授人以鱼不如授之以渔——《有理数的乘法》的教学设计

☉江苏省东台市实验中学 邹施凯（特级教师）

一、教学目标的定位分析

初一学生在小学阶段对非负有理数范围内的乘法运算已经有了充分的理解与认识，本节内容在学生已有经验的基础上力求达成三个目标：（1）引导学生感受有理数乘法法则的合理性，在学生理解有理数乘法意义的基础上，掌握有理数乘法法则，会进行有理数乘法运算，能用乘法运算律简化运算；（2）通过本节内容的学习，感悟一些基本的、常用的数学思想方法；（3）通过一系列的活动培养学生逐渐养成乐于探索、勇于发现的良好学习品质.

课本（苏科版）七年级上册将本节内容设计为两个课时.

第1课时内容：引导学生借助已有的生活经验探索有理数的乘法法则，通过具体的生活中的问题探索有理数的乘法法则，感受有理数乘法法则的合理性，提高学生观察、猜想、类比和归纳的能力，进一步感悟化归思想.

第2课时内容：引导学生感受引进负数后，小学算术中的乘法运算律仍然成立.其中，运用乘法交换律与结合律将容易计算的几个因数先进行计算，运用分配律，有时可以打破“先算括号内”的计算顺序，以简化乘法和加法运算.同时，在有理数范围内通过问题进一步巩固“倒数”的概念，为有理数的除法运算做铺垫.

二、教学思路设计

1.有理数的乘法法则

设计方案1：

（1）类比猜想：（-2）+（-2）结果是多少？猜想：（-2）×2的结果是多少？类比：3个（-2）的和是多少？4个（-2）的和是多少？……通过已学过的问题自然引入有理数的乘法，体现有理数乘法运算的必要性.

（2）问题思考：一只蜗牛沿直线l爬行，在爬行速度确定但爬行方向和爬行时间变化的情况下，来确定蜗牛的位置，让学生先独立思考，后合作探究，通过小组活动，促进学生互相学习；教师适时点拨，引导学生学会学习，初步感受有理数的乘法运算给解决问题带来的便利.

（3）归纳运用：观察上述等式，尝试归纳有理数的乘法法则，并通过例题和练习运用法则熟练进行计算，达到学以致用的目的.

设计方案2：

（1）情境创设.

问题：甲水库的水位每天上升4cm，乙水库的水位每天下降4cm，3天后甲、乙水库水位的总变化量各是多少？如果用正数表示水位上升，用负数表示水位下降，那么你能将3天后两水库的水位变化量表示出来吗？

让学生观察水库水位变化（每天上升或下降4cm）与天数之间的关系，结合图形，展开探究，体会实际问题中有理数乘法运算的意义，赋予有理数乘法丰富的情境，用源于生活的真情，呼唤“原生态”的课堂，让学生学习生活中的数学.

设问1：3天前甲水库的水位与今天相比有什么变化？你能结合有理数乘法运算进行研究吗？

通过类比，结合情境，让学生学会探究“异号两数相乘”（3天前记作“-3”，每天上升4cm记作“+4”）的问题，经历一个完整的探索过程，在探究问题的过程中体会解决问题的方法.

设问2：3天前乙水库的水位与今天相比有什么变化？你能结合对两水库水位变化的研究，得出两个负数相乘的运算规律吗？

借鉴研究“异号两数相乘”的经验，放手让学生探究“两个负数相乘”的问题，并归纳出两个负有理数相乘的运算规律，使学生逐步掌握探究问题的方法，从中体会类比、转化和从特殊到一般的数学思想.

设问3：对于任意两个有理数相乘，你能归纳一下它的运算规律吗？

鼓励学生对几种不同的运算情况进行归纳，先在小组内说给本组其他成员听，通过互相交流，及时补充，完善有理数的乘法法则.

（2）学以致用.

说一说：通过口答的方式，请学生回答同号两数相乘与异号两数相乘的结果，体会分类与转化的数学思想，进一步巩固有理数的乘法法则.

做一做：当出现3个甚至更多个有理数相乘时，如何确定积的符号及其结果？通过练习，体会积的符号是由负因数的个数决定的（特别地：只要有一个因数为0，积就为0），进一步体会转化思想.

两种设计方案的共同之处是：通过具体的情境进行导入，学生既感到熟悉，又容易激发学生的学习兴趣，使其深刻感受到有理数乘法法则的合理性.方案1通过计算几个相同负数的和，体验其实质就是一个数乘这个负数，自然延伸到有理数的乘法，然后再辅以蜗牛爬行问题进一步体会有理数的乘法法则；方案2则通过水位的变化，让学生感受到有理数乘法的现实意义.

2.有理数乘法运算律

设计方案1：

（1）温故知新：回忆小学学过的乘法交换律、结合律、分配律，这些运算律在有理数范围内还适用吗？

（2）特例感悟：给出问题组，通过分组合作，计算并比较各问题组计算的结果，然后进行归纳.

（3）合作探究：在学生充分思考、比较、讨论形成共识的情况下，感悟特殊情况下的乘法运算律的合理性，并由此猜想一般情况下乘法运算律在有理数范围内仍然适用.（体会从特殊到一般的数学思想方法）

（4）实战演练：通过典型题目的练习，让学生体会到通过乘法运算律能改变运算的顺序，同时还能使运算简便，达到学以致用的目的.（体会从一般到特殊、转化的数学思想方法）

设计方案2：

（1）做一做：由课本“做一做”，用多媒体展示，引导学生在计算中解决问题，并比较计算的结果，既巩固了上节课所学内容，又为在有理数范围内研究运算律做好准备，同时还体现了由特殊到一般的数学思想.

（2）想一想：由刚才的抢答，发现算式的结果有什么特点吗？每一组算式又有什么特点？能归纳出什么结论？

（3）表一表：先请学生在小组内讨论、交流，然后派代表分别用文字语言与符号语言表示所得到的结论.

（4）用一用：通过例题和练习，引导学生灵活运用有理数的乘法运算律进行简便运算，并组织学生进行交流和评价，对解决问题的方法进行反思.

灵活运用乘法运算律在有理数范围内进行计算是本节内容的重点，也是难点，上述两种设计方案有一共同特点：均有数学思想的渗透与指引.方案1通过回忆小学学过的乘法运算律，在数学思想（从特殊到一般）的指引下，得出结论：乘法运算律仍然适用；方案2主要通过师生互动、生生互动展开学习，让学生通过计算、观察、比较、讨论发现结论，并用文字语言与符号语言加以表示等.这样，既展示了运算律的形成过程，又提高了学生合作探究的意识，同时还提高了学生的表达能力，可谓一举多得.

3.倒数

设计方案1：

（1）快速算一算：通过一组计算题的计算，让学生快速口答其结果（设计两个有理数相乘，并且结果为1），观察这些题目的计算结果有什么共同特点.

（2）问题答一答：

设问1：这样的两个数有什么关系呢？

设问2：怎样的两个数互为倒数？

设问3：0有没有倒数？为什么？

（3）题目考一考：由同桌任意给出一个有理数（尽量给出一些负数），请你准确地写出这个数的倒数.

设计方案2：

（2）归纳新知：请学生在小组范围内分别用文字语言和数学语言表述倒数的概念.如果两数的积为1，那么这两个数互为倒数，用字母表示：如果a·b=1，那么a与b互为倒数.

（3）大显身手：老师给出一些有理数，请各小组的同学求这些数的倒数，尤其是负有理数，且以小数的形式给出，如：求-0.5的倒数，提醒学生可先把小数转化为分数，然后再求其倒数.

对于倒数，学生感觉并不陌生，随着数的扩充，倒数的含义并未改变.所以本节内容的重点应该放在对负数的倒数的认识上.方案1以口答、观察、比较、归纳、应用等活动展开学习；而方案2通过化归的思路让学生展开回忆，步步深入、得出新知.不同的设计思路达到了相同的教学目的，实乃殊途同归.

三、课堂教学实录展示（节选）

1.有理数的乘法法则

师：同学们，我们已经学过有理数的加减法，你能快速口算出下列各题的结果吗？

（1）计算：①（-2）+（-2）=_____；②（-2）+（-2）+（-2）=_____…

（2）类比猜想：回忆小学学过的乘法意义，试将上面的式子写成乘法式子.

生1：（-2）+（-2）就是2个（-2）之和，也可表示为（-2）×2，结果为-4…

说明：通过简单的几个相同负数的相加，过渡到有理数的乘法，学生感到熟悉，既为有理数乘法运算做好了准备，又体现了有理数乘法表示的简洁性和必要性．

师：归纳得很好，下面就让我们一起来看看蜗牛爬行问题中的有理数乘法吧！

问题：如图1，一只蜗牛沿直线l爬行，它现在的位置恰好在l上的点O处.

（1）如果蜗牛一直以每分钟2cm的速度向右爬行，3分钟后，它在什么位置？

图1

图2

说明：先让学生独立思考，然后展开讨论，互相启发、互相学习，激发灵感，老师适时点拨，引导学生学会学习．

师：谁能指出3分钟后蜗牛所在的位置？

生2：在直线l上，点O的右侧，且距点O6cm处.（学生上台指出蜗牛的位置）

师：如图2，如果我们以点O为原点，规定向右为正，向左为负；时间以某处之后为正，某处之前为负，则怎样的算式可以表示上述变化？

说明：通过讨论，形成共识：每分钟2cm的速度向右记为+2、3分钟后记为+3．

生3：（+3）×（+2）=+6.

师：你能用相同的思路研究下面的问题吗？

（2）如果蜗牛一直以每分钟2cm的速度向左爬行，3分钟后，它在什么位置？

（3）如果蜗牛一直以每分钟2cm的速度向右爬行，3分钟前，它在什么位置？

（4）如果蜗牛一直以每分钟2cm的速度向左爬行，3分钟前，它在什么位置？

多媒体出示：用算式表示出蜗牛爬行位置的变化，并把其位置在数轴上表示出来.（请大家分组合作，具体过程略）

师：结合你探究的经历和对有理数乘法的思考，先填空，然后尝试归纳你的发现.

生4：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.

师（追问）：一个数和0相乘呢？

生5：任何数与0相乘都得0，可以直接写出结果.

生6：有理数的乘法实质上就是先定符号，再定乘积.

说明：一只蜗牛沿直线l爬行，在爬行速度确定但爬行方向和爬行时间变化的情况下，确定蜗牛的位置，让学生通过小组活动，在合作探究的过程中促进思考，在互相学习的过程中共同提高．

师：请同学们结合刚刚归纳的有理数乘法法则，解决下列问题：

例题与练习：略.

师：同学们，通过今天这节课的学习，你体会到了哪些数学思想方法？你收获了什么？还有哪些疑惑？（学生小结后布置作业）

说明：数学教学活动必须建立在学生认知发展水平和已有知识的基础之上，激发学生的学习积极性，尽可能地为学生提供从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流过程中真正理解和掌握基本的数学知识、技能和方法，获得广泛的数学活动经验．有了前面“厚重”的探究，才有后面对有理数乘法法则的熟练运用，学生在不知不觉中学会技能的同时，也实现了“会学”的目标．

2.有理数乘法运算律

师：同学们，回忆一下我们在小学已经学过哪些乘法运算律？

生1：乘法的交换律、结合律、分配律.

师：这些乘法运算律可表示成什么形式呢？你能用字母把它表示出来吗？

说明：乘法的分配律是乘法对加法的分配，通过回忆，达到温故知新的目的．

师（疑惑地）：小学学过的有关乘法的运算律，在有理数范围内还适用吗？请大家通过计算，来验证你的猜想.（课本第43页做一做）

（1）6×（-7）=____；（-7）×6=____；…

师：通过计算、比较，你能发现上述各组题的运算结果有什么特点吗？

生2：结果相等.

师：观察以上各组题的运算形式，你能发现什么？（分组讨论，归纳自己的发现）

生3（小组代表）：就是对乘法交换律、结合律、分配律的验证.

生4（小组代表）：我知道了，乘法运算律在有理数范围内仍然适用.

师：对了，当一些题目通过运算律改变运算顺序而能使运算简便时，我们可以借用运算律进行转化，起到使运算简单化的效果，这就看谁运用更灵活了.看看下面这道计算题，你准备怎样计算？（小组内讨论怎样计算更简便）

说明：多数同学意识到括号外面的因数（-36）与括号内的每个分数的分母均有公因数，运用乘法的分配律能约去分母，计算比较简便，但也有少数同学受思维定势的影响，依然先算括号内，后算乘法，通过比较，可发现其方法的优劣.

生5（小组代表）：计算时要注意算式的特征，尽量用乘法运算律进行简便计算.

师：对了，乘法分配律主要是起着简便运算的作用，大家要先仔细观察、思考，确定好方法后再计算.下面老师给出两道练习题，看谁算得又准又快.

师：这两道题目分别运用了乘法的什么运算律？

生6：（1）运用了交换律和结合律；（2）逆用了分配律.

说明：通过这几道题目的练习，引出有理数范围内倒数的概念.

师：同学们，计算2中的3道题目的结果有什么共同特征？

生（齐）：都等于1.

师（追问）：回忆一下，乘积为1的两个数是什么关系？

生（齐）：倒数.

师（追问）：0有没有倒数？

生7：0没有倒数.

师（追问）：为什么0没有倒数呢？

生8（代表）：因为0乘以任何数都得0，找不到一个数与0的乘积为1.

说明：问题由浅入深、由易到难，学生的积极性得到充分的调动，回答非常踊跃.

师：同学们，今天这节课我们主要学习了哪些内容？体会了哪些数学思想？谈谈你的感想与收获，好吗？

说明：通过小结，回忆知识点，提升思路和方法，使学生学有所获、学有所悟.

四、随感随想

在本节课中，通过教者的合理引导，使学生学会观察、比较、归纳等学习方法，尽量让每个学生都能动起来（动口、动脑），积极思考，合作探究，通过自己的努力和小组的合作归纳出运算法则，学会自主参与、合作交流，在立足基础知识和基本技能的同时，强化学生对基本思想的领会和基本活动经验的积累，不断将“双基”发展为“四基”，激励学生以“会学”促“学会”，并且在学习方法的锻造实践中品味成功感，充分挖掘自身的学习潜能，不断增强自己的自信心，使自己真正成为学习的主人！

实践证明，成功的数学教学一定要注重对问题的探究，关注学生学习的过程.本节内容的目标是让学生“学会”有理数的乘法运算，但更为重要的是在确保学生“学会”的基础上，拉长知识的“生长链”，使学生达到“会学”的目的，让学生在“学会数学”中“会学数学”.因此只有引导学生掌握学习的方法，真正做到“会学”，才是长远的、主动的和无限的.