巧用策略扫除图形教学的高危“地雷”

俞英

在“图形与几何”知识教学中，我们经常会有这样的困惑：学生会说图形的基本特征，会背相关的计算公式，但面对教师精心设计的习题训练，学生在具体的应用过程中还是会出现这样或者那样的错误。这时老师们是抱以“熟视无睹”的态度，还是停下追赶教学进度的步伐静心反思？答案当然是后者。错误的产生暴露了学生的思维过程，反映了教师教学过程中的纰漏，因此，学生产生的错误是一种宝贵的教学资源，它是教师进行教学反思的“源泉”。一旦发现错误，尤其是典型错误，教师就应该进行思考分析：究竟错在何处？因何而错？如何创新自己的课堂教学来避免或降低错误的发生？

一、错例呈现

以下是笔者在教学中收集的一些典型错例及错误原因的分析：

【典型错例一】判断下面能否组成三角形

【错误分析】产生这样错误的人比较多，导致这种错误的出现主要是在教学过程中，教师在三角形任意两边之和大于第三边的概念教学中对于“任意”二字没有形象地说明，学生需要通过动手操作来证实这个问题。有的时候虽然进行了动手操作，但教师在“任意”这个环节上容易忽略，以为学生都掌握了。

【典型错例二】求三角形的面积

【错误分析】导致这种错误的出现主要是教材的的编写中，三角形的面积公式是底乘高再除以2，于是学生以为只要是底乘高再除以2就是三角形的面积，没有很好的理解应该是底边上对应的高才能相乘。

【典型错例三】求出下面图形的周长。

【错误分析】产生这种错误的人数不在少数，而且这种错误总是不能根除，这次提醒了，错误避免了，下次不提醒，同样的错误又发生了。分析一下，导致这种错误的根源一是对周长概念的本质理解不够深刻，因此总是忘记加上直径的长度；二是受到整圆周长的影响而忽视了直径的存在；三是与面积计算混淆在一起以为面积的一半就是周长的一半。

【典型错例四】求出下面图形的周长和面积。（单位：m）

1.周长：3.14×50+（100+50）×2

师：你是怎么想的呢？

生：用圆的周长加上长方形的周长。

2.面积：3.14×25×25+100×50

师：你又是怎么想的呢？

生：用圆的面积加上长方形的面积。

……

【错误分析】在计算组合图形的面积时，我们一般要把组合图形通过分割、拼补、平移或者旋转等变换方式将原来不规则的图形转化成简单的平面图形来进行计算。这样做的目的是为了有利于面积公式的应用。然而这样的思维方式对学生在进行周长计算的过程中受到了负面的影响，想当然地认为周长计算中也是分两部分相加，将周长的计算与面积的混淆起来，以至造成错误。

【典型错例五】在直径为6米的圆形花坛外围铺一条宽1米的小路，小路的面积有多大？

错误一：3.14×（8×8-6×6）

错误二：3.14×（7×7-6×6）

错误三：3.14×（6×6-4×4）

错误四：3.14×（3×3-2×2）

……

原本以为，教师上完圆环的面积这一知识之后，只要记住了圆环面积的计算公式，找到大圆半径与小圆半径，就可以套用公式进行计算了。真的难以想象不算难解的一道题，为什么做对的学生仅占班级总数的26%？这个偏低的百分率引起了我的思考：学生仅仅学会了什么？到底问题出在哪？

【错误分析】新课结束后学生确实记住了计算公式，但从学生各种各样的错误看来，原因之一是教师在教学起点的把握上可能偏高，因为学生对计算公式中为什么用“大圆面积减小圆面积就是圆环的面积”这一结论的理解不够深入；原因之二是学生还很难将这个实际问题抽象为一个数学问题，如果能将这个问题转化为图，那么学生理解起来将会容易得多。

二、溯源寻根

通过对以上几种典型错误的分析，笔者将以上错误归因为以下几类：

1.对三角形面积和三角形的构成、圆周长和圆面积的概念建立不够清晰、不够深刻。

2.对公式的理解仅停留在表面，仅仅是停留在记忆的层面。

3.在应用过程中常将圆周长与圆面积的计算混淆。

4.空间想象力缺乏，在解决一些稍复杂的组合图形的周长和面积计算时，或者用圆的知识解决生活中的实际问题时就特别能看出学生空间观念的薄弱。

三、改进策略

针对以上几种错误类型的分析，笔者认为在教学中应该特别注意以下几个问题：

（一）加强公式概念的纵横比较

1.概念

三角形是由三条边围成的图形。

三角形的面积是底与相对应的高的乘积再除以2。

圆的面积是指圆所围成的平面部分的大小。

圆的周长是指圆一周的长度。半圆的周长是圆周长的一半再加上直径。

如上述“错例1”中半圆周长，教师可让学生来指一指这个图形的周长，说说这个图形的周长有什么特殊的地方？继而强调这个周长是由半个圆周和一条线段组成的，因此计算时别忘了加上直径。

2.计算公式

求三角形的三边关系：A+B>C A+C>B B+C>A

求三角形的面积公式：S=ah÷2

求圆的周长公式：C=πd 或 C=2πr

求圆的面积公式：S=πr2

3.使用单位

计算圆的周长用长度单位。

计算圆的面积用面积单位。

4.概念

判断三角形的边的关系，主要是“任意”二字很重要。

三角形面积的公式是与该底边上对应的高相乘再除以2。

如上述三角表面积计算中，教师可以让学生来说说哪条底上，是哪条高？这样可以让学生知道三角形中有三条底和三条高的关系，如何相对应的去计算。

（二）重视计算公式的体验推导

重视计算公式的推导过程，让学生亲身经历计算公式的形成过程是新课程倡导的一个重要的理念，因此教学中一定要得以体现。

如在教学三角形的边的关系时，教师可以组织学生自己围一围，看到底能不能围成三角形，通过实践就能验证自己的答案。如在求三角形面积的时候也可以让学生自己作高，再量一量，计算一下，然后验证自己的答案是否正确，从而让学生知道三角形面积的计算方法。又如在教学圆的周长时，教师应组织学生想办法动手求出圆的周长，或者用绳子在圆的周围围一圈，量出一周的绳长；或者让圆在线段上滚一圈，量出线段的长度，找一找周长与直径之间的关系。再如在教学圆的面积时，也应该组织学生动手剪一剪，拼一拼，使学生看到圆可以剪拼成的是一个平行四边形。再让学生进行空间想象：假设分的分数越来越多，那就是一个长方形。最后引导学生观察拼成的长方形的长和宽与圆的半径周长有什么关系，从而得出计算公式。

（三）建构公式运用的生活原型

学生解决实际问题的能力薄弱，根源在于不能建立几何知识与实际问题的联系，教师要帮助学生去再现几何知识的生活原型。

比如：一个自动旋转的喷嘴射程是7米，这个喷嘴能喷多大的地面？在这题中，虽然是求面积但看不见“面积”的字眼，对于中下生来说是有一定困难的。因此，教师要让理解题意的学生说说自己的想法，必要时应用多媒体辅助辅助教学，让每个学生真正明白：其实“射程7米”就是圆的半径，“喷多大的地面”其实就是求半径为7米的圆的面积。再如上述“典型错例4”中，为了帮助中下生理解，可以借助直观，如在求三角形的面积计算公式中，我们可以拿出二个一样的直角三角板，让他们自己动手拼一下，然后就明白三角形的高与底的关系。

这样，将死板的计算公式与生活中的原型一一对照起来，学生解决问题时就会得心应手，才能使书本知识变为自己头脑中活的知识，从而内化为解决问题的能力。

（四）渗透空间观念的长效培养

加强空间观念是几何知识教学的一个重要的目标。然而空间观念的形成不能像学一项简单技能一样立竿见影，它是需要一个长期的过程，从一年级开始就应该逐步培养。因此，我认为空间想象力的培养应渗透在每一堂几何图形课中。

在组合图形的面积计算中，要留给学生想象的空间。比如：右图中阴影部分的面积怎么求？让学生先独立思考然后讨论，集体交流：

生：先求出正方形的面积，再求出圆的面积。

师：哪里有圆？

生：将角上4个扇形拼起来就是一个整圆，用正方形的面积减去圆的面积就是阴影部分的面积。

师：其他同学听明白了吗？

……

这样在图形的拼组中，隐含了空间观念的培养。教师要精心设计习题，并且利用好每一道习题，把每一道题讲透讲到位，真正起到习题的功效。

其实在我们的几何教学中，像上面所列举的学生易犯的错误是何其普遍。如果我们每个教师都能把学生在图形学习中的典型错误当作地雷加以高度重视，耐心细致地进行有效思考，巧妙地运用策略扫除这些常见的错误，并将其优化积累为教学上的点滴经验，那么学生在图形方面的学习就能达到事半功倍了。

（作者单位：浙江省绍兴市越城区东湖镇中心小学）

责编/董璐