在数学解题教学中培养学生的创造性思维

黄智武

摘 要：创造性思维是指重新组织已有的知识经验，提出新的方案或程序，并创造出新的思维成果的思维方式。它具有独特性、求异性、灵活性、敏捷性、联动性等特征。数学习题往往具有灵活多变、知识覆盖面广等特点，如果数学教师在解题教学中能充分利用数学习题的特点，并注意力求使学生的思维具有以上特征，则比教其他科目或课型更容易培养学生的创造性思维，从而更好地体现新课程改革的理念。

关键词：创造性思维；独特性；求异性；灵活性；敏捷性

一、肯定学生独特的见解，培养学生思维的独特性

思维的独特性是具有创造才能的人的最重要的思维品质，是鉴别一个人创造力高低的重要标志。对学生在解题中出现的独特的见解，教师应予以肯定，要对其思维方式进行分析，找出其中的闪光点，给予嘉奖，切忌一概否定或置之不理。

例1.填空：方程x2+2x+6=0的根的情况是__________。

解此题时有学生提出：由于一次项的系数较小而常数项较大，故方程无实根，这与多数人先计算根的判别式的大小再分析根的情况不同，虽然这并不是一个很成熟的结论，但也可算是一种独特的见解。实际上该学生是更深一层地理解了根的判别式。如果教师能肯定其见解，并因势利导分析系数的大小及正负与根的情况的关系，则可以得到一些能够解答这种类型题的快捷的解题方法。

二、鼓励学生求异，培养学生思维的求异性

创造性思维往往是一个破旧立新的过程。在解题教学过程中，教师要鼓励学生敢于打破传统的思维模式及习惯性的思维。就好像一个人去一个地方，我们不要鼓励他老是走同一条路，应该尝试走别的路，当然他有可能会找到捷径，也有可能会走入死胡同，但是最终他会认识很多的路。

例2.在实数范围内分解因式x4-3x2-28

解：原式=（x2+4）（x2-7）

=（x2+4）（x+）（x-）

在讲解上题时，教师可作如下说明：此题是要求在实数范围内分解因式，故可把7看成是（）2，从而利用平方差公式把x2-7分解成（x+）（x-），若此题是要求在有理数范围内分解因式，则原式只能分解到（x2+4）（x2-7），如果范围扩大的话，甚至也能把x2+4进行因式分解。通过说明，可使学生以后的思维敢于求异，不拘泥于现状。

例3.如图，AB=DC，AD=BC。求证：∠A=∠C。

证明：连结BD，

在△BAD和△DCB中，AB=CD

AD=CB

BD=DB

∴△BAD≌△DCB（SSS）

∴∠A=∠C（全等三角形的对应角相等）

对此题的证明，教师可提出问题：“为什么要连结BD而不连AC，两种方法都可以得到两个全等的三角形？”通过这种求异的提问，学生会发现连AC证明较繁，进而了解每一道题都可能有不只一种证明方法，平时做题时要多思考，敢于思考，也要多比较，才能提高自己的解题能力。

三、培养学生思维的灵活性

灵活性即变通性，创造性思维强调根据不同的对象和条件，具体情况具体对待、灵活应用，反对一成不变的教条和模式。

例4.已知==，求的值。

解：设===k，则x=3k，y=4k，z=5k，

这时，===

上题如果是填空题：若==，则===_______。此时可告诉学生可以直接把x、y、z当成3、4和5进行计算，这就是变通。

四、培养学生思维的敏捷性

教学实践告诉我们：学生的思维不是训练一次、培养一日就能达到理想层次的，思维的敏捷性尤其如此。决定和限制学生思维敏捷性的重要因素是思维对象（问题）的适度性，因此，思维敏捷性的训练和培养，要立足课本，即联系学生的认识水平，把握好问题的度。

在解题教学过程中，教师应当注重对基础题型及常用图形的分析，使学生完全弄明白其中各种条件或元素之间的关系，并运用这些关系去解决问题，不可丢掉基础题型及常用图形，而去追求讲解综合题型或复杂图形，这会使学生很难找到思维入口，造成逆反心理和厌学的情绪，从而阻碍思维的发展。

例5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若∠A=30°，则a∶b∶c=__________。

解析：这是一道基础题，其中图形更是常用图形。教师应当指导学生分析a、b、c之间的位置、大小以及它们和两个锐角之间的内在关系，不要只满足于答案是1∶∶2，否则就失去了一次可以很好地培养学生思维敏捷性的机会。首先，这道题可进一步复习巩固勾股定理；其次又可以由比值结合图形求30°和60°角的三角函数值；而更重要的一方面是这个比值的可延展性，只要记住这个比值，学生在以后的解题中若遇到与此图形有关的计算，便可由其中的某一元素的值快速地求出另外元素的值，这样学生的思维就更加敏捷。

与此题中的图形同样常用的还有下图，这是一个等腰直角三角形，其中三条边长度比为1∶1∶。

五、培养学生思维的联动性

联动性思维，应该是能够由此及彼产生连贯的思索，能够随机应变、举一反三、触类旁通的。在解题教学中，要做到能培养学生思维的联动性，应使学生不迷恋于题目的表面现象，而是抓住其中的本质特征，从不同类型的题目中探求同一解法。

例6.（1）当m为何值时，对于任意实数x，二次三项式-x2+mx-1的值总是负的？

（2）若方程-x2+mx-1=0没有实数根，求m的取值范围。

（3）对于任意实数x，二次函数y=-x2+mx-1的图象与x轴没有交点。求m的取值范围。

分析：以上三题，都是要运用根的判别式，最终求不等式m2-4×（-1）×（-1）<0的解集。

在教学过程中，教师如能经常地引导学生分析归纳不同题型的内在联系，特别是解法上的联系，那么学生思维的联动性就会产生质的飞跃。

创造性思维是创造力的核心，在教学中培养学生的创造性思维是每一位教师肩负的神圣使命。

（作者单位 广东省河源市连平县雁桥中学）