强非线性振动系统极限环振幅控制研究

蔡 萍，唐驾时

(1.湖南大学 机械与运载工程学院，长沙 410082;2.漳州师范学院 数学与信息科学系，福建 漳州 363000)

非线性振动系统分岔研究为非线性动力学研究的重要课题，具有自身的理论意义及应用背景［1］。工程中，分岔控制目的是避免分岔给系统造成不利行为。Hopf分岔作为重要的动态分岔，其控制已引起数学、物理及工程领域极大关注。郁培等［2］利用非线性状态反馈，提出推迟、消除Hopf分岔及改变分岔解稳定性的控制方法;刘曾荣等［3］结合反馈与非反馈控制，提出非线性系统分岔控制的混合方法。刘爽等［4］通过设计非线性反馈控制器，控制系统Hopf分岔发生、极限环稳定性及幅值，研究耦合非线性相对转动系统的动力学方程。沈建和等［5］通过正规型计算多尺度摄动过程，获得极限环振幅与频率的解析近似表达式，用于一类三维系统。

Van der Pol振子作为自激振动系统具有典型的Hopf分岔特征。最先出现在非线性电路中，继而在机械、生物、化学、生态学等诸多工程与科学领域中亦发现其存在。Lee等［6］提出非线性能量吸收法，讨论Van der Pol振子极限环振幅抑制的两种结构控制方法。唐驾时等［7］基于非线性反馈控制，利用多尺度法，获得Van der Pol振子极限环振幅与反馈系数的解析关系。

对弱非线性问题研究已较成熟，求解强非线性振动问题也有一些方法，如Cheung等［8］提出改进的L-P法，解决了一类强非线性振动方程的近似求解问题。唐驾时等［9］利用改进的L-P法研究参数激励与强迫激励共同作用的一类强非线性系统余维1分岔问题。Pakdemirli等［10］将L-P展开技术与多尺度法结合提出改进的多尺度法，并成功应用于求解含大参数的强非线性振动问题。对广义Van der Pol型强非线性振子，本文利用改进的多尺度法，获得稳定周期解幅值表达式;设计适当线性、非线性反馈控制器，获得极限环振幅与控制增益之间的近似解析式，通过选择适当的反馈系数达到控制极限环振幅目的。并数值模拟验证理论分析的正确性及可行性。

1 极限环振幅计算

考虑广义Van der Pol振子为:

式中:参数ε为较大数值时，即为强非线性振动方程。令 τ=ωt，则式(1)变为:

应用L-P法［11］，将ω2展成幂级数形式:

与传统L-P法不同，采用:

按多尺度法［12］将式(2)的解展成幂级数形式:

其中:Ti=εit(i=0，1，…)。将式(4)、(5)代入式(2)，得:

令ε同次幂系数相等，得:

设式(7)的解为:

将式(9)代入式(8)，为避免方程解中出现永年项，令 eiT0系数为0，得:

按改进的多尺度法［10］，若选取D1A=0，则由式(10)解得:

此时ω1较复杂，显然选择不合理。故选取ω1=0，则由式(10)解得:

2 极限环振幅控制

2.1 线性状态反馈控制

式(16)可视为另一个广义Van der Pol方程:

由上节计算过程，可得受控系统式(16)的极限环幅值表达式为:

极限环幅值随控制增益k变化，且:① 若k=0，则式(18)与式(14)完全相同;② 若k=-μ，则极限环幅值可控制到最小a=0。

2.2 立方非线性状态反馈控制

显然，若k=0，则式(19)、(20)与式(14)完全相同且极限环幅值均随控制增益k变化。

2.3 平方非线性状态反馈控制

2.4 联合控制器

极限环幅值随控制增益k1及k2变化，且:① 若k1=k2=0，则式(21)与式(14)完全相同;② 若k1=-μ，则极限环幅值可控制到最小a=0;③ 比较式(18)、(20)、(21)可知，在相同控制强度下，联合控制更有效。

2.5 其它形式控制器

反馈控制器亦可设计成多种形式(方法相同):

3 数值模拟

由上述讨论知，系统(1)线性反馈控制器不仅能使幅值a为零，也能使a随着k的增大而增大;平方非线性反馈控制器在一次近似下不能控制极限环振幅;立方非线性反馈控制器所得幅值预测表达式中含近似频率ω2，相比另一类三次非线性反馈控制器预测效果稍差;而比较式(20)、式(18)，据方程根及系数关系可知，相同反馈强度下，三次控制器较线性控制器更有效;联合控制器也能控制幅值到零，且可设计多种组合，达到更好的控制效果。取参数 ε=2=μ=β=1，ξ=-0.2，不同反馈控制器对应的极限环见图1。控制前极限环幅值为:a=1.765。对选取的三类反馈控制器，控制后极限环幅值分别为:a=2.065，a=1.263，a=1.932。数值模拟结果验证了幅值控制的有效性。

图1 系统(1)在不同反馈控制器下极限环Fig.1 Limit cycles in the system(1)for different controllers

表1 不同控制参数下极限环幅值Tab.1 Amplitudes of the limit cycle for various control parameters

4 结论

通过讨论广义Van der Pol型强非线性振子极限环振幅控制，在不改变振动频率情况下，选择适当的反馈控制器，利用改进的多尺度法，在一次近似下，所得解析结果与数值模拟结果基本吻合;在不同控制参数下，对较大参数ε=2，相对误差不超过1%，仍具有较高精确度。

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