基于响应面法的结构动力学模型修正

鲍 诺，王春洁，赵军鹏，宋顺广

(1.北京航空航天大学 虚拟现实技术与系统国家重点实验室，北京 100191;2.北京航空航天大学 机械工程及自动化学院，北京 100191)

精确的动力学模型对于结构的动力学特性预测及设计具有重要意义。由于结构的复杂性，在分析过程中存在众多的不确定因素以及建模中的简化，如材料参数误差，边界条件误差，结构连接参数误差，局部或整体的非线性等，导致有限元模型计算结果与实际结构的动力学特性之间必然存在误差［1-2］。为减少因模型参数不确定而造成结构动力学数值模拟的偏差，利用试验数据对初始有限元模型进行修正，以便准确的预示结构动力学行为。

响应面法具有易于迭代和优化的特点，近年来在结构优化设计等工程领域得以应用。Heinonen等［3］用不同函数的响应面法对板状结构在满足约束条件下进行质量最小优化，分析结果验证了方法的可行性。Alaswad等［4］用有限元和RSM相结合的方法对管件液压成型进行分析，算例表明该方法可以用来预测管件液压成型。姜衡等［5］利用二次多项式响应面对立式加工中心实现了动静态多目标优化，该方法具有较高的精度和工程实用性。杜家政等［6］利用响应面法对五心底结构形状优化设计，证实了算法的有效性。

针对模型结构参数的修正过程中迭代困难且有限元软件中难以引入新型优化算法的问题。本文提出了响应面和和优化算法相结合的思想进行有限元模型修正，利用响应面来替代有限元模型结合新型优化算法进行优化，避免迭代过程每次调用有限元程序，提高了修正效率和精度。以欧洲航空科技组织采用的基准模型GARTEUR飞机模型为算例，构建其响应面模型并优化修正参数，获得修正模型。将测试频段和预测频段的模态频率与实测数据相互对比，验证了响应面和优化算法相结合的模型修正方法的有效性。

1 初始模型建立及修正流程

GARTEUR飞机模型由法国国家航空航天研究院设计制造，该模型能真实地模拟实际飞机的低刚度、高柔度、模态频率低且密集的特点。目前，欧洲航空科技组织已将GARTEUR飞机模型用做评估动力学试验与模型修正技术的标准模型，众多国家的科研机构也用其来评估试验分析技术及验证数值计算［7-8］。

1.1 GARTEUR模型构建

GARTEUR飞机模型主要由截面为矩形的铝制梁构成，包括机身、机翼、垂直尾翼、水平尾翼、两边小翼等部件，如图1所示。其中机身长1.5 m，翼展2.0 m，机翼上表面附着一层粘弹性阻尼材料。

利用Patran软件对GARTEUR飞机模型进行有限元建模，如图2所示。机身、机翼、两边小翼、水平尾翼、垂直尾翼采用梁单元模拟。由于模型各个零部件采用螺栓、铆钉连接，在所有连接处都相应增加集中质量单元模拟连接件质量。机翼连接处采用两个对称刚性单元，机身与机翼的连接为BUSH单元连接，垂直尾翼与机身连接为刚性单元。初始有限元模型中各刚性单元长度、偏置距离及刚度等参数都需要进一步根据试验数据进行修正，以便获得精确的动力学模型。

图1 GARTEUR飞机结构Fig.1 Structure of GARTEUR benchmark

图2 GARTEUR飞机有限元模型Fig.2 Finite element model of GARTEUR benchmark

初始模型中机身、机翼等部件的几何和材料参数相对准确，但结构连接处的模型简化较多、误差较大。根据建模过程中连接结构的特点，对误差集中的连接处的等效建模参数进行选择修正。将建模过程中的机翼弯曲刚度和扭转刚度、机身/机翼连接处扭转刚度、机身弯曲刚度、垂直尾翼弯曲和扭转刚度、两边小翼弯曲刚度、机翼对机身垂直偏置距离、各刚性单元长度等设计参数作为修正变量。具体模型修正参数，如表1所示。

表1 模型修正参数及其修正变化量Tab.1 Model updating parameters and its changes

1.2 模块化修正流程

考虑到模型多次迭代性，方便参数修正对建模误差进行补偿，建立精确的等效参数模型。采用PCL语言编写模型分析程序，将初始有限元模型所选择的修正变量参数化，建立起参数化模型。将基于响应面法的模型修正流程模块化，如图3所示。主要包括:①参数化模型模块;② 响应面模块;③ 优化模块。具体流程是:首先对试验设计的结果应用参数化模型模块进行有限元分析，其次将分析数据构建成响应面，再次应用优化模块对响应面进行优化，最终将参数优化的结果带入到初始有限元模型中，将响应结果与试验数据进行比较，验证基于响应面法有限元模型修正的可行性。

2 基于试验设计的响应面模型构建

图3 基于响应面法的模型修正流程Fig 3 Flowchart of response surface-based model updating

基于试验设计的响应面方法(RSM)是用统计方法对响应受多个变量影响的情况进行建模与分析。基本思想是在设计变量的连续参数区间内，以试验设计方法获取样本点值，利用回归分析技术，将特征量与设计变量的复杂隐式关系用显式函数式近似表达出来，得到响应面模型。然后在响应面模型的基础上进行迭代修正，避免每次迭代都调用有限元软件分析，显著提高计算效率。GARTEUR算例的有限元模型修正模块化流程，如图4所示。

图4 GARTEUR模型修正流程图Fig.4 Flowchart of GARTEUR model updating

2.1 样本点选取

试验设计是以概率统计为理论基础，研究多因子与响应变量关系的一种科学方法。常见的试验设计方法有全因子法、部分因子法、中心复合法、拉丁方法等［9］。构造的样本试验点在修正参数区间内的分布对响应面的近似精度有很大影响。

本文采用的优化拉丁方试验设计法是在拉丁方试验的基础上增加一个准则［10-11］，求得此准则下最优的拉丁方(LHS)设计。因此，试验设计矩阵每列中各个水平出现的次序和各个样本点的因子水平分布更加均匀，抽样效果好。在GARTEUR模型中12个修正变量各自不同的连续区间参数范围内，采用优化拉丁方抽样选取样本点，并应用GARTEUR模型的参数化模块求解抽样点对应的结构频率响应值。

2.2 响应面模型建立

采用精确度更高的不完全4阶多项式作为响应面近似函数，将多组采样点及其对应的响应值运用回归、拟合、差值方法创建响应面模型，通过模型检验来验证响应面模型是否可信。从而构造出具有明确表达形式的显式函数代替原结构进行建模和分析。不完全4阶响应面近似函数构造形式为:

由试验设计确定的样本点组成设计变量矩阵X，通过有限元分析可得有限元模型计算值向量Y;假定有限元计算值与响应面拟合值的误差组成的向量为ε，各矩阵向量之间的关系［12-13］，如式(2)所示。最小二乘回归分析使得响应面预测值与有限元模型计算值之间的误差平方和最小。由式(4)和式(5)可得式(6)四阶响应面函数系数向量β。

Y为有限元模型计算值向量;Y^为响应面近似函数值向量，ε为拟合误差向量;待定多项式系数向量β用最小二乘法拟合求解:

其中SSE为误差平方和。系数向量的估计为:

由此构造出响应面近似函数具体表达式。

2.3 响应面质量检验

响应面模型对样本数据拟合度可用均方根误差(RMSE)相对值和决定系数R2两个标准检验。RMSE和R2的表达式分别如式(7)和(8)所示。

图5 响应面有效性评价Fig.5 Validity evaluation of response surface

3 基于自适应模拟退火算法的模型参数修正

3.1 目标函数

响应面模型参数修正中的目标函数由实验实测模态频率［14］gexpi和响应面模型计算所得模态频率gi之间的差值构成，其可表示为［15-16］:

式中:g(x)为响应面计算频率与实验实测频率相对误差的平方和;为第j阶实测模态频率;gj为第j阶响应面计算模态频率;n为修正频率的阶数;xi为第i个修正参数和分别为修正参数的上下限;m为修正参数的个数。

GARTEUR模型的试验和响应面计算可得10阶模态频率数据。为验证响应面法结构模型修正结果的有效性，选取前6阶模态频率作为测试频段并构造目标函数。后4阶模态频率作为预测频段，用于修正后的有限元模型预测检验。由构建的目标函数可使结构动力学模型修正转化为采用优化算法寻优的问题。

3.2 自适应模拟退火算法

模拟退火算法源于金属从高温向低温退火从而达到最小自由能态的过程，具有从局部最优点跳出向全局最优点继续寻优的搜索能力。自适应模拟退火算法(ASA)是在传统的模拟退火法和模拟淬火过程的基础上提出的，是一种高效快速的全局优化算法。对先前构建的响应面模型采用自适应模拟退火优化算法(ASA)进行优化分析，求解出GARTEUR模型12个修正变量的最优解，其优化模块流程，如图4所示。

将搜索到的最优解代入原有限元模型，所得模型计算模态频率即为修正模型的频率值。修正前后有限元模型分析和实测的10阶模态频率的偏差对比，如表2所示。在测试频段内的前6阶模态频率平均误差值由修正前的5.73%降低到1.06%;预测频段内的后4阶模态频率误差由修正前4.58%降低到1.08%;总平均误差由5.27%降低到1.07%。可见，修正的有限元模型不但能够复现测试频段的频率而且还能较准确的预测测试频段外的频率。初始模型与试验模型以及修正模型(即优化后模型)的模态频率对比曲线，如图6所示。修正的迭代收敛曲线，如图7所示。

表2 模型修正结果Tab.2 The results of model updating

图6 模态频率对比曲线Fig.6 Comparation of mode frequency curves

图7 迭代收敛曲线Fig.7 Iteration convergence curve

4 结论

(1)以优化拉丁方试验设计抽取样本点，不完全4阶多项式构造响应面，最小二乘法确定多项式系数的方法构建的响应面能够替代真实模型进行有效、准确的结构动力学模型修正，避免修正过程中多次调用有限元程序，且易于与优化算法结合，提高分析效率和计算精度。

(2)将响应面计算结果与实测结果构造目标函数，利用自适应模拟退火优化算法修正后的模型不仅能在测试频段内高精度复现结构模态频率，且能预测测试频段外的模态频率，从而验证了基于响应面法与优化方法相结合的结构动力学有限元模型修正的有效性。

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