左右逢“圆”，四招化险

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圆是高中数学的重点内容之一，也是高考命题的热点，高考中我们经常会遇到圆的问题，可以说是左右逢“圆”，如何能够突破圆的包围，出奇制胜？现结合有关圆的题目，用四招轻松化险.

一、识圆

例2 （2011年江西卷）若曲线的极坐标方程为ρ=2sin θ+4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为______.

解析：由方程ρ=2sin θ+4cos θ可得ρ2=2ρsin θ+4ρcos θ，由极坐标与直角坐标的转化公式易得x2+y2=2x+4y，即x2+y2-4x-2y=0.

点评：相见却又不能相识，是解题者的一大悲叹，也是考试丢分的主要原因！以上两例是左右逢“圆”的开始，也是解题正确的关键.只有充分的认识圆，不管它以何种方式（参数方程、极坐标等）出现，我们都要能慧眼识珠，这样才能在解题中立于不败之地.

二、用圆

例3 （2011年北京卷）如图1，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：①AD+AE=AB+BC+CA；②AF·AG=AD·AE；③△AFB∽△ADG，

其中正确结论的序号是（ ）

图1

A.①② B.②③

C.①③ D.①②③

点评：例3中圆的性质运用比较明显，例4的解决应先认识到点M在以椭圆焦距为直径的圆上，又圆周上任意一点都在椭圆内部，则由圆的性质知短半轴长b比圆的半径c大，从而转化为与离心率有关的不等关系.

三、构圆

问题转化为：在三角形AOB的外接圆上求一点C，使得OC最大或者求三角形ABC外接圆的直径.

图2

分析：按常规思路思考，比较困难，不妨改变一下思路，从数形结合入手，可通过构造圆来解决问题.

综上所述，所求函数的值域为［-1，0］，应选B.

点评：根据题目特征构造圆，将原问题巧妙转化为与圆有关的问题，然后利用圆的有关知识最终将问题顺利解决.此法突破常规，不仅解决了问题，而且发散了同学们的思维，加强了知识间的纵横联系.可谓一举两得，一箭双雕.

四、共圆

例8 （2011年全国新课标卷）如图3，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合.已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2-14x+mn=0的两个根.

（1）证明：C，B，D，E四点共圆；

（2）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径.

图3

图4

图5

故C，B，D，E四点所在圆的半径为5.

例9（2011年辽宁卷）如图5，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED.

（1）证明：CD∥AB；

（2）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆.

证明：（1）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA.故∠ECD=∠EBA，所以CD∥AB.

（2）由（1）知，AE=BE，又因为EF=FG，故∠EFD=∠EGC，从而∠FED=∠GEC.连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE，又CD∥AB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA.所以∠AFG+∠GBA=180°，故A，B，G，F四点共圆.

点评：共圆问题在近几年的高考中悄然兴起，成为高考中的一支新军，但却并未引起足够的重视，丢分现象非常严重.以上两例旨在抛砖引玉，以期引起同学们的关注，争取在这方面少丢分，甚至不丢分.