泛函分析课程教学改革初探

魏含玉

（周口师范学院 数学与信息科学系，河南 周口466001）

泛函分析是数学系的一门重要专业基础课，它是研究无限维线性空间上泛函和算子理论的一门分析数学，它综合了分析、代数和几何而形成，被当今科学界喻为“20世纪的微积分”，相对于数学系的“老三基”（数学分析、高等代数、解析几何）而言，它与抽象代数、拓扑学一起被称之为“新三基”，可见，这门课程的重要性.时至今日，泛函分析已成为内容丰富，方法系统，应用广泛的学科.但是由于其内容高度抽象，教师难教、学生难学的现象普遍存在，再加上近几年扩招，使学生的实际水平差别加大，使得更多的学生反映这门课程抽象难学.

因此，在新形势下，迫切需要对泛函分析课程的教学进行改革.近几年来，在总结前人宝贵经验的基础上［1-4］，周口师范学院数学系对泛函分析课程进行以下几个方面的教学改革探索与实践.

1 学习与探索同步，师生交流互动

课堂讲解是整个教学过程中最重要的环节，搞好课堂教学是提高教学效果的关键.大学课堂教学中“满堂灌”现象屡见不鲜，教学的呆板使师生之间缺乏交流和互动.学生是教学的主体，“授之于鱼，不如授之以渔”.教师应当根据具体课程内容采取讲解、讨论、示例等不同的授课方式，活跃课堂气氛，调动学生的参与性，引导学生自主探索，启发学生积极思考，培养其创造力.例如：对泛函分析中一些重要而且常用的概念和定理，教师可以采取以讲解为主的授课方式，力求讲清概念和定理的本质，有关证明的思路、技巧及定理中关键条件的作用，进而在学生深刻理解概念和定理的基础上，启发学生对定理条件进行反思和提问，进一步运用知识去分析解决问题.教师还可以在课堂上准备些问题，或从学生的作业中抽出来的问题，或鼓励学生大胆提问，引导学生自由讨论解决并勇于表达自己的见解.

2 加强与基础课的融会贯通，梳理和巩固已学知识

对于地方师范院校来说，很多同学都在准备考研，尤其是在就业困难的这几年，通过考研进一步深造是一个比较好的选择，所以学生重视初试科目是很正常的.以前有少数同学利用上泛函分析课的时间“干私活”，学生往往是“身在曹营心在汉”，如何真正解决这一部分学生的问题呢？大家知道，泛函分析是现代分析的主要组成部分，被誉为20世纪的分析学，但它同古典分析有着极为深刻和广泛的联系，同时又与代数、几何有着密切的联系.要发挥泛函分析课程高度综合性的特点，在教学中充分注意与数学分析、高等代数、复变函数、实变函数、常微分方程等课程的融会贯通，了解泛函分析中的定义定理的来龙去脉.这样，使学生站在一个新的高度来看以前学过的知识，有“一览众山小”的感觉，能更好地把握基础课内容，也能对大学阶段专业知识学习情况作一个很好的检验；同时，使学生认识到泛函分析原来就是基础课那些内容的延伸和推广，这样学生们对这门课就不感到那么神秘抽象了.对于准备考研的那些同学来说，泛函分析课程不仅是将来研究生阶段的必修科目，它还能起到帮助他们梳理和巩固已学知识，转而自觉认真地学习它了.

3 实行分层次、模块式教学

因材施教是教育教学的基本原则，对泛函分析的教学也不例外.目前，随着全国高校的扩招，学生的个别差异和数学基础的差别越来越大，泛函分析的教学不能还是同一模式、同一种要求.教学要分层次、分级别地进行，应围绕满足数学各专业的后续课程与研究的需要而展开，也就是应满足应用数学、信息与计算科学、统计学等专业的需求.

在实际教学中可以尝试多层次、多模块的教学模式，即把泛函分析课程分为三个模块：泛函分析基础模块、泛函分析应用模块、泛函分析提高模块，各模块的具体内容以各专业对泛函分析的需要为依据.泛函分析基础模块是最基础的内容，教师要精讲细讲，使学生彻底弄懂.通过学习这些基本内容，要使学生掌握泛函分析的重要思想，使学生具有初步的应用泛函分析知识去分析问题和解决问题的能力.应用模块由于各专业或实际问题联系密切，其内容由教师针对不同专业特点设置相应的应用模式.提高模块是针对打算考研或对泛函分析有更高要求的学生设定的.

4 突出数学思想，强化理论证明

数学教学不仅是知识的传授，更重要的是思维能力的培养和数学思想的提高.如果将数学教学仅仅看成是知识的传授，那么即使讲了再多的定理公式，可能仍然免不了沦为一堆僵死的教条，难以发挥作用.而掌握了数学的方法和精神实质，就可以有简洁的几个公式演变出千变万化的结论，显示出数学无穷的威力.反之，若只泛泛讲数学思想而不讲数学证明，也不能使学生真正理解现代数学中深刻的数学思想和方法.数学与物理、化学、生物等以实验为基础的学科最大的区别就在于数学证明的逻辑严格性.

有人认为繁琐的证明恰恰是数学的核心.例如泛函分析中有很多著名的定理：泛函延拓定理、共鸣定理、开映射定理、闭图像定理等.这些定理的证明长而难，历来是教学的难点.但是，如果因为难而略去这些定理的证明，就等于丢掉了泛函分析的精华部分.因此，在教学中不回避困难和矛盾，而是认真备课、精心设计、力求讲清讲透.注意将复杂的问题去粗取精、去伪存真，指出其实质，将冗长的证明化简分解，分割为若干小问题，从而不仅化简了定理证明，而且通过定理的证明渗透了化繁为简的数学思想.

5 利用直观形象的教学手段，变抽象为直观

对于抽象的定义、定理，如果能够用直观的图像给予图示，可使人更深刻地理解其意义，把握其思想方法，迅速地理解掌握.直观模型不仅能够帮助人们理解深刻复杂的理论，也可以帮助人们开展创新思维.在可能的情况下，在泛函分析教学中使用直观方法，可以使学生理解知识更为深刻清晰，记忆更为牢固，从而有效提高课堂教学的质量.

泛函分析是一门综合了代数、几何等知识于一体且高度抽象的一门课程，很多定义、定理很难找到准确的直观模型.但由于泛函分析的很多结论都是来源于古典分析，因此在很多情况下，可以以平面上的情形代替，这虽然不是很准确但也能很好地说明问题，并且这要比空间中的模型简单很多，从而提高了讲授的效率.例如：可以用平面上的点列代表赋范空间中的点列，用平面上的开圆代表赋范空间中的开球等.

6 认真处理好习题，上好习题课

习题是教材的延伸，作者有时为了节省篇幅，在教材中只讲理论，把例题以习题的方式给出.例如数学系使用的教材［5］第十一章第五节“具对称核的积分方程”，课本上仅仅给出了定理1和定理2，但是如何具体求“具对称核的积分方程”，课本上是通过习题13～18等给出的.如果只讲课本不讲课后习题，学生是不可能很顺利的解答这类积分方程的，也不可能归纳出解这类方程的步骤.教师还应适当地补充一些习题，供学生练习，让学生对学习的知识进行强化，从而达到保存知识的目的；否则，学生不可能掌握这类问题，更不可能利用这种理论去解决实际问题，学生将会越学越怕这门课.

7 结束语

作为现代数学的重要课程，泛函分析从研究形态到教学形态的转化，只有几十年的形态，还没有达到成熟的地步，因而泛函分析的教学没有固定模式可循.教师在教学中可以根据自己的教学对象和环境，尝试不同的教学方法和教学模式.我们坚信，通过不断的探索实践，采取灵活多样的课堂教学方法，努力提高教学质量，一定会收到好的教学效果.

［1］定光桂.关于泛函分析课程教学改革的试探［J］.高等理科教育，2001（3）：8-11.

［2］文开庭.泛函分析中定理教学的改革尝试 ［J］.数学教育学报，2006（3）：99-101.

［3］徐西安.泛函分析教学方法探讨 ［J］.高等数学研究，2008（1）：73-75.

［4］张慧.样例在泛函分析教学中的应用 ［J］.高师理科学刊，2008（1）：77-79.

［5］程其襄，张奠宇.实变函数与泛函分析基础 ［M］.北京：高等教育出版社，2003：181-346.

［6］张恭庆，林源渠.泛函分析讲义 ［M］.北京：高等教育出版社，2005：1-197.