受冲击玻璃破坏波传播过程分析

冯晓伟，刘占芳，陈 刚，姚国文

(1.重庆大学 资源及环境科学学院工程力学系，重庆 400030;2.重庆工商大学 计算机科学与信息工程学院，重庆 400067;3.重庆交通学院 土木建筑学院，重庆 400074)

破坏波(Failure Waves)为冲击压缩极端条件下在玻璃材料中发现的一种独特破坏现象，为近20年脆性材料冲击动力学领域最重要发现之一。最初由Rasorenov等［1-2］对K19玻璃进行平面爆轰波冲击实验中自由面速度测量所得。当冲击加载应力强度低于或接近材料的Hugoniot弹性极限(σHEL)时，测量试件自由面速度历程，因在材料内传播的破坏阵面上反射造成较小二次压缩信号，表明玻璃内存在远离冲击波阵面并以较低速度传播的破坏边界，即称为破坏波。此波的发现引起国际冲击动力学界广泛关注，Brar等［3-6］利用不同实验手段及测量技术进一步证实了破坏波的存在。Bless［7］认为破坏波主要特征为:冲击加载强度接近或低于材料的Hugoniot弹性极限时，破坏波开始产生，但高于Hugoniot弹性极限时，破坏波能否产生尚未确定;自由面速度历程的再压缩信号表明，破坏阵面后材料声阻抗较破坏前低。即材料破坏层的声阻抗明显降低;破坏波过后，材料中纵向应力并未发生明显变化，而横向应力显著增加;破坏阵面后材料层裂强度基本丧失，剪切强度显著降低。由此可见，冲击压缩下脆性材料中的破坏波本质上区别于延性材料中的塑性波;破坏波速可超过剪切波速，并随传播距离的增大而减小。

为探讨脆性材料在冲击压缩强度低于Hugniot弹性极限时形成破坏波的物理机制，Rasorenov等［1-2］认为破坏波源于材料表面原生微裂纹在冲击压缩下启裂，并沿最大剪应力面方向由表面向内部传播，形成导致材料碎裂的运动边界，即称为表面微裂纹失稳扩展机制，该点基本得以认同［5，8-11］。Clifton［12］提出破坏阵面为一相变边界，相邻相之间的变形不协调导致局部应力集中，进而引起相变区微裂纹的非均匀成核及传播，使材料丧失层裂强度。然而相变边界是否存在仍缺乏实验支持。Espinosa等［13-14］提出破坏波的微裂纹多面模型，通过跨宏、微观两尺度动态断裂分析探索破坏波形成机制，但尚不能回答破坏波形成的微观机制及全面描述破坏波现象的基本特征。Feng等［15-16］深入分析破坏波的形成机制与传播过程，认为材料的应力集中源于材料细观不均匀性，应力集中达到一定阈值后破坏开始扩展;破坏的传播是微裂纹向前推进的渗透过程，该过程将破坏阵面前的偏斜应变能转化为破坏阵面后的体积变形能，伴随应力偏量的降低与平均应力的提高，但未讨论破坏波的弛豫现象。Bless等［7］对破坏波的实验现象及力学模型做过详尽总结及讨论。

鉴于冲击试验加载手段与测试技术难度及破坏波现象的复杂性，尚未有统一的理论模型能准确解释破坏波的产生、传播及与材料相互作用的物理力学机理以及进一步模拟其在实验中的基本性质。已知玻璃材料具有强烈的细观非均匀性，据观测表明玻璃试件表面附近通常分布大量的微裂纹等缺陷，冲击压缩下，部分缺陷被激活进而扩展、传播。本文从脆性材料细观非均匀性出发，将被激活的微裂纹数用表征材料损伤及破坏的微裂纹浓度N表达。设当计算单元中微裂纹浓度累积到一定程度时开始向邻近单元扩散，建立以微裂纹浓度为基本变量的扩散方程及微裂纹浓度与损伤变量之间的联系，给出冲击压缩下K8玻璃的动态损伤本构模型。并用该模型模拟平板冲击压缩下K8玻璃中破坏波的传播过程。

1 破坏波扩散模型

玻璃作为典型的脆性材料，表面与内部分布大量的细观缺陷，造成材料的非均匀性，形成细观尺度的局部应力集中。在冲击压缩下，该应力集中超过材料的破坏应力阈值时，微裂纹开始成核、扩展，继而遇晶界等障碍束缚而停止传播，使材料的应力状态重新分布，激发相邻区域微裂纹的成核及扩展，从而形成破坏波的传播。此破坏过程既决定于材料的自身属性，也与冲击强度大小有关，即冲击强度越高，局部应力集中越高，微裂纹发展过程越快，破坏波传播速度越快。从物理本质上讲，破坏波本身非传统意义的波运动，而是微裂纹的渐进开裂形成向前推进的宏观破碎界面运动，Bourne等［6］用高速摄影技术观察到破坏波波阵面上有大量裂纹及分叉，给予破坏波为运动的破碎界面最直接、最有力的实验支持。据已有实验观测可知，穿过破坏阵面，材料内横向应力显著提高而纵向应力基本保持不变，表明在破坏阵面之前的材料，剪应力主导材料的变形行为，而在破坏阵面后材料行为逐渐由剪应力转化为球应力或静水压力主导。该转化程度取决于材料的碎裂化程度，若材料完全丧失抗剪强度，则静水压力完全决定材料的力学响应。从能量角度，破坏阵面的存在即剪切变形能向体积膨胀能转化的结果。实验证明［11］，冲击强度提高时，横向应力更趋近纵向应力，使材料丧失更多的抗剪强度，材料碎裂化程度加大。冲击强度增大可导致破坏程度提高。由此，破坏波阵面可视为运动的间断面以控制材料破坏演化过程。Chen［17-18］通过研究穿过破坏边界材料由完整状态向破坏状态转化机制，指出材料发生破坏时控制材料行为的双曲型偏微分方程将转化为椭圆型偏微分方程，该转化过程可用抛物型偏微分方程描述，若材料破坏后本构模型不引入高阶项则可用抛物型偏微分方程描述破坏波阵面。由于抛物型偏微分方程描述扩散方程，所得破坏波传播过程应为扩散过程而非波动方程。Kanel等［2］则认为破坏波速会随传播距离的增大而降低。该现象进一步反映出破坏波的扩散性质。

在一维应变冲击压缩下，冲击压力超过一定阈值时玻璃材料中微裂纹将萌生、累积进而形成破坏边界。破坏阵面由大量微裂纹组成且传播过程为扩散过程，因此本文将破坏边界的移动过程视为微裂纹由浓度高处向低处的扩散过程。建立以微裂纹浓度N(单位体积内微裂纹数量)为基本变量的扩散方程:

其中:t，x分别为时间坐标及冲击波传播方向空间坐标，Q(x，t)为微裂纹源，λF(x，t)为扩散系数函数，可控制破坏波传播速度。已知破坏波传播过程依赖于材料内部应力强度，则扩散系数函数可描述为:

式中:H［·］为Heaviside函数，λ为扩散系数。τ(x，t)为材料等效剪应力。玻璃等脆性材料在高压的静水压力与偏斜应力共同影响其非弹性变形与破坏响应，τ(x，t)的取值为:

式中:α为材料参数，由材料膨胀角确定;I1为应力张量第一不变量，J2为偏应力张量第二不变量。在一维应变条件下，式(3)退化为 τ=α(σ1+2σ2)+|σ1- σ2|，σ1与σ2分别为纵向应力及横向应力。τTHD为材料发生损伤破坏的阈值，τF为材料完全破坏的残余剪切强度。τHEL为材料达到σHEL状态时偏应力:

由式(2)看出，局部应力τ(x，t)达到阈值τTHD时材料出现损伤破坏，扩散过程随之开始;材料完全破坏后，即 τ=τF，扩散过程结束。且因参数 τHEL为 σHEL状态时的应力偏量，一般高于损伤破坏阈值τHEL。因此该式表明，冲击应力低于σHEL时材料会发生非弹性变形及破坏，与实验观测一致。同时，式(1)、(2)也能描述冲击应力提高、破坏阵面的传播速度加快现象。

冲击加载时材料内应力状态满足破坏准则τ=τTHD，材料内微裂纹开始成核、扩展形成破坏阵面继续扩散。本文用损伤参数0≤D≤1描述材料的破坏程度，即破坏阵面性质由损伤状态确定。Ning等［19］给出损伤参数D与微裂纹浓度N的关系式:

式中:a为微裂纹长度。破坏波过后，受损材料抗剪切强度降低表示材料剪切模量降低，剪切模量的演化规律为［20］:

式中:G0为材料初始剪切模量，G1为D=1时残余剪切模量。已知脆性材料在发生破坏之前几乎不产生塑形变形，Partom［20］给出冲击压力低于 10 GPa时，一维应变条件下计算偏应力方法为:

式中:s为纵向偏斜应力，e为纵向偏斜应变，v为质点速度。:在一维应变状态下有:

式中:P为材料内体积应力，冲击压力下玻璃内体积应力可表达为［21］:

式中:a1，a2，a3为材料常数，由实验确定;μ =V0/V-1，V0，V分别为材料变形前后的比容。可由式(11)确定材料的应力场分布。材料发生破坏后，剪切模量G由式(6)确定。

2 平板冲击加载下破坏波数值模拟

本文对平板正碰撞实验中K8玻璃材料加载强度低于σHEL时试件中横向应力历程实验结果［2］进行数值模拟。

表1 K8玻璃力学参数［24］Tab.1 Mechanical parameters of K8 glass

式中:ε0(t)为试件表面应变随时间演化函数。由式(12)可知，k值增大或m值降低，将导致单位体积内激活的微裂纹数增多、损伤累积增加，从而使材料迅速达到破坏状态。据文献［19，23］方法确定k，m取值范围为k=1E19，m=5。在一维应变条件下材料内存在较大围压，材料破坏主要取决于微裂纹的快速启裂，而裂纹增长影响较有限［15］。因此本文不考虑微裂纹增长过程并忽略其间的相互作用。算例中取微裂纹平均长度30 μm。取扩散系数λ=20 m2/s，以满足实验结果。

利用本文建立的破坏波模型模拟冲击压缩下K8玻璃中横向应力历程。

图1 K8玻璃在冲击压缩下横向应力历程模拟结果与实验数据比较Fig.1 Comparison of model simulation and experimental data for lateral stresses history in shocked K8 glass

图1为K8玻璃内距冲击表面4.5 mm及6.5 mm处的横向应力随时间变化关系。实线为实验中锰铜计测试结果［2］，虚线由本文模型计算所得结果。两者均表明，在加载初始阶段材料呈线弹性;破坏阵面到达测量位置时，材料发生破碎，导致材料剪切模量急剧下降从而引起横向应力跳跃。比较发现，两条曲线走势与出现上升时刻基本相同，横向应力σy涨幅约50%。区别在于破坏波到达后计算曲线随时间延长继续向纵向应力σx靠近，而实验曲线却显示横向应力上升后随时间增加略有下降。本文认为原因在于反射稀疏波迭加在压缩波的卸载过程延缓了材料破坏过程，导致材料破坏程度不再增加。而本文未考虑反射稀疏波的卸载影响，认为随加载过程增加材料的损伤程度加剧直至完全破碎。另外，距离冲击表面4.5 mm处的破坏相对弹性前驱延迟时间较短，而试件内部6.5 mm处的破坏相对弹性前驱延迟时间较长，表明破坏波的传播速度低于冲击波速度。由此说明本文建立的描述破坏波的计算模型能揭示破坏波现象本质，具有一定可靠性。

3 结论

(1)本文通过对冲击压缩下K8玻璃中破坏波的产生与传播过程分析认为，材料原生表面微裂纹在冲击压力下启裂、传播，导致材料发生损伤，所形成的破坏波即为损伤的运动边界。

(2)由建立的一维应变状态下材料动态本构关系及以表征材料损伤与破坏的微裂纹浓度为基本变量的控制方程，通过分析玻璃材料产生破坏时的应力条件，并结合破坏波的传播特征，进一步模拟冲击压缩下K8玻璃中纵、横向应力历程表明，理论预测与实验数据吻合良好，初步验证本文模型可用于高速冲击下的脆性材料平板冲击实验。

［1］ Rasorenov S，Kanel G，Fortov V，et al.The fracture of glass under high-pressure impulsive loading［J］.High Pressure Research，1991，6:225-232.

［2］Kanel G I，Rasorenov S V，Fortov V E.The failure waves and spallations in homogeneous brittle materials［A］.Edited by SC Schmidt et al.Shock Compression of Condensed Matter-1991［C］.Virginia，USA，1991.Elsevier Science Publishers BV，1992:451-454.

［3］ Brar N S，Rosenberg Z，Bless S J.Spall strength and failure waves in glass［J］.Journal de Physique IV，1991，1(C3):639-642.

［4］ Brar N S，Bless S J，Rosenberg Z.Impact-induced failure waves in glass bars and plates［J］.Applied Physics Review，1993，46(12-1):540-546.

［5］ Bless S J，Brar N S，Kanel G，et al.Failure waves in glass［J］.Journal of the American Ceramic Society，1992，75(4):1002-1004.

［6］Bourne N K， RosenbergZ， Field JE. High-speed photography of compressive failure in glasses［J］.Journal of Applied Physics，1995，78(6):3736-3739.

［7］ Bless S J，Brar N S.Failure waves and their effects on penetration mechanics in glass and ceramics［M］.Shock Wave Science and Technology Reference Library(chapter 3)，2007:105-141.

［8］ He H L，Jing F Q，Jin X Q，et al.Compressive failure of brittle mater ials under shock wave loading［A］.Sino-Japanese Symp Deformation/Fracture of Solids［C］.Huangshan China，1997:81-90.

［9］ He H L.Dynamic response and microstructure damage of brittle materials under shock wave compression［D］.Si Chuan:Institute of Fluid Physics of CAEP，1997.

［10］Espinosa H D，Xu Y P.Micromechanics of failure waves in glass:I experiments［J］.Journal of American Ceramics Society，1997，80(8):2061-2073.

［11］赵剑衡.冲击压缩下玻璃等脆性材料中失效波的实验和理论研究［D］.北京:中国科学院力学研究所，2000.

［12］ Clifton R J.Analysis of failure waves in glasses［J］.Applied Mechanics Review，1993，46(12):540-546.

［13］Espinosa H D，Xu Y P.Micromechanics of failure waves in glass:Ⅱ modeling［J］.Journal of American Ceramics Society，1997，80(8):2074-2085.

［14］Espinosa H D，Yuan G，Dwivedi S，et al.Numerical study of penetration in ceramic targets with a multiple-plane model［J］.AIP Conference Proceedings，1998，429:901-904.

［15］ Feng R.Formation and propagation of failure in shocked glasses［J］.Journal of Applied Physics，2000，87(4):1693-1700.

［16］ Chen Z，Feng R，Xin X，et al.A computational model for impact failure with shear-induced dilatanc［J］.International Journal for Numerical Methods in Engineering，2003，56:1979-1997.

［17］ Chen Z，Xin X.An analytical numerical study of failure waves［J］.International Journal of Solids and Structures，1999，36(26):3977-3991.

［18］ Chen Z，Hu W，Chen E P.Simulation of dynamic failure evolution in brittle solids without using nonlocal terms in the strain-stress space［J］.Comput Model Eng Sci，2000，1(4):101-106.

［19］ Ning J，Ren H，Li P.Mechanical behaviors and damage constitutive model of ceramics under shock compression［J］.Acta Mechanica Sinica(English Series)，2008，24(3):305-315.

［20］ Partom Y.Modeling failure waves in glass［J］.International Journal of Impact Engineering，1998，21(9):791-799.

［21］ Holmquist T J，Johnson G R，Grady D E，et al.High strain rate properties and constitutive modeling of glass［C］.15th International Symposium on Ballistics，Jerusalem，Israel，1995:237-244.

［22］姚国文.冲击压缩下氧化铝陶瓷中的破坏波研究［D］.重庆:重庆大学，2003:94-96.

［23］ Huang C Y，Subhash G.A dynamic damage growth model for uniaxial compressive response ofrock aggregates［J］.Mechanics of Materials，2002，34(5):267-277.

［24］贺红亮，经福谦，金孝刚，等.冲击波极端条件下玻璃的细观结构破坏［J］.高压物理学报，1998，12(4):241-249.