突出过程孕育 借助推理催化——《锐角三角函数》教学实录与思考

☉浙江省宁波东海实验学校 陈明儒

一、教学背景

2012年11月笔者受邀在宁波市课改成果展示活动中上课，在选定课题前，就一直在思考上什么内容，怎么上才能让课堂精彩而有效，让学生受益，让听课老师感觉既耳目一新又受益匪浅．这堂课必须体现新理念、新课程、新课堂的活动主题，又要体现数学课的特点．最后经过思量，决定上浙教版九年级下册第一章《解直角三角形》的起始课《锐角三角函数（1）》．

二、教材分析

《锐角三角函数（1）》是学生掌握直角三角形相关性质及函数知识后，对直角三角形边角关系的进一步研究．通过这节课，一方面可以使学生在义务教育阶段对直角三角形的边角关系有个完美的知识建构，另外学生可以运用函数知识，使通过数形结合的方法去研究角与边的关系成为可能，并且为他们在高中的三角函数学习打下基础．通过解直角三角形的学习，学生在知识上可以承上启下，学习技能上可以使数与代数、空间与几何重要的性质在本章进行综合运用，从中渗透数形结合、类比、转化及数学建模等数学思想，进一步积累数学学习的经验．

三、教学过程实录

1．创设情境，引出课题

问题：秋高气爽，登高望远．一天小明和小亮相约去爬山，他们在山脚下，分别从东西两侧在倾斜角为30°和40°的斜坡上步行了150米（如图1）．请问谁登的高？

图1

生1：小亮登的高.因为他登的坡陡.

师：是的，从图中可以直接看出.其实，要比较两人谁登的高，只需比较两条垂线段BC和EF的长度（课件动态演示两条线段的叠合过程），发现EF确实比BC长.

师（追问）：那小亮比小明登的高多少米？

（学生陷入沉思）

师：BC的长是多少？

生（齐答）：75米.

师：为什么？

生（众）：30°所对的直角边是斜边的一半.

师：嗯.EF呢？

（学生沉默）

师：在△DEF中，已知DE及∠D，能求EF就好了.即：在直角三角形中，已知一边及一锐角，可以求其余两边（课件出示）.显然，这个知识大家还没学过，那咱们退一步，观测△ABC，当BA变化时，两条直角边也变化，但BC与AB的比值始终是多少？

师：那大家是否可以大胆猜测：

在直角三角形中，当锐角的度数确定时，它的对边与斜边的比值也确定（课件出示）？

生2：不相等.因为BC＜EF，AB=DE.

师：很好.那可以进一步猜测：在直角三角形中，若锐角的度数不同，则锐角所对的直角边与斜边的比值也不同（课件出示）.要解决这些问题，就要学习一种新的知识：锐角三角函数（板书）.什么是锐角三角函数呢？带着这些问题，我们一起进入下面的探究环节.

设计意图：教师创设了一个“登山坡”的情境，把锐角移植到直角三角形中.通过变化中变量和不变量的寻找，发现比值随角度变化而变化，是有关角度的函数，从而很自然地引出三角函数的课题.

2.问题探究，发现规律

师：通过计算，你发现了什么？

师：也就是说：角度不变，…….

生（众）：比值不变.

师：很好.

图2

图3

师：为什么？

生（齐答）：有.角度不变，比值不变.

图4

图5

（3）如图4，∠A=60°，请完成类似的命题.

师：说说你的计算过程.

师：真好，通过以上三个特殊问题的验证，“角度不变，比值不变”这个猜想是正确的.但验证不能代替说理，大家能否证明呢？

师：答的太好了，通过以上经历，你们发现了什么？

生（众）：角度不变，比值不变.

师：你归纳得不错，那你会证明吗？

（学生再次陷入沉思）

师：看来大家遇到困难了，那老师做个实验，其实实验不是科学的专利，有时数学也可以做实验.

师：问得好.现在还不能证明这个真命题，只能解释.但以后可以证明，数学学习有时就会遇到这种情形.这里老师欠大家一个“债”.

生（众）：都笑了.

师：发现大家有个好习惯：敢于质疑.质疑是学习的好品质.有了刚才的探究经历，大家已经有什么发现？

（学生展开热烈讨论）

生8：角度不变，比值不变；角度改变，比值改变.

师：很好.在直角三角形中，由推理可得：角度不变，比值不变；由归纳得出：角度改变，比值改变（投影显示）.

设计意图：通过数学猜想、实验和几何画板动态演示，让学生体验观察、归纳、猜想、证明（验证）及探究过程，展开从特殊到一般的定量概括，加深学生对概念的理解，丰富学生的感性经验.在寻找变量、不变量的过程中，自然地出现了线段的比值，让学生找出“比值”中的自变量、函数及对应规律，强调从特殊到一般、从具体到抽象的研究方法，这是发现数学规律的基本方法.

3.类比联想，形成新知

师：图6的变化中，应关注哪两个变量？它们之间是什么关系？

图6

师：你的回答太漂亮了，这种关系又是一种大家非常熟悉的什么关系？

（学生一时想不起来，有的说“对应”，经过纠正，终于有声音说是“函数关系”）

师：锐角三角函数这个概念，有点复杂难记.这里老师稍微停一停，把这个概念稍加解释（教师从锐角三角函数怎么读、怎么写、怎么理解三个方面进行强调）.

师：如果把α看成直角三角形中的锐角A，那么锐角A的三角函数又可如下定义：

设计意图：在探索比值的相关量的过程中，发现比值随角度变化而变化，从而使学生初步形成锐角三角函数的概念，巧妙地把三角函数放在函数的概念体系中进行教学，让学生体会了锐角三角函数产生的必要性．同时，学生经历了三角函数概念的形成过程．另外，教师充分考虑学生的学习情况，重点抓住学习正弦函数的概念这个主线，突破三角函数概念的难点后，再类比引出其余两个，起到了事半功倍的效果．

图7

4.典例学习，深化新知

师：大家在课堂上积极参与，使得知识的探究过程非常顺畅．下面老师准备了几个问题，看看大家能否利用今天所学的知识解决它们．

例1 如图8，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5.

（1）求∠A的正弦、余弦和正切的值.

师：由题意，可得AC是多少？

生（众）：AC=12．

图8

师：接下来请一位同学跟我合作一起来完成问题（1）．

（要求学生说出文字语言和符号语言，再说函数值，目的是让学生再一次理解锐角三角函数的定义，教师板书）

师：刚才这位同学的回答完全正确．接着请大家各自完成问题.

（2）求∠B的正弦、余弦和正切的值（课件显示）．

（教师巡视）

（学生回答，也要求先说出文字语言和符号语言，再说函数值，因为读也是一个难点）

（课件显示∠A、∠B的正弦、余弦和正切的值）

（3）观察（1）（2）中的计算结果，你发现了什么（课件显示）？

（学生开始讨论）

师：请你们把发现的结果让大家一起分享，哪位先回答？

生10：sinA=cosB，cosA=sinB．

师：（板书学生的结果）很好，请坐（板书：∠A+∠B=90°）.其他同学还有不同的发现吗？

生12：tanA与tanB是反过来的关系．

（大家都忍不住笑出声来）

师：你再想一想，这两个函数值的乘积是1，在数学中叫这种关系是……

生12：（经过教师和同学们的提醒）是倒数关系．

师：对了（板书：tanA·tanB=1），在A、B互余的条件下是倒数关系．其实，这节课又一次运用观察、归纳、猜想的途径得到了一些重要结论，这些以后会很有用哦．但猜想的结论往往需要证明，希望大家课后去证明它们，相信你们会有收获的．

例2 在6×6正方形网格中，△ABC的位置如图9所示，则cosB=（ ）．

图9

（有的选A，有的选B）

师：看来有两种不同的意见，同意A的请举手（数了一下有近三分之一），再请同意B的举手（有一半左右），现在请选A答案的同学讲一下理由．

师：下面再请选B答案的同学举一下手．

（学生再次举手，发现比原先的少了，教师叫其中一个举手的站起来回答）

师（不站队）：现在你们同意选A还是选B？

生（众）：B．

师：看来大家已经明白了．因为△ABC不是直角三角形，所以BC不是直角边.通过这个问题的解决，应明白这样一个道理：大家求一个锐角的三角函数，一定要把这个角落实到直角三角形中．切记！切记！

设计意图：给出直角三角形的边，求正弦、余弦和正切的值，目的是让学生掌握用定义解题的基本规范．教师在习题的选择中应注重典型性，让学生充分地思考和讨论，在思辨中明白求锐角三角函数往往要转化到直角三角形中的重要性，让学生经历数学归纳的过程，渗透转化思想．

5．师生合作，盘点总结

师：不知不觉中，本节课即将结束，美好的探究之旅总是让人回味，数学的学习过程总是使人愉悦，变得睿智，请同学们根据以下三个问题回顾本节课的内容．

（1）这节课学了一个什么函数概念？它与以前的函数概念有什么区别？

（2）在学习过程中再一次运用了什么数学学习的方法？

（3）这节课中又一次体验到哪些数学思想？

设计意图：这样的问题清单更有指向性，目的是引导学生梳理学习内容，提炼学习过程中的数学思想方法．

6．布置作业，课后延伸

书面作业：

教科书第6页中的作业题（必做题）．

探究作业（选做）：

（1）对锐角α，请思考sinα、cosα、tanα的取值范围是多少？

（2）试着解决课前的登山问题．

（3）谈古论今，追根朔源——锐角三角函数的历史研究．

设计意图：设计弹性作业，照顾不同层次学生的学习需要．一节课的结束，并不意味着学习的终结；作业的设计由课内延伸到课外，是基于数学学习是不断提出问题、解决问题的过程，数学学习是不断探究的过程，同时为以后的学习埋下伏笔.

四、教学思考

1．设计体现新理念，追求教学和谐

数学教学活动是师生积极参与、交往互动的过程．本节课教师通过设置登山的情景，引出三个问题，顺着学生认知的发展顺序，按照数学的逻辑顺序，逐步展开探究活动，引导学生独立思考；通过沟通对话、交往互动，问题的答案逐一明晰，学习锐角三角函数概念的必要性变得非常自然．再通过例2的设计支撑，学生进一步的质疑反思、探究辨析，使教学的有效性得到保障，达到教与学和谐统一．

2．设计有侧重的教学流程，突出过程孕育

数学的本质是抽象．抽象的道理要讲，但要用一切办法使它们看得见、摸得着、理得清．数学概念往往通过归纳、推理产生，因此概念的形成，需要过程孕育．函数概念是初中阶段学生比较难理解的知识，锐角三角函数又有别于学生已经学过的一次函数、反比例函数及二次函数，它的自变量是角度，函数是线段的比值；解析式的写法也不一样，并且有正弦、余弦和正切三个函数；读法也是学生学习的一个障碍，导致以往学生对锐角三角函数一知半解．基于这种经验，这堂课，笔者把教学重点放在正弦锐角三角函数概念的形成过程上，再通过类比学习其余两个函数，这样从心理上减轻学生的学习压力．在内容设计上，课堂上用近一半的时间，围绕三个方面展开：（1）角度改变，比值改变；（2）角度不变，比值不变；（3）谁是谁的函数．在活动的形式上，采用探究学习，让学生通过观察、思考、实验及推理，慢慢孕育出正弦锐角三角函数．

3．设计凸显数学思维学科的特点，借助推理催化

学习数学，主要目的是培养学生的理性思维能力，而推理是数学的基本思维方式.初三学生在知识储备和能力储备上已经具备这种学习的条件，初三阶段教师过多地强调演绎推理，而轻视数学直观．其实，数学知识的形成依赖直观，数学知识的确立依赖于推理．本节课在解决“角度改变，比值改变；角度不变，比值不变”这两个问题时，都是采用从特殊到一般的方式，充分调动学生的直觉思维；通过数形结合，运用合情推理与演绎推理共同催化的方式实现抽象与具体之间的转变．

4．设计凸显数学探究的特点，发挥双重优势

努力发挥探究学习与接受学习的双重优势，体现数学探究的特点．数学学习过程本身就是一个探究的过程，在数学学习中需要学生的积极参与、观察、归纳、类比、联想、演绎等．本节课教师通过设计一系列问题串，把教学过程变成不断的提出问题、解决问题的探索过程，再通过沟通互动、激励评价、质疑辨析，使学生获得知识的深层理解．教师在解读锐角三角函数的概念时，讲解锐角三角函数的名称、读法、书写及由来；在盘点总结环节，教师总结学习方法，提炼数学思想，使学生接受学习的优势得到发挥．