特征方程(26)的特征根。

双层压电纤维的内、外层动应力和电势的瞬态解(19)和(24)中含有的待定系数A1，A2，A3可通过外边界应力条件(6a)第二式，层间的径向位移连接条件(6b)第一式和层间的径向应力连接条件(6b)第二式很容易得到。从而，可以精确给出双层压电纤维的应力和电势的瞬态响应解析解。

3 算例和讨论

算例中双层压电纤维的外层受到突加的冲击径向压力:

双层压电纤维材料分别取为BaTiO3和PZT－4，相应的材料参数如下:

(1)BaTiO3:c11=146 GPa，c12=66 GPa，c22=120 GPa，e11= －4.35(C/m2)，e12=17.5(C/m2)，g11=11.15 ×10－9(C2/Nm2)，ρ=7 600 kg/m3

(2)PZT －4:c11=111 GPa，c12=77.8 GPa，c22=220 GPa，e11= －5.2(C/m2)，e12=15.1(C/m2)，g11=5.62 ×10－9(C2/Nm2)，ρ=4 350 kg/m3。

计算中对一些参数无量纲化，取 R=r/b，τ=t/［a/CM1+(b－a)/CM2］，计算结果也以无量纲形式给出:= φ/σ0，计算的响应时间历程为τ≤20。

图2表示双层压电纤维在径向动载荷作用下各点径向应力的瞬态响应历程及分布规律。从图2(b)中可以看出双层压电纤维的径向应力在外边界处满足应力边界条件(b，τ)=1。由于反射波的影响，其他各点的径向瞬态应力的幅值是震荡变化的，在R=0处，最大幅值发生在τ=12.5，在R=0.9处，最大幅值发生在τ=8。比较其峰值，可以看出，在R=0处的峰值最大而且是R=0.9的6倍。

图3表示双层压电纤维在径向动载荷作用下各点环向应力的瞬态响应历程及分布规律。由于反射波的影响，各点的环向应力的幅值是变化的，在R=0处，最大幅值发生在τ=12.5，由于材料的不同，在R=0.5界面处环向动应力是不连续的，PZT－4层的环向应力大于BaTiO3层的环向应力。比较其峰值，可以看出，在R=0处的峰值最大而且是R=0.5处的5倍。

图4表示双层压电纤维在径向动载荷作用下各点电势的瞬态响应历程及分布规律。从图中可看出在双层压电纤维的不同径向点处，电势响应的幅值随时间变化的频率要小于瞬态应力的响应频率，其震荡幅值由双层压电纤维的外层到内层逐步增大，在内层纤维的实心处也呈现集中效应。从图4(b)中看出，压电圆柱载荷冲击下的电势满足给定的电边界条件φ*(1，τ)=0。

图2(a) R=0和0.01处径向应力的响应历程Fig.2 (a)Response history of the radial stresses at R=0 and 0.01

图2(b) R=0.9 和1.0处径向应力的响应历程Fig.2 a Response history of the radial stresses at R=0.9 and 1.0

图3(a) R=0和0.01处环向应力的响应历程Fig.3 (a)Response history of the circumferential stresses at R=0 and 0.01

图3(b) R=0.5 处环向应力的响应历程Fig.3 (b)Response history of the circumferential stresses at R=0.5

图4(a) R=0和0.1处径向电势的响应历程Fig.4 (a)Response history of the transient electric potential at R=0 and 0.1

图4(b) R=0.9 和1.0处径向电势的响应历程Fig.4 (b)Response history of the transient electric potential at R=0.9 and 1.0

由于利用其它方法研究双层压电纤维在径向动载荷作用下各点动应力和电势的响应历程及分布规律没能呈现在已有文献中，只能通过将论文中的计算参数进行退化，与已有的单根压电纤维的动应力和电势的瞬态响应［10］进行简单验证。将论文中的双层压电纤维的不同材料参数都取为与文献［10］相同时，本文中双层压电纤维的计算模型可退化为与文献［10］中相同的单根压电纤维在径向动载荷作用下的动应力和电势的求解模型，此时式(24(a)，(b)，(c))可退化为与文献［10］中相同的解析表达式(见附录)。由此证明本文计算结果的有效性。

4 结论

(1)在径向动载荷作用下，应力波从外边界向双层压电纤维实心处传播过程中，在内层纤维实心处产生会聚和碰撞、引起应力波波头产生叠加效应，使动应力和电势的峰值在此处产生集中，从而导致动应力的最大值发生在内层纤维中心处，远高于双层压电纤维内其它点处的动应力峰值，在该点呈现动态集中效应。

(2)本文中，对于正交各向异性的内层纤维材料H=1.0恰好使得内层纤维中心处的应力波为一个震荡值。如果内层纤维材料H是其他的值，从数学上的推导可知，在该内层纤维材料中心处的动应力的响应规律将会是另一种情况。从而可以得出双层压电纤维中心处的动应力响应规律取决于材料的具体性质。

(3)本文工作有助于简单的了解层合压电纤维在外部受冲击压力作用下的动态集中效应响应机理，为压电材料在动态控制方面的应用提供了一个较好的参考方法。

［1］Bian Y X，Qiu J H.Dynamic admittance matrix of metal core piezoelectric fiber［J］.International Journal of Applied Electromagnetics and Mechanics，2011，35:189－200.

［2］Kerur S K，Ghosh A.Active control of geometrically nonlinear transient response of smart laminated composite plate integrated with AFC actuator and PVDF sensor［J］.Journal of Intelligent Material Systems and Structures，2011，22:1149－1160.

［3］Kapuria S，Kumari P.Three-dimensional piezoelasticity solution for dynamics of cross-ply cylindrical shells integrated with piezoelectric fiber reinforced composite actuators and sensors［J］.Composite Structures，2010，92:2431 －2444.

［4］Chen W Q，Bian Z G，Lv C F.3D free vibration analysis of a functionally graded piezoelectric hollow cylinder filled with compressible fluid，International［J］.International Journal of Solids and Structures，2004，41:947 －964.

［5］Ding H J，Wang H M，Hou P F.The transient response of piezoelectric hollow cylinders for axisymmetric plane strain problems［J］.International Journal of Solids and Structures，2003，40:105－123.

［6］Salah I B，Njeh A.Mohamed Hédi Ben Ghozlen a theoretical study of the propagation of Rayleigh waves in a functionally graded piezoelectric material(FGPM)［J］.Ultrasonics.2012，52:306 －314.

［7］Barzoki A A M，Arani A G，Kolahchi R，et al.Electrothermo-mechanicaltorsionalbuckling ofa piezoelectric polymeric cylindrical shell reinforced by DWBNNTs with an elastic core［J］.Applied Mathematical Modelling，2012，36:2983－2995.

［8］边义祥，裘进浩，王鑫伟.含金属芯压电纤维的纵向振动研究［J］.振动与冲击，2011，30(1):111 －115.BIAN Yi-xiang，QIU Jin-hao，WANG Xin-wei.Longitudinal vibration of a metal core piezoelectric fiber［J］.Journal of Vibration and Shock，2011，30(1):111 －115.

［9］边义祥，裘进浩.半电极含金属芯压电纤维的弯曲振动模型［J］.光学精密工程，2011，19(6):1298 －1305.BIAN Yi-xiang，QIU Jin-hao.Bending vibration model for half coated metal core piezoelectric fiber［J］.Optics and Precision Engineering，2011，19(6):1298 －1305.

［10］Wang X，Dai H L.Dynamic focusing-effect of piezoelectric fibers subjected to radial impact［J］.Composite Structures，2007，78:567 －574.

［11］Cinelli G.An extension of the finite hankel transform and applications［J］. InternationalJournalofEngineering Science，1965，3:539 －559.

附 录