数学存在的语言建构——结构主义的研究范式

郝一江

(1.华中科技大学哲学系，武汉 430074;2.中国社会科学院哲学研究所，北京 100732)

一、数学哲学的范式转换

19世纪微积分的算术化导致集合论的建立，从而形成数学基础三大学派:逻辑主义、形式主义与直觉主义，进而引发了更为普遍的哲学思潮。以逻辑实证主义为代表的分析哲学运动主张，逻辑是哲学的唯一合法的研究领域，形而上学问题源于语言的误用，没有任何意义而应当从哲学中清除出去，数学哲学成为数学语言的逻辑分析，成为关于数学语言的逻辑句法学与逻辑语义学。20世纪30年代哥德尔不完全性定理的提出，从逻辑上阐明了对于数学语言的逻辑分析无法完全封闭形成自我满足的有限世界，数学语言除了具有逻辑的维度还有存在的维度，逻辑分析必须参照存在建构才能说明自身，否则就会陷入无穷回归，这样打开了结构主义根据集合论语言建构数学存在的逻辑之门。20世纪60年代奎因揭示了经验主义的两个教条，重新点燃人们对于本体论的哲学兴趣。奎因阐明存在就是作为约束变元的取值，提供了切入本体论问题的语言途径，通过语言的途径进入存在问题，结构主义完成了数学哲学的范式转换，进而兴起了不同类型的结构主义学派:集合论结构主义、范畴论结构主义、模态结构主义。三大学派通过语言的途径把数学哲学引向意义与真理的探讨，并通过语言的途径把数学哲学引向数学对象的存在建构。

从19世纪末以来，代数、拓扑、几何、数论、微分方程等数学分支都非常明显地采用了结构主义的方法:常常使用公理化方法来研究对象(群、数域、空间)的结构化的总体特性以及对象间的映射与同构。作为数学哲学的结构主义在20世纪成为主导数学的研究方法，在抽象代数、拓扑、实分析和复分析中表现得尤为明显。从总体上看，数学都一直若隐若现地显示出结构主义的特征，现代数学中的结构方法激发了哲学界对结构主义的兴趣［1－4］。

结构主义体现并且强化了数学的这种自然倾向，数学从而更关注对象之间的关系而非对象本身的性质。高斯认为:数学是关于关系的科学，从关系中可以抽象出任何概念。彭加勒亦指出:数学家不是研究对象，而是研究对象之间的关系［5］。狄德金则认为，每个数学结构都是以集合、运算和关系的系统为基础，而且同构的概念与结构的类型有关［6］。

关系与其依附的所有个体共同组成结构，这些个体可以被看成是结构的背景与载体，根据背景的不同可以区分结构主义的基本类型。数学结构主义包括以下基本类型:(1)集合论结构主义(set-theoretic structuralism)，主要利用模型论描述数学结构与数学结构之间的相互关系。(2)自我依存结构主义(sui generis structuralism)，该理论认为结构是由“位置”组成的共相，它所表示的关系由公理系统间接给出。(3)模态结构主义(modalstructuralism)，它利用论域的二阶逻辑可能性与适当关系，通过类型公理系统给出所满足的隐性定义条件［7］185。(4)范畴论结构主义 (categorical structuralism)，认为范畴论是把结构主义作为数学哲学解释的基本框架的一个方式［8］。

二、结构主义的语言框架

为了得到清晰而精确的“结构”与“结构映射”的概念，数学或者求助于集合论，或者求助于模型论，而模型论可以看成集合论的一个分支。这样，集合论就成为结构主义重建数学的概念框架，也就因而成为结构主义表述数学的基本语言，结构主义之间的分歧可以归结到对于集合论的不同处理方式［7］185。集合论容许使用约束变元指称类、集合与关系，类、集合与关系可以作为个体加以量化，这样就产生了对于这些抽象实体的实在性的哲学争论。

集合论结构主义原封不动地推广集合论语言，认为关系(集合)可以作为个体加以量化。然而，这种量化只是某种预设的本体论，关系(集合)仍然限于作为普遍的概念，本身没有转化成为真实的个体。换句话说，关系(集合)只是可以拥有个体的地位，而非已经转化成为真实的个体。这种身份与内容的冲突在集合论语言中贯穿始终。集合论语言的本体论是预先的假定，关系(集合)作为个体缺乏真实的基础，如果关系(集合)只是预先假定的偶然对象，那么整个数学都会受到威胁。这种威胁集中表现为真类问题与“累积分层(cumulative hierarchy)”问题［7］185－186。按照集合论语言，任何关系(集合)都能作为个体加以量化处理，任何对象都能在结构中占有一个位置。可是真类不能作为进一步聚合的元素。为了对于真类进行量化处理必须引入超类，也就是建立在集合的分层“之上”的更加无休无止的分层的类，真超类的类似问题将会出现，这将导致超级超类等等，永无止境［7］186。在集合论结构主义描绘的数学图景中，真类是必不可少的环节，没有真类的集合论甚至不能作为真实结构的抽象模型。然而对于集合论结构主义来说，真类只是根据简单的定义而预先假定的必然存在，这就是说存在可能被推导出来，这种做法模糊了数学本体论与神学之间的界限［7］186－187。

自我依存结构主义主张突破集合论的语言限制，任何谓词都可以作为名词加以对待，任何关系(集合)都可以通过空间转化变成为独立存在的实体。(1)这种理论首先认为自然数结构可由二阶的皮亚诺—狄德金公理进行隐性定义，并可被由对象形成的这些公理的任何系统所例证。自然数的结构是一种柏拉图式的抽象，一个共相、一个具体回答了“所有级数共同分有哪些东西”的模式，我们可以类似地讨论实数、复数等的结构［7］188。(2)自我依存结构主义还认为，公理可以直接用于说明结构存在，这些公理是在二阶语言的背景下加以表述的，而且它们大多相互关联;把一个反射模式添加到这些公理中会得到一些更大的结构［7］188。(3)自我依存结构主义同时认为，由于关系(集合)可以通过空间化成为独立个体，因此仅仅凭借协调性公理就可以确立结构的存在。协调性公理是指，如果φ是二阶语言中的一个协调的公式，那么存在一个满足φ的结构。空间化使得关系本身拥有质料成为实体，不再借助集合论语言指称的外部个体，协调性公理从此摆脱了集合论语言的不动的背景本体论［7］189。

范畴论结构主义可以看成自我依存结构主义的具体实现。按照这种理论，关系(集合)通过空间化转化成为结构，结构不是普遍的概念而是真实的对象，具有同构关系的结构通过态射联系起来，所有这些对象以及它们之间的态射形成范畴。一个范畴本质上是带有箭头的一个图，这些箭头是一些对象之间的态射(morphisms)［6］。关系、联络(connection)、性质、运算等概念都包含在态射这一初始概念之下。因此，许多表面不同的现象可以用统一的方式来描述，并且在范畴论语言之下，这些概念可以轻易地进行相互转换［11］。数学的主题是不变的形式，而不是由逻辑原子组成的数学对象的共相。范畴论为数学提供了一个替代集合论的自治基础，若非如此，则S.Awodey关于“累积分层”的核心真理的公理化建议就不能得以实现［12］。范畴论本身能够被公理化，结构被当作一个范畴的“对象”，结构可以通过公理处理成单体或点，对象间的态射典型地保持了所讨论的数学分支的“结构性质”特征。例如，等距保持了度量结构，同态保持了拓扑结构，微分同胚保持了微分流形结构，等等。范畴自身在一个范畴中可以处理成对象，在初始范畴的映射中使态射(函子)结构保持关系，甚至使函子的态射产生一个函子范畴［12］。在一个给定的结构中，数学对象与结构的指称不能消去，因此语义实在论的范畴论解释为数学结构主义提供了一个合理的解释，同时避免了掉进柏拉图主义与唯名论的泥潭［13］。范畴论揭示出了逻辑与集合论的密切联系，为抽象集合提供了一个结构理论，容许逻辑与几何之间出现令人吃惊的联系，从而使得逻辑与数学能够以更加统一的方式进行处理［14］。

模态结构主义坚持彻底的唯名主义，认为关系(集合)不能占据个体的位置，关系(集合)不能拥有个体的身份，否则就给柏拉图主义打开了大门。模态结构主义主张使用模态逻辑的语言取代集合论语言，通过使用初始的模态算子可以消去任何数学对象，包括结构的任何指称。对于二阶逻辑可能性而言，还需要对数学结构上的任何量词进行精心布局，并且要对二阶逻辑的概括原理进行仔细限制，以避免介入可能的对象、类或者关系。仅仅以可数的无穷多个原子为基础，并重复使用它们，可得到经典的三阶数论。如果我们假定原子的连续统的可能性，就可以得到完整的四阶数论，从而实现对大量的拓扑、测度论以及其他抽象数学的结构解释。对象是为了抽象，而不是抽象对象［7］199，模态结构主义方法可以避免对集合论中的模型的过于依赖［9］。

三、结构主义的哲学观念

现在我们可以比较结构主义的这些基本类型之间的相同与不同。在研究领域与提问方式上，所有这些结构主义的研究纲领具有家族相似的特征，它们与20世纪上半世纪的数学基础三大学派——逻辑主义、形式主义、直觉主义不同，它们关注的中心问题是数学语句的意义与真值这些逻辑问题。结构主义这些学派，无论是根据什么样的语言表述数学重建数学，它们心目之中的核心问题是数学对象是否存在、以什么样的方式存在，以及在何种意义上存在这些本体论问题，可以认为与数学基础三大学派相比，它们的研究纲领发生了范式转换，它们的研究工作从数学语言的逻辑分析转向了数学存在的语言建构。或者根据集合论的语言进行数学存在的建构，认为数学对象是在集合论语言的预先假定的意义上获得存在;或者根据范畴论的语言进行数学存在的建构，范畴论的语言不但允许数学对象获得个体的地位，而且通过关系的空间化使数学对象实际转化成为真实的个体，进而通过态射刻画这些个体之间的同构关系;或者根据模态逻辑的语言取消对于关系的指称，而把存在的权利仅仅限制在外部世界的特殊事物上面，从而从语言上彻底取消数学对象存在的可能性。

结构主义在数学本体论领域耕耘劳作，无论是建构数学对象还是消除数学对象，它们面对的问题始终是数学对象的存在问题。面向存在问题是结构主义发问的自然倾向，这种自然倾向集中体现在形形色色的结构主义共同具有的两个直觉观念上。

结构主义的第一个直觉观念的基础原则是:数学是通过或多或少的严格演绎方式而得到的对于结构的可能性的探讨。这就说明如果把“公理”理解成“定义条件”，从而得到结构范畴的一个证明，那么就可以获得关于结构的有趣的结论，这体现了几何、抽象代数，以及抽象空间的现代观念。这点反过来也揭示出在数学基础中二阶逻辑概念的重要性，因为定义条件的一阶翻译不能表示数学的核心结构，例如自然数结构、实数、复数，以及累积集合论分层的初始部分［9］。

结构主义的第二个直觉观念的基础原则可以追溯到德国数学家狄德金，这一原则引起了哲学家与逻辑学家的广泛关注。这个原则就是:在数学的相关领域中，重要的不是特殊对象，而是某种“结构”的性质与关系，个体数学对象的同一性依赖于这种结构关系，亦即依赖于结构中的“相对位置”。在一定条件下，通过特殊的构造或者定义(例如通过收敛有理序列)可以恢复这种结构，通过关注一个特殊的构造，可以对于单个词项(例如序列)进行公设，当我们恢复这种结构之后，我们仅仅可以把这种公设看作是对一个实数的公设。从狄德金以来，人们已经清楚地发现这样的一个事实:数学结构是由对象以及对象间的映射形成的系统决定的，而不是由孤立看待的数学对象的任何具体特征决定，现代数学的结构方法很大程度上是由对于映射(系统)的日益关注体现出来的，数学对象是由它们的“容许变换”决定［14］。

结构主义的不同学派之所以根据不同的语言重建数学，是因为它们对于数学对象的存在性具有不同的理解。语言的不同背后就是哲学概念的根本分歧，可以说选择不同的语言其实就是再现了柏拉图主义与唯名主义的古老争论。结构主义的核心思想认为，数学是研究结构以及结构之间的同构关系的演绎科学，因此数学对象只不过是“结构中的位置”，数学理论的目的是把这种对象描述到同构中去。在哲学概念层面，对结构主义的解释主要有两种:一种是遵循柏拉图主义的先物(ante rem)结构主义，另一种则是更多地与唯名论相吻合的在物(in re)结构主义。先物结构主义认为，数学对象就是结构中的位置，数学对象的指称要求结构本身“独立存在于能够例证它们的任何系统”［15］。在物结构主义认为:可通过把关于数学对象的命题作为关于特定类型结构的普遍命题，从而消去数学对象与结构的指称［12］。

先物结构主义者认为结构在我们研究中是以合法对象的身份存在的，一个给定的结构独立于能够例证它的任何系统。例如，在一个结构中，数字是指称真实对象的真实的单称词项，这些对象就是位置。在物结构主义者认为算术命题不能简单看作是关于对象的特殊聚合的命题，算术命题是对某种类型的所有系统的概括。因此，在物结构主义反对把这种数学对象或结构当作真正的对象［10］。

集合论结构主义与自我依存结构主义的对比，实际上是在柏拉图主义的本体论与模态语言的唯名主义之间进行权衡。模态结构主义认为，集合论结构主义、自我依存结构主义与范畴论结构主义是在无模态的语言中设计的，它们会陷入诸多矛盾中，比如，集合、范畴和论域被看作是现实部分，因而导致了关于它们的特征的永久争论。模态结构主义避免了这种抽象，至少在它的初始阶段是这样(比如，在重构集合论之前对数系统的处理就可以避免这种抽象)，并提出了模态唯名论的框架可以表示大量的普通数学。为此，模态结构主义需要建立适中的模态存在公设，对不少数学而言，仅仅可数多个原子需要进行公设，对更多的数学，包括许多拓扑结构与流形，不可数多个原子需要公设，不过这种需要不能够超过唯名论的范围［9］。

集合论结构主义和自我依存结构主义的对比，以及集合论结构主义与模态结构主义的对比关系到把大量的数学结构整合到各自的框架中，而这些框架仅仅依赖于现实的丰富性。对于模态结构主义，我们可以发展一种集合论或者范畴论的模态结构解释方案，然后相应地转换成简单的模型论框架或者范畴论框架进行相应处理。同时，我们可以为这种结构寻找一种直接的理论解释，从而避免集合论支持的范围太宽泛。从本体论的观点看，这种理论解释将面临描述不同类型结构的相互关系的挑战，其中一些关系可由模型论框架与范畴论框架进行处理。如果这种直接的理论解释获得成功，那么结构主义将能够独立于集合论而存在［9］。

四、结构主义的发展趋势

随着存在论题回归人们的视野，结构主义的种种实践逐渐成为数学哲学的成长源泉。这并不是说意义与真理问题完全淡出人们的视野，实际上，结构主义对于数学存在的语言建构正是建立在基础研究三大学派的基础之上的，逻辑主义、形式主义、直觉主义为结构主义提供了建构数学对象的语言框架，这种框架特别体现在集合论结构主义与模态结构主义的工作之中，它们的工作保障了结构主义的本体论建构与数学基础的逻辑研究之间的密切联系，成为沟通逻辑学与本体论两大研究领域的必要环节。在这个背景下，范畴论结构主义工作的原创性与前瞻性就凸现了出来，范畴论彻底突破了逻辑语言的束缚，创造了全新的本体论语言，从而使得存在建构能够像逻辑建构那样成为严格的科学，并且通过集合论与逻辑语言保持密切联系，这样就使得古代朴素的本体论研究提升到语言建构的全新境界。一方面为语言注入了存在的内涵，另一方面把存在提升到语言的境界。可以预见，范畴论结构主义会成为结构主义的主要发展方向，它的一举一动将会影响到其他学派的具体工作。它一方面落实了柏拉图主义关于概念可以成为个体的信念，另一方面深入到现代数学发展的最新前沿，让柏拉图主义的信念充满浩瀚深邃的数学海洋。

C.McLarty认为，范畴论本身是一个可以适用于多种结构的普遍理论，每一个具体的范畴基础都提供了各种相当强的存在公理，当我们谈论“集合公理”的时候都或多或少地是指，这些公理是针对某个潜在的基础理论而言的［13］。S.Awodey认为，把集合论转换成拓扑斯理论的目的是，说明像拓扑斯这样的范畴可以处理大量的能够在集合论中处理的数学，这种转换不是说明拓扑斯理论是一个新的普遍的“基础系统”，只不过是想用拓扑斯理论来代替集合论而已［11］。范畴论结构主义可以通过下面的方式来描述:在内容上强调形式，在构造上强调描述，在演绎基础上强调对假设的约定，在具有这些性质的对象的成分上强调对本质的特征化。也就是说，这些基本观点是建立在特殊的基础系统之内的，并建构在具体的数学对象的观念之上，其具体的方式如下:(1)存在足够多的对象来表示日常数学中的数、空间、群、流形，等等;(2)存在足够多的定律、规则与公理，保证关于这些数学对象的所有普通推理与论证，至少存在某些能够处理系统本身特征的明显的命题［11］。

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