干摩擦振子双粘着运动响应的级数形式解及粘滑边界分析

钱大帅，刘占生，刘镇星，叶建槐

(哈尔滨工业大学 动力机械振动与噪声控制技术研究所，哈尔滨 150001)

干摩擦振动系统重要特性之一是当激励与结构参数满足一定条件时，系统响应出现“粘滑”现象。粘着发生时，摩擦单元无相对运动，干摩擦系统耗能减振特性会因此受影响。另外，摩擦副之间粘着可能会加剧某些运动结构中的有害摩擦。因此，研究粘滑运动对预防及利用干摩擦效应具有重要意义。

但干摩擦定律的间断特性限制了各常规分析方法在干摩擦系统研究中的应用，为粘滑特性仿真与解析研究带来了困难。目前对干摩擦系统响应的解析求解多采用等效粘性阻尼方法、光滑函数法或分段拼接法［1］，而分段与拼接方法应用最普遍。Hong 等［2］通过对无粘着运动响应进行分段解析与拼接分析，获得响应表达式，并给出避免粘着所需最小简谐力幅值。郭树起等［3-4］在文献［2］基础上，通过分段解析方法，采用弱化的假设条件，给出不同粘性阻尼条件下纯滑动运动的统一解析表达式及粘着发生的参数边界。文献［5］采用分段分析方法，获得简谐激励下无粘性阻尼干摩擦振子的粘滑运动解析解，认为干摩擦振子运动为含有“滑动-粘着”转换的两阶段运动，并给出形式简单的“滑动-滑动”条件，绘制出在参数平面内无粘性阻尼干摩擦振子粘着次数分布图。Liu等［6-7］对粘滑运动进行分段处理，认为采用依赖速度的干摩擦模型系统中存在发生粘着运动的临界传动速度。Duan等［8］采用光滑化方法，结合分段处理手段，研究纯滑至粘滑状态的边界预测问题，发展了基于扭矩假设和速度轮廓的解析方法。杨绍普等［9］通过分段求解，给出激励频率为固有频率的三分之一时，无粘性阻尼干摩擦振子双stop粘滑运动的精确解，对响应特性及粘着条件进行了分析。

等效粘性阻尼法与光滑化方法是近似逼近方法，不能给出精确解;分段拼接法思路简单，可给出精确解，但求解过程繁琐，解的形式较复杂，且解析解非全局普遍解，因而限制其应用及推广。故需对粘滑运动特性进行分析，给出形式简单、能对粘着及滑动状态进行统一描述的粘滑运动解析解。本文利用谐波平衡方法对单自由度干摩擦系统粘滑运动中最常见的双粘着粘滑运动进行分析，寻求双粘着运动响应的级数解析形式，分析双粘着粘滑运动特性，研究参数对双粘着运动影响，讨论粘着条件及粘滑边界。

1 干摩擦振子双粘着运动

在简谐激励作用下，含粘性阻尼的单自由度干摩擦振动系统动力学方程为:

其中:F0，ω分别为简谐激励力幅值、角频率，φ为位移响应落后于简谐激励力的相位角。Ff为摩擦力，遵守集值库仑定律:

式中:μ为动摩擦系数，N为正压力。取最大静摩擦力值Fs等于滑动摩擦力幅值，即:

式(1)的干摩擦振动系统会出现双粘着粘滑运动。双粘着运动响应曲线示意图见图1。由动力学方程及响应曲线知:

(1)双粘着运动响应具有周期性，其周期T即简谐激励周期;

(2)双粘着运动响应具有对称性，即:

(3)在一个时间周期内，系统稳态响应可划分为“滑动(ta至tb)-粘着(tb至tc)-反向滑动(tc至td)-粘着(td至te)”四个阶段。粘着阶段，系统位移保持不变，静摩擦力大小由受力平衡决定。

图1 双粘着运动的响应和摩擦力曲线Fig.1 Response and frictional force curves of double-stick motion

2 双粘着运动级数形式解析解

2.1 摩擦力函数级数形式

摩擦力函数式(5)可展开为傅里叶级数形式:

其中:a0，an，bn为傅里叶级数系数。

定义半周期内滑动阶段对应的幅角长度为:

则:

式(8)表示半周期内粘着阶段对应的幅角长度。

积分得各项系数a0，an，bn为:

n=1时:

所得各谐波项级数表达式中只含奇次谐波项，与数值仿真频谱分析结果一致。因此摩擦力函数可表达为:

2.2 谐波平衡过程

令:

利用式(14)、(15)，将动力学方程改写为:据式(16)右端项力函数特点，设系统位移响应为:

将式(17)代入式(16)，并令方程两端同次谐波项系数相等，可解出式(17)系数表达式，得位移响应级数形式解为:

由式(19)可看出，双粘着运动响应与力幅比、频率比、粘性阻尼比有关。

由推导过程与级数解形式知，粘着与滑动阶段解的形式可统一。因此级数解为全局形式解。虽级数解各单项表达式形式复杂，但总体形式简单、求解思路易理解、计算方便。且级数解推导无高次方程求根、开方及反三角函数等运算，可避免文献［9］中解析求解对参数范围及无意义解的取舍。

2.3 待定参数求解

式(19)的响应表达式中有三个未知参数:xa，T1，φ，其求解条件为:

(1)t=0 时，x|t=0=-xa，即:

由式(20)～式(22)导出关于xa，T1，φ的非线性代数方程组，求解三参数，可得双粘着粘滑响应与摩擦力函数。

3 双粘着运动特性分析

3.1 与仿真结果对比

取系统参数:F0=2 N，k=6π N/m，R=0.5，ζ=2.65 ×10-2，ξ=0.4。谐波项取前3 000 项。据上述方程组，解得:

图2、图3为上述参数对应级数解与数值解结果的对比图。由响应曲线看出，级数形式解析解能较好地描述双粘着运动，对系统粘着阶段及滑动阶段表述清晰，与数值结果吻合较好。由级数解所得响应振幅略小于数值解结果，但与数值解差异小于数值解幅值的0.4‰。将求得的参数值代入式(14)、式(5)，摩擦力函数的级数解与直接分段函数吻合较好(见图4)，级数解对摩擦力函数的描述也是正确的。

图2 双粘着运动位移响应Fig.2 Displacement response of double-stick stick-slip motion

图3 双粘着运动速度响应Fig.3 Velocity response of double-stick stick-slip motion

图4 双粘着运动过程中摩擦力变化曲线Fig.4 Frictional force curve of double-stick stick-slip motion

3.2 参数对双粘着运动粘着时间长度影响

据式(8)对β'的定义，考察参数对双粘着运动粘着阶段长度的影响。β'变化情况见图5。由图5看出，当力幅比R增大时，粘着时间变长。由于较大力幅比对应最大静摩擦力，非摩擦合外力需更长时间以达到并克服最大静摩擦力。

当激励频率比ξ大于1时(图5(b)、(d))，随着粘性阻尼增加，双粘着运动的粘着时间增长。当激励频率比小于1时，粘着时间随参数的变化更复杂(图5(a))。当力幅比小于0.57时，粘性阻尼越大，粘着时间越短，而在力幅比大于0.57时，粘着阻尼增加会导致粘着时间增长。总之，力幅比与频率比越大，粘性阻尼对粘着时间影响越小。

3.3 参数对双粘着运动位移幅值影响

不同频率比、不同粘性阻尼比情况下双粘着运动位移幅值的变化曲线见图6。摩擦力增大会导致响应幅值减小，当力幅比趋于1时，位移响应趋于零，即振子无法运动，始终粘着。粘性阻尼增大同样会导致响应幅值减小，激励频率不同影响程度不一。在主共振频率(ξ=1.0)处影响最明显;频率比 ξ=10.0时，粘性阻尼影响较小。

图5 粘着阶段长度变化Fig.5 Variation of sticking duration

图6 粘着阶段位移幅值变化Fig.6 Variation of sticking displacement amplitude

4 粘着发生参数边界分析

无粘着运动过程中，摩擦力函数以方波形式变化:

此方波函数展的傅里叶系数为:

式(25)为式(10)～式(13)在 β=π时的化简形式。因此无粘着运动响应解可由式(19)导出，据此可知参数平面内有、无粘着运动分界线。

将式(22)代入式(15)并消去xa，将An，Bn按 φ 整理为:

其中:n=1时有:

将式(26)、(27)代入式(20)、(21)，整理得:

式(28)可进一步变形为:

定义辅助函数f:

双粘着运动系统参数应满足:

由于β为上半周期内粘着阶段开始点对应的相位角，因此干摩擦振子不发生粘着的纯滑动参数条件为:

由式(32)可解出干摩擦振子粘着发生的临界条件，即粘滑边界线表达式为:

ξ-R参数平面内粘着边界线见图7。给定激励频率比，当系统力幅比R大于边界力幅比时，系统将发生粘着，反之发生纯滑动运动。粘性阻尼对粘滑边界线影响较大，粘性阻尼增大导致纯滑动参数区域范围缩小，在频率比较小(ξ＜30)时尤其显著。当激励频率比较大(ξ＞30)时，粘性阻尼对粘着边界线影响相对较小。当频率比较大(ξ＞100)时，边界力幅比趋向于稳定值R=0.537 1，粘性阻尼比对粘滑边界线基本无影响。

ζ=0时，系统中不存在粘性阻尼，由式(18)，粘着边界条件式(33)可简化为:当 ξ=1/i(i=3，5，7，…)时，有:

当n≠i时，Pn为有限值，对式(34)进行极限分析可知:

上式说明:当ξ=1/i(i=3，5，7，…)时，粘着边界线会无限接近于零。因此，当无粘性阻尼时，在奇次分数倍频处，摩擦力再小，粘着总会发生。在该频率比处，粘着边界线取局部极小值，因此，粘滑边界线在低频范围内会出现凸凹交替特征，如图8所示。

考虑粘性阻尼情况下，据式(19)，位移响应第n阶谐波项幅值可写为关于频率比ξ的函数:

图7 粘滑边界线Fig.7 Stick-slip boundary curve

图8 粘滑边界线凸凹交替曲线Fig.8 Concave-convex alternation of stick-slip boundary curve

式中:An，Bn与ξ无关，使xan取极值的驻点表达式为:

解得使xan取极值的驻点频率比为:

式(33)可视为关于频率比的函数R(ξ)。可以验证，当粘性阻尼比足够小(0≤ζ≤2)时，式(39)的频率比值均满足:

在此频率比处，粘着边界线为局部极小值(图8)。随着粘性阻尼比增大，力幅比函数R的局部极小值逐渐增大，力幅比函数曲线的局部极小谷值从左至右会依次消失。当粘性阻尼比增加至ζ≈0.165 2时，粘滑边界线最右侧对应频率比为1/3的局部极小谷值消失，凸凹转换特征消失，粘滑边界线呈现单调变化。

5 结论

基于谐波平衡方法给出干摩擦振子双粘着运动响应的级数形式解析解。利用该解析解对双粘着运动特性及粘着参数边界进行分析，结论如下:

(1)本文所给级数解形式简单，能对粘着及滑动阶段特性统一描述，为全局形式解。与数值结果对比表明，级数解能较好描述双粘着运动;

(2)频率比、力幅比及粘性阻尼对双粘着运动的响应幅值及粘着时间影响较大。同一激励频率下，力幅比增大会导致位移幅值减小及粘着时间变长。粘性阻尼对幅值及粘着时间影响与频率比与力幅比相关，频率比与力幅比增加会削弱粘性阻尼影响;

(3)由所给参数平面内干摩擦振子的粘滑边界线方程知，粘滑边界线受粘性阻尼影响较大，粘性阻尼增加能缩小纯滑动参数区域;频率比较小时影响更明显。当粘性阻尼较小时，粘滑边界线在奇次分数倍频处存在局部极小值，出现凹凸转换特征。

［1］白鸿柏，黄协清.干摩擦振动系统响应计算方法研究综述［J］.力学进展，2001，31(4):527-534.

BAI Hong-bai，HUANG Xie-qing.An overview on study of methods of response computation for the dry frictionally damped vibration systems［J］.Advances in Mechanics，2001，31(4):527-534.

［2］ Hong H K，Liu C S.Non-sticking oscillation formulae for coulomb friction under harmonic loading［J］.Journal of Sound and Vibration，2001，244(5):883-898.

［3］郭树起，杨绍普，郭京波.干摩擦阻尼系统的非粘结受迫振动分析［J］.振动工程学报，2005，18(3):276-281.

GUO Shu-qi，YANG Shao-pu，GUO Jing-bo.Analysis of nonsticking forced vibrations in a dry friction damper system［J］.Journal of Vibration Engineering，2005，18(3):276-281.

［4］杨绍普，郭树起.一类摩擦振子的纯滑动运动分析［J］.振动与冲击，2009，28(10):43-48.

YANG Shao-pu，GUO Shu-qi.Analysis of pure slip motions of a class of friction oscillator［J］.Journal of Vibration and Shock，2009，28(10):43-48.

［5］ Hong H K，Liu C S.Coulomb friction oscillator:modeling and responses to harmonic loads and base excitations［J］.Journal of Sound and Vibration，2000，229(5):1171-1192.

［6］ Liu C S，Chang W T.Frictional behavior of a belt-driven and periodically excited oscillator［J］.Journal of Sound and Vibration，2002，258(2):247-268.

［7］ Andreaus U，Casini P.Dynamics of friction oscillators excited by a moving base and/or driving force［J］.Journal of Sound and Vibration，2001，245(4):685-699.

［8］ Duan C，Singh R.Dynamics of a 3dof torsional system with a dry friction controlled path［J］. Journal of Sound and Vibration，2006，289(3):657-688.

［9］郭树起，杨少普.三分之一固有频率谐激励下干摩擦振子的双 Stop粘滑运动［J］.振动与冲击，2009，28(4):81-85.

GUO Shu-qi，YANG Shao-pu.2-Stop stick-slip motion of a dry friction oscillator under a harmonic excitation of one-third natural frequency［J］.Journal of Vibration and Shock，2009，28(4):81-85.