基于局部均值分解与形态学分形维数的滚动轴承故障诊断方法

张 亢，程军圣，杨 宇

(湖南大学 汽车车身先进设计制造国家重点实验室，长沙 410082)

滚动轴承系统因受间隙、动载荷、非线性接触力、刚度非线性等因素影响，常表现出较强非线性特征［1-2］，而该特征随系统状态、所受非线性因素影响的不同会有所不同。因此，若能准确描述滚动轴承系统在不同状态下的非线性行为，对正确区分滚动轴承工作状态与故障类型非常有意义［3］。事实上，滚动轴承系统非线性特征一般会反映在振动信号中，即其非线性特征不同时，振动信号会呈现不同的几何形状，且系统非线性程度越严重，振动信号几何形状会越复杂无规律。因此，通过对滚动轴承振动信号几何特征进行分析描述其非线性行为理论上是可行的。“分形”可描述自然界中用传统欧几里得几何不能描述的复杂无规律的几何对象，而分形维数是度量分形的重要参数，可定量描述被分析对象的复杂度及非线性程度，故可对滚动轴承振动信号进行分形分析，用分形维数判断滚动轴承系统工作状态。

目前已有多种分形维数，已在振动信号分析方面关联维数与盒维数中广泛应用［4-8］。分形维数估计一般基于不同尺度下对分形集，即不规则几何形状集合进行度量的基本思想。与多尺度形态学在不同尺度下对被分析对象的几何形态进行度量思想一致。因此Minkowski等提出利用多尺度形态学算子估计信号分形维数方法。Maragos等［9］从提高计算效率角度对该方法进行改进及优化。与其它分形维数估计方法相比，基于形态学的分形维数估计方法具有计算复杂度低、计算结果稳定性好等优点，且对信号几何形态变化反应敏感。对滚动轴承振动信号，若系统状态发生改变其几何形态必然也会发生变化，因此可通过估计滚动轴承振动信号形态学分形维数判断其工作状态。然而，实测的滚动轴承系统原始振动信号往往含有大量噪声成分，因实际随机噪声不存在严格的分形［10］，直接计算原始振动信号的形态学分形维数结果不可靠。为得到精确的形态学分形维数，须先对滚动轴承振动信号进行降噪处理。局部均值分解(Local Mean Decomposition，LMD)［11］方法为非平稳、非线性信号分析方法，能自适应地将信号分解为一系列乘积函数(Product Function，PF)分量，每个PF分量均代表原信号特征尺度成分。若能利用LMD方法对滚动轴承振动信号进行分解，得到若干PF分量，舍弃噪声分量，只保留含故障特征信息的PF分量，并计算PF分量的形态学分形维数，能提高形态学分形维数的精确度，从而能更准确判断滚动轴承系统工作状态及故障类型。因此，本文提出基于LMD及形态学分形维数的滚动轴承故障诊断方法，对滚动轴承实验信号分析结果表明，该方法能准确识别滚动轴承工作状态及故障类型，为有效的滚动轴承故障诊断方法。

1 形态学分形维数估计

1.1 算法

分形维数能在不同尺度下度量分形集边界复杂度与不规则度，是对分形集进行描述与分类的重要特征量。因振动信号的拓扑维为一维，故此处只讨论拓扑维为一维的实数数据序列分形维数。分形维数有多种定义方式，其中基于“覆盖”思想的定义方式原理清晰且便于计算，具体为:设X为实平面集R2中的一个非空子集，b为实平面集R2中一个尺度为ε的闭集，若覆盖集合X所需闭集b的数目为N(ε)，则可定义集合X的分形维数D为:

由式(1)可知，估计分形维数过程实际为在不同尺度下对分形集进行度量的过程，而如何实现该不同尺度下对分形集的度量为估计分形维数关键。

多尺度形态学为在不同尺度下对信号形态特征进行度量的数学方法。因此可利用多尺度形态学估计信号的分形维数。Minkowski为计算不规则曲线长度，提出Minkowski覆盖法，即利用不同尺度圆盘形结构元素对曲线进行膨胀运算，以实现对曲线的覆盖;Bouligand将该覆盖法中圆盘形结构元素推广到任意形状的平面形结构元素，提出估计一维信号分形维数方法，并称为Minkowski-Bouligand维数DM。由于计算DM时采用二维平面形结构元素，因此具有二次方的计算复杂度。为降低计算复杂度，提高计算效率，Maragos等提出另一种方法估计信号的Minkowski-Bouligand维数。该方法同样基于多尺度形态学，其理论基础为:对一维信号分形维数的估计，认为平面集B覆盖一维信号方式与采用一维函数g对信号进行形态学变换方式等效，其中一维函数g为平面集B的上确界［9］。对一维离散时间信号f(n)，(n=0，1，…，N)，该方法具体算法为:

(1)设B为关于x，y轴对称、单连通的实平面集，g(n)为平面集B的上确界，取 ε =1，2，…，εmax为分析尺度范围，在每个尺度ε下将一维离散函数g(n)作为单位结构元素对f(n)进行一次膨胀及腐蚀运算，即:

(2)在形态学中对信号进行膨胀及腐蚀运算，即对信号求上、下包络。由此可定义在尺度ε下信号f(n)关于结构元素g(n)膨胀及腐蚀运算的覆盖面积Ag(ε)为:

(3)Maragos证明当 ε→0时，Ag(ε)的成立等式为:

其中:DM为信号 Minkowski-Bouligand维数，ε'≜2ε/N为归一化尺度。因此只需对log(Ag(ε)/(ε')2)和log(1/ε')进行最小二乘线性拟合即能得到一条直线，该直线斜率即为信号f(n)的Minkowski-Bouligand维数。

上述估计Minkowski-Bouligand维数算法只用一维结构元素，故计算复杂度是线性的，可大大提高计算效率。然而，用该算法估计信号Minkowski-Bouligand维数，对单位结构元素选择是有限制的。由于:① 平面集B须关于x，y轴对称且单连通;② 为获得精确估计结果，平面集B须具尽量小尺度，平面集B的形状只能是以坐标原点为中心的3×3个点正方形、5个点菱形或3个点水平线段，致使B的上确界，即单位结构元素g(n)只能定义在n=-1，0，1 上的h×{1，1，1}、h×{0，1，0}或{0，0，0}，其中h为高度参数。当单位结构元素为{0，0，0}时，算法可减少部分计算量且维数估计结果不会受信号幅值范围影响，故本文选{0，0，0}作为单位结构元素。对最大分析尺度取εmax=N/2，即分析尺度范围为1≤ε≤N/2，其中ε为正整数。

1.2 仿真信号分析

为验证估计分形维数的准确度对人造分形信号进行分析。魏尔斯特拉斯余弦函数(Weierstrass Cosine Function，WCF)为参数化分形测试信号，定义为:

其中:γ＞1，理论上WH(t)的分形维数为D=2-H。式(6)为WH(t)的连续形式，具体分析时可设采样时长1 s、采样频率1 000 Hz对WH(t)进行离散。另取γ=5，0≤k≤20。图1、图 2 分别为分形维数D=1.5、D=1.8 时，即W0.5(t)、W0.2(t)的时域波形，由图看出，W0.2(t)较W0.5(t)波形更破碎。采用基于形态学的分形维数估计方法估计两者分形维数，尺度ε分别为10、20时W0.5(t)关于结构元素g(n)的膨胀及腐蚀运算结果(截取0.3～0.7 s时间段波形)见图3，可以看出，实际上为对W0.5(t)进行不同尺度的包络。W0.5(t)的双对数见图4，图中直线斜率K=1.518 2即W0.5(t)的分形维数。同样可得W0.2(t)的分形维数为1.791 3，与理论值误差分别为1.82%，0.87%，说明基于形态学的分形维数估计方法准确度较高。产生误差的主要原因为k的取值范围从无限变成有限及信号离散误差。

盒维数为常用分形维数估计方法，与形态学分形维数相同，亦通过“覆盖”方式估计信号分形维数。便于对比，采用盒维数计算方法估计W0.5(t)，W0.2(t)分形维数结果分别为1.386 0，1.617 9，与理论值误差分别为11.40%，18.21%。故盒维数计算方法的估计精度较形态学分形维数估计精度差。

图1 魏尔斯特拉斯余弦函数w0.5(t)Fig.1 Weierstrass cosine function w0.5(t)

图2 魏尔斯特拉斯余弦函数w0.2(t)Fig.2 Weierstrass cosine function w0.2(t)

图3 w0.5(t)膨胀及腐蚀运算结果Fig.3 Results of dilation and erosion for w0.5(t)

图 4 w0.5(t)双对数图Fig.4 Log-log graph for w0.5(t)

2 基于LMD及形态学分形维数的滚动轴承故障诊断方法

2.1 方法原理

形态学分形维数计算结果与其它分形维数计算结果一样均会受噪声影响，而实测的滚动轴承振动信号或早期故障信号通常含有大量背景噪声，能反映轴承系统状态的特征成分常被噪声湮没，直接影响到形态学分形维数的准确性。因此，通过形态学维数判断滚动轴承系统的工作状态，须先对原始滚动轴承故障振动信号进行降噪处理。采用新的自适应非平稳、非线性信号分解(LMD)方法，可将任意复杂信号自适应地分解为若干PF分量和，每个PF分量代表原信号一种特征成分，将滚动轴承振动信号中的状态特征成分从噪声等干扰成分中分离出来。与类似经验模态分解(Empirical Mode Decomposition，EMD)［12］方法相比，LMD方法具有迭代次数少、端点效应不明显、瞬时频率无负值等优点［13］。本文将LMD方法与形态学分形维数相结合，提出基于LMD与形态学分形维数的滚动轴承故障诊断方法，具体步骤为:① 采用LMD方法对原始滚动轴承振动信号进行分解，得到若干个PF分量［11］。② 据滚动轴承发生故障时的故障机理及实际工况，选出含故障特征的PF分量，并舍弃噪声分量及不具代表性的PF分量。③ 利用计算选取的PF分量形态学分形维数判断滚动轴承系统的工作状态及故障类型。

2.2 应用

在旋转机械实验台上分别进行滚动轴承内圈故障、外圈故障及正常状态实验。轴承型号SKF6307，轴转速680 r/min，采样频率8 192 Hz，每种状态下各采集9组数据。图5、图6、图7分别为轴承正常、内圈故障及外圈故障状态下某一组数据的时域波形，可以看出轴承正常状态振动信号振幅较小，表现为随机噪声特征;内、外圈故障状态的振动信号振幅较大，且存在故障性冲击特征，较难通过时域波形进行区分。采用基于形态学的分形维数估计方法直接计算各状态原始振动信号的分形维数，结果见图8，可以看出正常状态下振动信号的分形维数较大，且与故障状态下振动信号分形维数区分明显;内、外圈故障状态下振动信号的分形维数较小，且差别较小，无法区分。原因为正常状态的振动信号接近随机噪声，形态最复杂无规律，分形维数较大，两种故障状态的振动信号由于存在故障性冲击成分，形态具有一定确定性及规律性，分形维数较小;另外，因两种故障状态的振动信号中均存在相似的背景噪声，形态上也具有相似性，故分形维数较接近，无法区分滚动轴承的故障类型。

图5 滚动轴承正常状态振动加速度信号g.5 Vibration acceleration signal of norm roller bearings

图6 滚动轴承内圈故障状态振动加速度信号Fig.6 Vibration acceleration signal of roller bearings with inner race defect

图7 滚动轴承外圈故障状态振动加速度信号Fig.7 Vibration acceleration signal of roller bearings with outer race defect

图8 滚动轴承各状态振动加速度信号形态学分形维数(△:正常状态，*:内圈故障，O:外圈故障)Fig.8 The morphological fractal dimensions of vibration acceleration signal of roller bearings

采用LMD方法将滚动轴承原始振动信号由高频至低频分解为若干个PF分量，因含故障特征信息的固有振动成分属高频成分，因此只需计算分解所得第1个PF分量的分形维数，便可准确识别出滚动轴承工作状态。图9～图11分别为图5～图7所示信号的第1个PF分量PF1(t)，对比看出，正常状态下PF1(t)与原始振动信号波形差别不大，内、外圈故障状态下PF1(t)的冲击特征明显加强，信噪比得以提高。采用基于形态学的分形维数估计方法计算3种状态下所有27组数据第1个PF分量的分形维数D，结果见图12，可看出，此时分形维数D能清晰将滚动轴承3种状态区分开，虽因随机噪声不存在严格分形造成正常状态的分形维数出现较大波动，但并不影响对滚动轴承各状态的正确区分。由此表明基于LMD的形态学分形维数能有效应用于滚动轴承的故障诊断。

为便于对比，将LMD与盒维数结合对测试样本进行分析，样本数据及序号与上述一致，计算结果见图13，可以看出，正常状态与内圈故障状态的盒维数结果部分有重叠，无法区分，且3种状态的盒维数结果动态范围无形态学分形维数大，说明形态学分形维数具优越性。

图9 滚动轴承正常状态振动信号第1个PF分量Fig.9 The 1st PF of norm roller bearings vibration signal

图10 滚动轴承内圈故障状态振动信号第1个PF分量Fig.10 The 1st PF of roller bearings vibration signal with inner race defect

图11 滚动轴承外圈故障状态振动信号第1个PF分量Fig.11 The 1st PF of roller bearings vibration signal with outer race defect

图12 特征PF分量的形态学分形维数(△:正常状态，*:内圈故障，O:外圈故障)Fig.12 The morphological fractal dimensions of characteristic PF

图13 特征PF分量的盒维数(△:正常状态，*:内圈故障，O:外圈故障)Fig.13 The box counting dimensions of characteristic PF

3 结论

(1)通过形态学运算估计信号分形维数具有原理直观简单、计算效率高等特点，对仿真分形测试信号分析结果表明，形态学分形维数估计精度较高。

(2)LMD方法能将滚动轴承振动信号中的特征成分与噪声等干扰成分分离，可提高信号的信噪比。

(3)将LMD与形态学分形维数结合，提出基于LMD与形态学分形维数的滚动轴承故障诊断方法，通过对滚动轴承故障实验信号分析，表明该方法可准确地判断滚动轴承的工作状态及故障类型，为滚动轴承故障诊断提供了新的有效途径。

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