MPCK视角下的“勾股定理”

☉湖北大学数学与计算机科学学院 汪 恩

PCK是学科教学知识（Pedagogical Content knowledge）的简称，最早是由美国舒尔曼（Shulman）教授于1986年提出来的.这种知识是学科知识在教学应用中的转换形式，是特定的内容与教学法的整合或转换，是教师独特的知识领域，是他们专业理解的特殊形式，就是使人易于懂得该学科内容的表达和阐述方式.【1】若结合数学来探讨PCK，即为MPCK（Mathematical Pedagogical Content-Knowledge），称之为数学学科教学知识.基于MPCK的视角，数学教师分析特定课题的PCK时应包括四个方面的内容：（1）将要学习的数学知识的内容及其教育价值；（2）将要学习的内容与其他内容的联系；（3）学生在学习数学知识过程中的经验和可能出现的困难；（4）帮助学生学会数学知识的教学策略.在上述理论框架下，笔者结合自身教学实践经验（湖北省第一届高校本科师范生教学技能竞赛）具体研究《勾股定理》的PCK，分析勾股定理的有关教学呈现给教学组织.

一、勾股定理的内容知识

1.勾股定理的史学背景

勾股定理是几何学中的一颗璀璨明珠，历史悠久，证法繁多.千百年来对它的探讨从未停止过，人们不断提出新的证法，其中有著名的数学家，也有业余的数学爱好者；既有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统.勾3、股4、弦5源于《周髀算经》，时至今日，它已成为最经典的一组勾股数，人尽皆知.我国古代东汉时期的数学家赵爽证明勾股定理的弦图，凝注着中华民族的聪明才智，记载着中华民族对于数学发展的贡献，2002年在北京召开的国际数学家大会把它作为会徽.三国时期的数学家刘徽证明勾股定理的青朱出入图，平面几何的鼻祖——欧几里得证明勾股定理的原图都是用几何图形来说明问题.在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理，相传是毕达哥拉斯在朋友家聚会是观察地板发现的，他的证明方法至今已经失传.

勾股定理被发现之后，数学家们除了不断寻找新证法，也在寻找应用.勾股定理的一个直接应用就是希波克拉底发现了月牙定理.希波克拉底解决的化月牙形为方形这一特殊情况掀起了很大的风波，误导了很多数学爱好者.月牙图形的出现也让很多数学研究者，包括希波克拉底在内，陷入了一个死胡同，他们“坚信”化圆为方问题是可以实现的，其实该方法很难推广解决直线型图形和曲线型图形等面积转化的一般情况.

2.勾股定理的内容

勾股定理是国家课程标准人教版实验教材八年级下册§18.1【2】的内容知识，定理可从两个角度来叙述.从代数角度叙述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2.从几何角度叙述：以直角三角形斜边为边的正方形的面积等于以直角三角形两直角边为边的两个正方形的面积之和.

二、地位、作用与教育价值

勾股定理是几何中的重要定理之一，它的发现、验证和应用蕴含着丰富的文化价值.勾股定理从定量的角度揭示了直角三角形三边之间的数量关系，将形与数密切联系起来，理论上占有重要的地位；它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用.勾股定理是学生后续学习的重要基础，主要体现在以下几个方面：

1.内容上

勾股定理是初中平面几何中有关度量的最基本定理之一，被称为是几何学的基石．一方面，它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，是进一步认识和理解直角三角形的需要，也是后续有关几何度量运算和代数学习必要的基础；另一方面，它与其他数学内容联系相当紧密，可以用下面的框架图（图1）反映.

2.方法上

利用面积关系来说明数学中的某些恒等式、不等式，或证明某些定理，这是一个古老而又年轻的方法.古代数学，不管是东方还是西方，都擅长用几何图形来说明问题，这可看作是无字证明的源头.勾股定理就是利用面积法来证明的一个最早的例子，面积法即利用面积关系证明几何定理.勾股定理相传是古希腊数学家毕达哥拉斯通过观察朋友家地板图案发现的，不过他最先发现的是勾股定理对于等腰直角三角形是成立，后来经过不断探索与研究发现并证明了勾股定理对于一般的直角三角形都是成立的.这种从特殊到一般的研究方法是数学学习中常用的方法之一，笔者在勾股定理的讲授中渗透的便是此种方法.再者，勾股定理突破了对三角形定性的研究，而是更精确地定量地刻画了直角三角形中三边之间的数量关系.

图1

3.技能上

学习此节新知识前学生对勾股定理已有所耳闻，但并不系统、不深入，不会证明.在寻找勾股定理的证明方法时，教师引导学生从数的平方联想到形的正方.从一个直角三角形出发，分别以其三边为边长向外作正方形，那么勾股定理反应到图形上就是斜边上正方形的面积，等于两直角边上正方形面积之和.勾股定理具有几何和代数的双重特征，是几何与代数的桥梁，通过对勾股定理的证明——变换法（拼图法）的学习，既有助于学生感受运动和变换，又提升了学生在以后学习过程中分析问题、解决问题的能力.

4.情感上

经历勾股定理的探索和证明过程，有助于丰富学生的数学活动经验：探究图形的基本元素之间的关系、多角度探究几何结构、经历几何推理过程，体验数形结合的思想方法，有助于学生获得更多的数学工具去探索和了解我们生存的空间.同时笔者在课堂教学中设置了分组研讨、同伴互助和交流成果的环节，此环节培养了学生的合作意识、团队精神，提高了表达能力，感受到了获得成功以及分享成功的快乐.通过对勾股定理历史的了解，对比中西方数学家关于勾股定理的研究，激发学生的民族自豪感，欣赏数学的美妙，感悟数学的理性精神以及追求真理的志向.

三、学生在学习勾股定理时可能出现的困难

1.让学生“再发现”勾股定理非常困难

学生在学习这节课之前已有所耳闻勾股定理，已有一定的认知经验.勾股定理所承载的数学文化价值是巨大丰厚的，并非如观察地板就可以自主发现的.教师已经创设了发现勾股定理的条件，学生是在教师一定的暗示和提示下以自己的经验和知识作为基础，通过数方格、直尺测量等活动对勾股定理进行再发现.

2.让学生在思路上较自然地想到证明方法是困难的

经过不断探索研究，据说到现在，勾股定理已经有400多种证法了，例如欧几里得几何图形的无字证明、刘徽的青朱出入图、总统证法、赵爽弦图证法等都是经典的证明方法.笔者通过适当搭建支架，指导学生用四个全等的直角三角形拼图运用面积方法证明，既调动了学生的积极性，又大大降低了学生思维上的困难度.

四、帮助学生学会勾股定理的教学策略

在勾股定理这节课的设计中，笔者参看了一些优质课的教学设计和视频，大部分都是以探究勾股定理作为重点，证明勾股定理辅之.

1.探究勾股定理的策略

探究勾股定理的策略大体有两种：

（1）让学生测量直角三角形三条边的长，让学生猜想三条边长之间的数量关系.

通过度量直角三角形三条边的长，计算它们的平方，由于得到的数据不总是整数，学生很难猜想出它们的平方关系，因此教师常常把勾股定理作为一个事实告诉学生.

（2）利用网格纸进行探究.

在网格中分别以这个直角三角形的两条直角边和斜边为边长向外作三个正方形A、B、C，每个小方格代表一个单位面积，学生通过观察求出它们的面积.

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对于正方形A和正方形B的面积学生很容易求得，正方形C的面积通过数格子不能直接得出，采取“割补”的方法求得.

方法一：把C分割成4个直角边为整数的三角形和中间的一个小正方形，如图2.

方法二：把C补成边长为7个单位长的正方形，如图3.

图2

图3

（图中每个小方格代表一个单位面积）

通过“割补”的方法求出正方形C的面积后引导学生发现：正方形A、B、C的面积存在数量关系：A的面积+B的面积=C的面积，即32+42=52.进而由特例猜想一般的直角三角形三边之间的数量关系.

2.证明勾股定理的策略

笔者认为勾股定理这节课的重点是定理的证明.一般来说，学生在没有任何提示的情况下自行探究，寻得勾股定理的证明方法有一定难度.教师要为学生适当地搭建“脚手架”，使学习任务处在学生的最近发展区，为学生的学习提供帮助.学生在数学活动中的发现不同于前人的数学发现，是在教师引导下对前人的智慧结晶在时空上的浓缩，学生利用活动中获取的直接经验更好地理解和掌握间接经验.那么，在有限的时空内，如何合理地选用教学素材、如何有效地开展数学活动，是需要教师精心策划的.对于勾股定理的证明很多老师采取的策略是直接告诉，这种方法虽然能够让学生知道勾股定理的各种证明方法，但是却失去了培养学生思维能力的良好机会.几何证法、拼图法都是证明勾股定理常用的方法，笔者认为以此为契机通过拼图实验运用面积法证明勾股定理不仅可以调动学生的学习积极性，还可以丰富学生的认知体验，锻炼学生的几何思维.

五、如何有效地组织和呈现本节内容知识——以教学设计的形式阐明架构思想

根据前面的分析，笔者结合自己的思考对勾股定理的教学设计如下：

1.创设情境，提出问题

一个著名的问题《九章算术》中有一个名题：“今有池方一丈，葭生其中央.出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”

图4

白话本题的意思：有一水池一丈见方，池中央生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，如把它引向岸边，正好与岸边齐.问水有多深，该植物有多长？

PPT展示，画出示意图，如图4，并结合图形将实际问题抽象为数学模型.

设计思想：借数学史激起学生的探求欲望，以这道经典的中国古代的数学题目，把学生带入了田园风光的情境，既吸引了学生的注意力，又很好地引出了新知识.

2.师生交流，学习新知

（1）拓展探究提出猜想.问题1 直角边为1的等腰直角三角形的三边有怎样的关系？

图5

问题2 直角边为a，斜边为c的等腰直角三角形的三边又有怎样的关系？

设计思想：有了特例的经验后，引导学生用拼图的方法来探究这个问题.通过几何画板动画演示，让学生观察发现分别以两直角边为边长的两个小正方形可以拼成以斜边为边长的大正方形，如图6.从而再由这三个正方形的面积关系得到等腰直角三角形三边的关系：等腰直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方.

图6

问题3 一般的直角三角形也有类似的三边关系吗？

猜想：在Rt△ABC中，如果两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.

设计思想：通过特例的观察，突破难点，为归纳结论打下了良好的基础.学生经历观察、归纳、猜想的过程，提高分析和解决问题的能力.让学生初步掌握由特殊到一般再到更一般的研究方法，对于学生良好思维品质的形成有重要作用，对学生的终身发展也有一定的作用.

（2）数形结合进行证明.

问题4 你能用手中4个全等的直角三角形摆出一个以它的斜边为边长的正方形吗？

布置任务请大家四人一组拼图并思考：能否以面积为桥梁，运用拼图的方法证明我们的猜想.

小组活动，学生动手操作，教师巡视、指导学生活动，请先行完成的几个小组各派代表上台展示，并讲述证明.

设计思想：学生在教师引导下，结合前面的活动经验，赋予a2、b2、c2几何意义，并通过拼图、运用面积法证明对直角三角形三边关系的猜想.分组活动可以调动学生的积极性，提供人人参与、互相帮助的机会，保证实验目的的达成，小组成果的展示、交流可以丰富学生的认知体验，提高探究活动的时效.

教师对各小组展示的方法逐一点评，并辅以多媒体PPT演示.

利用弦图我们可以证明勾股定理：如图7是由4个全等的直角三角形拼成的一个组合图形，外层正方形的边长为c，内层正方形边长为a-b，则外层正方形的面积=4×直角三角形面积+内层正方形面积.

图7

图8

如图8是由4个全等的直角三角形拼成的一个组合图形，外层正方形的边长为a+b，内层正方形边长为c，利用这个图我们可以也证明勾股定理，则外层正方形的面积=4×直角三角形面积+内层正方形面积.

通过以面积为桥梁，用拼图的方法证实了前面猜想的正确性，这就是著名的勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.在西方，多将此称为毕达哥拉斯定理.

设计思想：在各小组交流了拼图证明后，教师启发学生分析不同证法之间数与数、形与形、数与形之间的内在联系，进一步丰富、提升学生的认知.

（3）史话勾股提升情商.

勾股定理是几何学中的一颗璀璨明珠，历史悠久，证法繁多.千百年来对它的探讨从未停止过，人们不断提出新的证法，其中有著名的数学家，也有业余的数学爱好者；既有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统.

多媒体展示赵爽弦图、刘徽的出入相补图、平面几何鼻祖欧几里得的证明原图以及2002年国际数学家大会会徽、勾股树等.

设计思想：让学生进一步了解中外数学成就，对比中西方数学家关于勾股定理的研究，激发起民族自豪感，欣赏数学的美妙，感悟数学的理性精神以及追求真理的志向.

（4）应用定理解决问题.

勾股定理的证明巧妙地将数与几何图形结合在一起，充分体现了数形结合的思想，勾股定理是一座联系数与形的桥梁.

应用勾股定理来解决课前引入的问题：《九章算术》有一勾股定理名题：“今有池方十尺，葭生其中央.出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”

学生自己解决问题后老师用PPT展示具体解题步骤.

解：如图9，设水深x尺，则葭长（x+1）尺.

由勾股定理，得x2+52=（x+1）2.

解得x=12.

答：水深12尺，葭长13尺.

设计思想：学以致用，在问题解决中，将一般结论应用于特殊问题情境，加深对定理的理解.

图9

3.总结升华布置作业

（1）回顾本节课的内容，你有什么收获？

（2）点评并进一步归纳.

（3）作业：阅读课本71页《勾股定理的证明》；书本第69页第1、2题；搜集、探索勾股定理的其他证法.

设计思想：引导学生对知识要点进行总结，提炼思想方法，不同层次、不同完成方式的作业让不同的学生都有相应的实践、发展的机会，同时将学生的学习活动在时空上进一步拓展.

4.教学反思

新课改倡导有意义的学习方式：动手实践、自主探索与合作交流［3］，本节课从创设问题情境入手，唤醒学生的知识经验，让学生带着问题进入到直角等腰三角形的三边关系的探索上，从特殊到一般，层层深入，并引导学生动手进行数学实验体验勾股定理的证明思路，是教师的教与学生的学的一个双边活动.利用几何画板将信息技术与数学教学有机地结合在一起，既提高了学生的学习兴趣，又培养了学生的直觉思维和想象能力.但是，学生的拼图成果不止两种，有的拼图并不能直接证明定理等问题没有充分的时间在课堂上一一讲解，这都是以后在教学中要进一步关注和改进的.

1.shulman.Those who understand：knowledge growth in teaching.Educational Researcher，1986，15（2）.

2.课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心．义务教育课程标准试验教科书数学八年级下册 ［M］．北京：人民教育出版社，2008.

3.中华人民共和国教育部制定．义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

4.朱哲．数学史中勾股定理的证明［J］．数学教学，2006（3）．