一道希望杯赛题的源流与新解

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第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛（高二）第16题：

针对该题不少作者撰文给出了多种解法，本文拟先给出这道赛题的来源，然后再给出一种新解，供参考.

图1

图2

1.源流

命题1（文［1］）

注：上述赛题实为在该命题的基础上，求xy的最小值.

命题2（文［2］）

图3

图4

命题3（文［3］）

注：当点D是BC的中点即λ=1时，即为命题2.

2.新解

对于此类问题，文［4］-［7］均是从向量的角度，利用三点共线的向量式来求解或证明，下面仅以命题3为例从平面几何的角度来求解xy的最小值：

图5

①×λ+②得

1.孙迪青.一个三角形重心向量性质的空间拓广［J］.数学通讯，2006（1）.

2.翟洪亮.三角形中线上点的一个性质及其推广［J］.数学通讯，2007（11）.

3.杜山.新题征展（76）［J］.中学数学，2006（6）.

4.丁 益 民 .一 道 高 考 试 题 的 源 与 流 ［J］.数 学 通 讯 ，2008（9）.

5.王建荣，吴芳.解读二十二届希望杯高二第一试的一道最小值问题［J］.中学生数学，2011（9）.

6.殷长征.希望杯高二第一试一题的再证［J］.中学生数学，2012（3）.

7.阮灵东.也谈二十二届希望杯的一道竞赛题［J］.中学生数学，2012（7）.