遵循“命题”内涵 例析教学之道

☉江苏省金湖县实验中学 高 峰

中考是教学的指挥棒，中考的命题原则和命题方式对教学的引领与指挥作用是毋庸置疑的，优秀的中考试题能折射出时代对数学教学的期望.正如课标中指出的：数学是“活动”、“过程”、“思想和方法”……可见，数学已经成为一种具有多维结构的人类活动.努力让数学展现出应有的面目，中考走在了前列！

三角形的相关知识占初中几何的半壁江山，内涵丰富，是发展学生的空间观念、图形直观和数学思维能力的重要载体，是研究四边形、圆等其他几何图形的知识与方法的基础，挖掘三角形问题的教育教学的意义，对提高学生素质有着重要的作用.有关三角形的探究性问题，更是中考的热点.通过对这些试题的分析、研究，将能有效地指导我们的课堂教学.

一、拓展问题空间，提升类比转化能力

“类比推理”和“归纳推理”是合情推理的两种常见的形式，既是思考方法，又是研究、概括、拓展知识的重要策略和途径.类比中有联想，类比中有迁移，类比中有变化，类比中有发展.其中，联想和迁移是“类比”实现“从某一事物想到或运用到与之有一定联系的另一事物”的动力，纵横联想，善于迁移，能让学生自觉处理众多信息，开阔学生解题的思路；而类比的另一个重要的特征是在迁移中的“变化、调整与发展”，能锻炼学生思维的适应性和应变性.

例1（2012年河南）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.

（1）尝试探究：

（2）类比延伸：

（3）拓展迁移：

图1

图2

图3

评注：学生解决本题时，首先要明白“尝试探究”中的前两个问题的用意，实质是引导学生积极对自己的解题思路进行自主反思，抓住问题的关键，即利用作平行线，构造相似三角形，通过对应边成比例，获得关键线段之间的数量关系.“类比延伸”只是将“比值是数字”改为“比值是字母”，目的是使结果由“特殊”过渡到“一般”，图形结构与条件变化不大，目的是使学生体会借助于字母，可以使结论更具有一般性.“拓展迁移”的图形结构与条件发生了很大的变化，但并不是没有关系，这就需要学生能自主通过类比，抓住题目内部结构上“类似”、“相关”、“因果”、“相近”等因素，运用前面的思路来解决问题，获得丰富的构造和利用相似三角形的知识解决问题的经验.

要让学生获得运用某种方法解决问题的经验，可依据学生的认知规律，从简单的、特殊的问题入手，将问题向一般进行拓展、变式，引导学生先对简单的、特殊的问题进行分析获得灵感，然后应用解决一般的、变化的、拓展的问题.在这个过程中，学生充分体验“借助特殊解决一般”的思想，掌握运用“特殊与一般”关系的思维策略，其中还涉及，如何把一般与特殊进行类比，如何将一般向特殊转化，让学生充分感受类比、转化、从特殊到一般等思想方法的应用，获得丰富的运用某种方法解决问题的经验，形成对知识的概括、运用和迁移.

二、倡导合作交流，提升数学交流能力

数学交流是学生有效进行数学学习的一种手段，在交流的过程中学生可以互相启迪，让思维进行碰撞.通过交流，学生可以产生彼此的信任，有利于良好学习氛围的形成.在这个过程中能增强学生的体验，展开方法、策略的探讨，生成丰富且生动的学习资源，在自主探索、合作交流中，学生的情感、态度、价值观的取向得到真实的释放.

例2（2012年山西）问题情境：将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图4所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由．

探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：

解：OM=ON，证明如下.

连接CO，则CO是AB边上中线.

因为CA=CB，所以CO是∠ACB的角平分线.（依据1）

因为OM⊥AC，ON⊥BC，所以OM=ON．（依据2）

反思交流：

（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：

依据1：_____________________.

依据2：_____________________.

（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．

拓展延伸：

（3）将图4中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图5所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程．

图4

图5

解：（1）等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）；角平分线上的点到角的两边距离相等．

（2）方法不唯一，可通过寻找三角形全等来解决.因为CA=CB，所以∠A=∠B.因为O是AB的中点，所以OA=OB．因为DF⊥AC，DE⊥BC，所以∠AMO=∠BNO=90°，所以△OMA≌△ONB（AAS），所以OM=ON．

评注：本题中，由于特殊情形下解决问题的方法很多，但是不是所有方法都适合解决拓展延伸，能否找到适合的方法是解决拓展延伸的关键.在后面的问题解决中，既要类比借鉴，又要打破思维定势，既要思维聚敛，也要不断地发散，有利于培养学生思维的深刻性和灵活性，而这一切都可在互相交流中予以获得.

让学生尽情地展示自己的观点，学会分析、评价、理解、接受别人的观点，并对其进行反思，获得新的认识，最终形成具有自身特色的活动经验，并自觉运用来解决新的问题.在这个过程中，有自主的思考，有情感的交流；学会接受别人的意见，使获取知识的途径更为广泛，在借鉴别人经验的同时获得自身思维的发展和素质的提高.

在解决问题的过程中，有些学生尝到了甜头，其思维得到老师的认可、同学的尊重，因而将积极的情意附加在这个问题上，使得今后在相似、相关的学习情景中，会首先想起今天的问题、今天的成功.这也正是奠定学生的终生发展的一个重要方面，学生离开学校后，在学校里所学的课本知识，会渐渐遗忘，但是这些积聚在学习过程中的学习自信、成功的感悟以及由此生成的良好的个性品质，必将伴随学生的一生.

教学中，要注意设计不同性质的探究活动，让学生亲身经历、动手操作，乐在其中，既有独立的观察、实验、推理，也有和谐的交流合作，使思维和身心得到和谐的发展，能力得到全面的提升.

三、依据操作实验，提升动手操作能力

动手操作活动是指根据教师创设的问题情境与教师提供的定向指导，通过动手操作学具探究数学问题，获得数学结论，理解数学知识的一种活动.动手操作也是一种能力.动手操作能力是人类改造自然，变革社会的一种重要因素.借助合适的素材，让学生在操作的过程中发现问题、提出问题、分析问题和解决问题，是培养创新意识、提升学生创新能力的一个重要途径．

例3 （2012年浙江义乌）在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．

（1）如图6，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；

（2）如图7，连接AA1、CC1，若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；

（3）如图8，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值.

图6

图7

图8

图9

解：（1）由旋转的性质可得∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，所以∠CC1B=∠C1CB=45°，所以∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°＋45°=90°.

②如图11，当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为2+5=7.

图10

图11

评注：第（3）问的解决有两种途径：一是演绎推理.直接面对EP1长度有困难，可以借助其他线段，本题中，BP1、BE、EP1有联系，当BP1、BE、EP1在一条直线上，有BP1-BE=EP1或BP1+BE=EP1，当BP1、BE、EP1不在一条直线上，有BP1-BE＜EP1＜BP1+BE.其中BE的长度一定，只需确定BP1何时最大或最小即可.如果没有经过一定数量的类似题型的训练，积累一定的数学活动经验，是无法想到这种方法的.显然这种方法在平时的学习和练习中不是常见的.二是动手操作，直观猜想.做一个三角形进行直观操作，或利用圆规作一些情形，然后观察P1的位置，去发现规律，这种猜想包含直觉思维的成分.

动手操作可以说是几何学习中常用的方法.我们的教学中要充分关注学生的操作活动，并引导学生学会对操作的过程和结果进行分析，获取问题解决的方法和数学结论，特别是对操作过程的关注，如操作的合理性、操作的意义等，才能积累丰富的动手操作活动经验，培养学生的动手操作能力和直觉思维能力，最终提升学生的创新意识和创新能力.

《新课标》指出：“创新意识是现代数学教学的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中.学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法.”放手操作，对操作过程进行质疑、分析、抽象、概括获得猜想，是培养创新意识的重要过程.

四、注重学法指导，提升自主学习能力

掌握“阅读、观察、类比、猜想、探究、质疑、联想、推理与反思”等学习方法，能培养学生良好的思维品质（如思维的深刻性、概括性、应变性等）和学习能力（如认知能力、探究能力、迁移能力等）.

例4（2012年浙江嘉兴）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，如图12，我们将这种变换记为［θ，n］.

（2） 如图13，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC作变换［θ，n］得△AB′C′，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB′C′为矩形，求θ和n的值.

（3）如图14，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，对△ABC作变换［θ，n］得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB′C′为平行四边形，求θ和n的值.

图12

图13

图14

（3）因为四边形ABB′C′是平行四边形，所以AC′∥BB′.又因为∠BAC=36°，所以θ=∠CAC′=∠ACB=72°.所以∠C′AB′=∠BAC=36°.而∠B=∠B，所以△ABC∽△B′BA，所以AB∶BB′=CB∶AB，所以AB2=CB·BB′=CB（BC+CB′），而CB′=AC=AB=B′C′，BC=1，所以AB2=1×（1+AB）.

评注：本题设计了一种新的变换，既具有旋转的某些特征，也有相似的某些特征，是一种取材于初中概念命制新概念阅读理解型问题.此题融合了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、旋转的性质、矩形的性质、平行四边形的性质以及数形结合思想与方程思想的应用.

本题既考查了新概念，也考查了老概念，重点关注的是学生的即时学习能力和数学素养，突出对学习过程的评价.对于这个全新的概念和问题链，学生能否解答，完全不在平时做了多少题，常规题型会多少，关键在于会不会解读概念、理解概念以及分析问题和解决问题的能力如何.

本题为命题者提供了一个信息，不要把《课标》删除的内容和高中的内容作为素材进行命题，增加学生的学习负担.同时提醒广大教师，教学中应加强概念的教学，让学生亲身经历概念的形成与概括的过程中理解概念的本质，掌握学习的方法，摒弃“数学教学=解题教学=题海训练”等错误做法，为学生积累充分的数学活动经验，教给学生学习的方法，提高学生的学习能力.

五、关注学习过程，提升迁移能力

课堂教学中，应引导学生经历数学概念、公式、定理、法则的提出过程，数学结论的形成过程，数学思想方法的探索及概括总结过程，以及用数学的过程，并有意引导学生将前面学习的过程的步骤、方法等迁移运用到下一个内容的学习上，达到提升学生的思考探究能力，运用已学知识开拓新领域的能力，灵活迁移应用的能力以及创新能力.

例5（2012年江苏淮安）阅读理解：

如图15，沿△ABC的∠BAC的平分线AB1折叠，把重叠部分剪掉，再沿△A1B1C的∠B1AC的平分线A1B2折叠，把重叠部分剪掉，…，沿△AnBnC的∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn能与点C重合.无论折叠多少次，只要最后一次能与点C重合，我们就称∠BAC是△ABC的好角.

小丽展示了∠BAC是△ABC中的好角的两种情形.情形一：如图16（1），沿等腰三角形ABC的顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图16（2），沿△ABC的∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分，将余下的沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合.

图15

图16

探究发现：

（1）在△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？______（填“是”或“不是”）.

（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B和∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的数量关系.

根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B和∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的数量关系为______.

应用提升：

小丽找到一个三角形，三个角分别为15°，60°，105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角.

请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均为此三角形的好角.

解：探究发现：（1）是.（2）∠B=3∠C.（3）∠B=n∠C.

应用提升：

根据题意设另两个角分别为4x度、4y度，（x、y均为正整数），则4x+4y+4=180，即x+y=44.因为4x、4y之间是整除关系，不妨设4x=4ny（n为正整数），即x=ny，所以（n+1）y=44，则可得：

images/BZ_145_1314_1413_2313_1840.png

评注：本题与课堂中学习一个图形的概念、性质、判定及其应用的教学过程是高度吻合的.首先提出什么是“好角”这个概念，又通过举例帮助学生理解这个概念，接着引导学生从特殊情形入手，逐步探究归纳出与“好角”有关的性质规律，最后引导学生应用概念和性质规律解决问题.着重考查学生归纳、概括和发现的能力，利用规律解决问题，即知识应用能力，解题时对思维的深刻性、灵活性与敏捷性要求很高.

题目通过展示一个浓缩化的仿真课堂学习过程，重现了课堂上的学习过程、方法和情境，脱离了教师的引领，学生的自学能力和迁移思考能力到底如何，通过这样的问题可以显现出来.学生能否把课堂中研究问题的方式、方法、策略和能力迁移到这里，是解题的关键.

在平时的课堂教学中，要引导学生充分经历几何探究的过程，掌握探究的步骤：下定义—研性质—探判定—学应用；学会探究的方法：观察（看图、测量、实验）、归纳猜想、验证（证明）.试题是不能覆盖的，但是数学核心知识和思想方法以及数学认知活动是可以覆盖的，教师要做的是用核心知识、思想方法和认知活动覆盖考试，才能达到事半功倍的效果.