活跃在中考场上的刻度尺

☉江苏省泗阳县实验初级中学 吴晓波

刻度尺是学生如影相随的作图工具，殊不知现在活跃在了中考场上.它们先天具有的矩形外形以及测量功用在命题者的匠心下，尽显其能，成为中考一道亮丽的风景.由于工具的熟悉，自然缩短了学生与题目的心理距离，无形中提升了学生的解题兴致.既然是学具，自然带有“玩”的元素，在题目中介入给人原生态之感，知识的来龙去脉就蕴藏在其中，可感可测，活泼灵动，妙趣横生，故而备受命题者、解题者的青睐.现撷取近几年的考题简析，以飨读者.

一、用刻度尺边沿的直线性及对边的平行性

例1（2011年内江市）如图1，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是（ ）.

A.32° B.58° C.68° D.60°

解析：根据三角板的特征知∠1+∠3=90°，又根据直尺对边的平行特征知∠2=∠3=90°-∠1=90°-32°=58°.（或利用外角，请读者思考）

点评：刻度尺的对边边沿是天然的一组平行线，本题依托直尺与三角板，考查互余关系、平行线的性质或三角形的内角和以及内外角关系等.

图1

图2

例2（2010年东营市）如图2，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数等于（ ）.

A．50° B．30° C．20° D．15°

解析：利用直尺的对边平行，可知∠4=∠2.根据三角形的内外角关系，知∠4=∠1+∠3，则∠2=∠1+∠3，故∠3=∠2-∠1=50°-30°=20°.

点评：本题是平行线的性质与外角定理的结合，充分利用了直尺的平行特征以及边沿的直线特征.

二、用刻度尺的测量功能

例3（2012年四川达州市）数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：

图3

作法：①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE；

③作射线OC.

则OC就是∠AOB的平分线.

小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，方法如下：

步骤：①利用三角板上的刻度，在OA和OB上分别截取OM、ON，使OM=ON；

②分别过M、N作OM、ON的垂线，交于点P；

③作射线OP.

则OP为∠AOB的平分线.

图4

小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线.

根据以上情境，解决下列问题：

①李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是_________.

②小聪的作法正确吗？请说明理由.

③请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法.（要求：作出图形，写出作图步骤，不予证明）

解析：（1）要证明被分成的两个角相等，只要证它们所在的△OEC与△ODC全等即可.由作图过程可知，两个三角形满足三对对应边相等.

（2）小聪的作法正确.理由如下.

由PM⊥OM，PN⊥ON，

得∠OMP=∠ONP=90°.

在Rt△OMP和Rt△ONP中，

OP=OP，OM=ON，

则Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）.

则∠MOP=∠NOP.

则OP平分∠AOB.

（3）如图5所示.

图5

步骤：①利用刻度尺在OA、OB上分别截取OG=OH；

②连接GH，利用刻度尺作出GH的中点Q；

③作射线OQ，则OQ为∠AOB的平分线.

点评：本题融操作、思辨、分析、判断、逻辑推理于一体，把工具作图与尺规作图有机融合，在作图过程中，全等三角形的判定和性质的应用彰显其中，带有浓浓的数学本味.尤其第三问，凸显刻度尺的测量功能，把角的平分线作出，拓宽了角平分线作图的途径，同时也拓宽了学生的思维视域.

例4（2010年台湾省第二次中考）如图6，直线l表示地图上的一条直线型公路，其中A、B两点分别表示公路上第140公里处及第157公里处.若将直尺放在此地图上，使得刻度15、18的位置分别对准A、B两点，则此时刻度0的位置对准地图上公路的第几公里处？

A.17 B.55 C.72 D.85

图6

点评：本题借数轴之便，灵活地考查了比例的知识以及数轴上点的位置的确定，其中刻度尺发挥了桥梁作用，把数轴上的单位长度与公路距离巧妙链接.

三、用刻度尺的刻度与刻度尺的外形.

例5 （2012年南京市）如图7，将45°的∠AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为______cm.（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈1.80，tan37°≈0.75）

图7

图8

解析：如图8，过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E.

在△BOD中，∠BDO=90°，∠DOB=45°，则BD=OD=2cm.则CE=BD=2cm.

OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm.

点评：刻度尺本身就是一个矩形，因此富有天然的线段、角的元素，蕴含着各种关系.本题巧妙利用了刻度尺的刻度、宽度以及矩形的外观等特征，在角的摆放中，有关线段、角的数据蕴藏于刻度尺中，天然的对边平行、宽度相等，为用三角函数计算线段长度提供了便利，在看似轻巧的一摆一放中嵌入了数学知识——等腰直角三角形的性质、矩形的性质、锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值及解直角三角形等.一把尺子把它们凝聚在一起，和谐自然，充满情趣.

例6（2012年六盘水市）当宽为3cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图9所示（单位：cm），那么该圆的半径为________cm.

图9

点评：本题是对尺子的度量功能、对边平行特征的有效利用，如此设置避开了泛泛的文字说明，直观明了，颇受师生的欢迎.

可见，这类题目把刻度尺与其他图形有机链接，巧妙地将其自身的可用信息镶嵌其中，浑然天成，在感知中增进了体验，有助于提升学生的悟性！