新课标理念下“概念教学”——关于《直线的倾斜角与斜率》的教学过程设计

☉湖北省武汉市第二中学 郑晓玲

《直线的倾斜角与斜率》是解析几何的第一节课，教学目标要求学生落实基础知识，形成基本技能，渗透数学思想，培养学生形成严谨的科学态度和求简的教学精神.在此笔者精心设计的教学过程如下：

一、创设问题情境，导入新课

开头语：前面学习了立体几何初步，立体几何初步是研究空间几何体中点、线、面之间的位置关系.接下来我们学习解析几何初步，首先要指出的是“解析几何是用代数的方法研究几何问题”.怎样逐步实现这一目标，请看以下几个问题：

①建立在代数与几何中的桥梁是什么？——坐标系.

②直角坐标平面上的点的代数形式是什么？——坐标，点的坐标与有序实数对之间是一一对应的.

③坐标平面上的几何图形能否用代数形式表示？最简单的平面图形——直线应该怎样表示？

④直角坐标平面内的直线l，它的位置应该由哪些条件确定呢？过一点能确定吗？过两点能确定吗？过一点并且规定方向能确定吗？

⑤如果直线过一已知点，这些直线的方向各不相同，如何确定这些不同方向的差别呢？

通过对以上问题的分析，导出“确定直线不同方向的问题”，我们需要学习刻划直线不同方向的两个重要的几何量：“直线的倾斜角与斜率”，导出课题.

反思：根据学生已有的知识与经验，在学生思维发展的最近区域提出问题，根据数学发展需要，引导学生用数学的眼光认识、研究问题，这样既有利于调动学生思维的积极性，又能显现数学的自然、平和.

二、概念形成的过程

（一）直线倾斜角的形成过程

确定方向需要找一个统一的参照方向，如指南针以向北方向为基准，在这里我们如何选取？通过对上述问题的分析，结合图形，学生选择了以x轴为基准，因为这些不同的直线与x轴之间形成了不同的角，直线与x轴相交形成四个角，哪一个角是直线的倾斜角？

学生甲：应该是直线与x轴形成的锐角，因为锐角方便计算.置疑：有两个锐角，是指哪一个？

学生乙：不同意同学甲的说法，应该以x轴正向为角的始边，因为标准统一，方便比较.置疑：这两个角中的哪一个？仍不确定.

学生丙：认同学生乙的说法，但认为角的终边应该是直线向上的方向，类比向量的夹角的定义并指出：根据角的定义，确定角的顶点（直线与x轴的交点），确定角的两边（x轴的正方向，直线向上的方向）.

教师总结：同学们经过讨论，最终所说这个唯一确定的角我们叫做直线的倾斜角.

由学生合作交流，让学生进一步用精练的数学语言概括直线倾斜角的定义：当直线与x轴相交时，以x轴为基准，x轴的正向与直线向上的方向所形成的角α叫做直线的倾斜角.

思考1：对以上归纳得出的“直线倾斜角”的定义是否还有异议？

根据教学实际情况，指出这里所说的角应该是指x轴正方绕着直线与x轴的交点旋转到直线向上的方向所形成的“最小正角”.

思考2：按以上所述，直角坐标平面上每一条直线是否都有一个确定的倾斜角，引出直线与x轴平行或重合情形下的补充定义，使学生认识到数学上的每一个重要的概念的严谨性与完备性.

（二）直线斜率的形成过程

给出了直线的倾斜角后，倾斜角能刻画直线的倾斜程度，但由于表示这个倾斜程度的量是一个角，每一次需要度量角的大小才能知道倾斜程度，使用起来不方便，于是需要找到一个更好刻划倾斜程度的量——引入“斜率”概念的必要性.

在“斜率”概念的形成之前，创设了问题情境：

问题2：上楼梯，有的楼梯走起来非常吃力，有的楼梯不那么吃力，这是为什么？

问题3：汽车上坡时，有的坡比较容易上，有的坡需要加大马力才能上去，这又是为什么？

三、合作探究，深化概念

1.根据以上所研究的成果，你还能得出哪些有趣味的结论？

画图引导学生分析：由图1知直线倾斜角α的范围为0°≤α＜180°

图1

图2

图3

α=90°时，直线l与x轴垂直；

α=0°时，直线l平行于x轴或重合于x轴；

由图2知：平行的直线（l1∥l2）→倾斜角相等；

由图3知：垂直的直线（l1⊥l2），设l1的倾斜角为α1，l2的倾斜角为α2，则α2=α1+90°（此处为后面的学习打下基础）.

2.直线的倾斜角与斜率的关系.

结合正切函数y=tanx（0°≤x＜180°）的图像，揭示它们之间的关系.

图形 倾斜角的大小k的值及变化情况y O x α=0° k=0 y α x O 0°＜α＜90° k∈（0，+∞）↑y O α x α=90° 不存在y O α x 90°＜α＜180° k∈（-∞，0）↑

四、斜率公式的推导

教师启发导入：

（1）从直线斜率定义可知，当直线倾斜角α为锐角时，其正切值可表示为两直角边的比，一边平形于y轴，可以用两点纵坐标差表示，一边平行于x轴，可以用两点横坐标之差表示.

（2）直线可由两点确定，两点确定直线的位置，从而确定了直线的倾斜角和斜率.于是我们可以思考：能否利用直线上两点坐标来表示直线的斜率？

①提出探索性问题“已知直线上两点坐标，如何计算直线的斜率？”

②公式推导.

学生推导：要求斜率k，必须构建直角三角形，其推导过程如下：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）是直线l上的两点，过P1（P2）作y轴的垂线，过P2（P1）作x轴的垂线，使之交于点Q，从而产生Rt△P1QP2（如图4，5或图6，7）.

图4

图5

图6

图7

归纳：①当x1=x2时，上式不成立；

②当y1=y2时，上式仍然成立；

③公式与P1，P2的顺序无关；

④“纵比横，差同序”.

五、概念的巩固与应用

1.典例剖析.

例1 平面上三点A（3，2），B（-4，1），C（0，-1），求直线AB、BC、CA的斜率，并指出倾斜角是锐角还是钝角.

例2 已知三点A（a，2），B（5，1），C（-4，2a），若三点共线，求a的值.

例3 经过P（0，-1）作直线l，若l与连接A（1，-2），B（2，1）的线段总有公共点，求直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围.

2.课堂练习（略）.

1.章建跃.中学数学课改的十个论题［J］.中学数学教学参考（上旬），2010（3，4，5）.

2.吴光耀，何豪明.中学数学核心概念教学设计之基本模式［J］.中学数学教学参考（上旬），2011（5）.