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一类小中最大(大中最小)问题求解策略及命制规律

2013-07-25江苏省淮安市清河中学石礼标汪俊红

中学数学杂志 2013年5期
关键词:命制代数式原创

☉江苏省淮安市清河中学 石礼标 汪俊红

求几个函数或代数式最大值的最小值(或最小值的最大值)问题,在高考试题、各地模拟题以及竞赛题中经常出现,属于难度较大的题目.其实这类问题的解决并不复杂,如果掌握这类问题解决方法,不仅可以迅速将这类问题解决,并且可根据其规律命制许多新的题目.为了行文方便,本文用max{a,b}表示a,b中的最大值,min{a,b}表示a,b中的最小值.

题型一:仅含一个变量,可分类讨论或构造函数根据图像解决

例1设f(x)=max{x2-2,x},则f(x)的最小值为_____.

解法1:当x2-2≥x,即x≥2或x≤-1时,f(x)=x2-2≥-1;

当x2-2<x,即-1<x<2时,f(x)=x∈(-1,2).

所以f(x)的最小值为-1.

解法2:设g(x)=x2-2,h(x)=x,在同一平面直角坐标系中作出它们的图像(如图1),已知两函数图像交于P(-1,-1),Q((2,2).而f(x)的图像为图中实线部分,所以f(x)的最小值为-1.

评注:上面用了两种不同的方法加以解决.解法1突出分类讨论,通过比较两者的大小,在一定条件下确定大者后再求其值域或最小值;解法2突出数形结合,以形助数,选取图像位置相对高的部分,再确定最小值.这是解决这类问题常用的两种方法.

图1

图2

例2(2009年海南卷)设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为______.

解:设g(x)=2x,h(x)=x+2,q(x)=10-x(x>0),在同一坐标系中作出它们的图像(如图2),可知f(x)的图像为图中实线部分.而h(x)=x+2与q(x)=10-x的图像交点为(4,6),所以(fx)的最大值为6.

评注:由于涉及三个函数,如果分类讨论就比较烦琐,而作出相应的函数图像后,根据函数图像高低位置可迅速确定图像,当然也就知道所求最大值是哪两个图像的交点的纵坐标.因此对于多个函数式用数形结合更简捷.

有如下4种情况:

评注:虽然本题所提供的函数图像均容易画出,但涉及最小值之间的倍数关系,由图像难以观察出数量之间的关系,因此采用分类讨论法较为适宜.

例4 如图3,已知△ABC的面积为1,点D在AC上,DE∥AB,连接BD,设△DCE、△ABD、△BDE中最大面积为y,则y的最小值为______.

图3

由1-x-(x-x2)=1-2x+x2=(1-x)2>0,得y=max{x2,1-x}.

总结:对于一元多个代数式求大中最小或小中最大,用分类讨论或数形结合加以解决是常用方法.但在具体的求解过程中,要根据条件灵活选择.若仅有两个代数式两法皆可,但要是三个或更多,显然用数形结合较好,可避免讨论的复杂性.当然在解决多个函数最值问题时,要适当观察是否有大小已定的,若有,迅速将问题简单化处理.

题型二:含有多个变量,通过和积等运算,根据基本不等式构造常数

所以M的最大值为1.

例6 设a=lnz+ln[x(yz)-1+1],b=lny+ln[(xyz)-1+1],记M=max{a,b},则M的最小值为______.

而M≥a,M≥b,则2M≥a+b≥ln 4.

所以M的最小值为ln 2,此时x=1,yz=1.

评注:本题其实与例5类似.但a、b的关系不明显,需要适当变形后,方能得到a+b可用基本不等式转化为常数.

此时M的最小值为2,当且仅当a=b=c=1时取等号;

此时M的最小值为2,当且仅当a=1,bc=1时取等号.

故M的最小值为2.

总结:对于含有多个变量,几个代数式求大中最小或小中最大,常通过几个代数式和或积等运算,转化为根据基本不等式构造出常数,进而求出所需要的最值.由于涉及基本不等式,因此对等号成立的条件必须要注明.例7放缩后用分类讨论求解,但显然没有用基本不等式求解简单.

命制一些原创题:

既然掌握了这类问题的一般解法,也自然知道这类题型的命制规律,当然也就可以命制一些题目了.

若仅含一元的多代数式,可命制下面一些容易题.如下面两题:

原创题1:M=max{x2-x,1-x2}的最小值为______(. 答案:0)

如果两个函数图像的交点不好求解,可通过第三量进行调控.如原创题3:

原创题3:(fx)=max{2-x,2x},则不等式(fx)>4的解集为______(. 答案:(-∞,-2)∪(2,+∞))

当然,想增加难度,可命制三个代数式的最值问题.如原创题4与原创题5:

如果与相关图形结合,需要表示出相关量.再求其最值,就变为难题了.如原创题6:

原创题6:如图4,边长为1的正方形ABCD中,∠QAP=45°(其中点P、Q分别在边BC、CD上).设BP=t,M=max{AP,PQ,AQ},AP、PQ、AQ表示对应线段的长.则M的最小值为______.

图4

若含多元的多代数式,可命制下面一些容易题.如下面原创题7~9:

当然,想增加难度,可命制三个代数式的最值问题,或者所给代数式的关系不明显.如原创题10、11:

若题目中给出多个代数式,但隐含了其中两个代数式的大小,需要观察并证明,达到适当减少代数式的个数,就比较难了.如原创题12:

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