怎样学好“整式乘法与因式分解”

潘建明

学习本章的内容不要被本章的标题所迷惑，本章的本质内容是整式的乘法和因式分解，面积只是帮助同学们理解本章公式和法则的背景知识，也就是说数形结合思想是学好本章的重要助手.

一、 教材解读

本章的内容是在学习了整式加减的基础上，进一步对整式乘法运算的研究，也是后继学习整式、分式、方程等内容的基础，非常重要，请同学们要全面掌握，为将来的学习打下基础.

本章的6节内容分为3个部分，第1～3节的本质内容是整式的乘法，第4节乘法公式，第5、6节是因式分解.本章的知识结构关系如图1：

从整体中去把握知识结构，才能使所学知识的记忆更加牢固、对知识的理解更加深刻，也便更好地将知识进行内化和加强知识之间的联系.

二、 难点突破

1. 在整式乘法的学习过程中，同学们遇到的最大的难点是对相关运算法则的理解.

突破难点的方法是对字母含义的本质理解和对乘法分配律法则的灵活运用.在代数式ab中，字母a、b表示什么？它们可以表示数和式，这里的式是指整式即单项式或多项式.如果a、b都表示数，在小学阶段就已经探究过了；如果其中一个是数，另一个是整式，在前面的去括号的学习中也探究过了；现在遇到的情境是，如果a、b都表示整式，可以将其乘积的形式归纳为3种类型：单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式.

单项式乘单项式的过程要分3个部分：积的系数等于各因式系数的积（有理数的乘法）；相同字母相乘（同底数幂的乘法）；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式丢掉.

单项式乘多项式可以直接运用乘法分配律；在多项式乘多项式的过程中，实质上是两次运用乘法的分配律，如：

计算：（m+n）（a+b），若把（a+b）看成一个整体，（m+n）（a+b）=m（a+b）+n（a+b）=ma+mb+na+nb.

另一方面，可用数形结合思想，运用图形的面积 “以形辅数”来帮助理解这三个法则，这是法则的背景知识.

在单项式乘多项式和多项式乘多项式的计算过程中，最容易犯的错误是乘法计算的过程中漏掉一些项，这一点同学们千万要注意.

2. 在乘法公式的学习过程中，遇到的最大困难是对公式的本质理解和正确运用.

对完全平方公式和平方差公式的本质理解，可以从数和形两个方面结合起来进行.从数的方面要理解公式的本质来源是多项式乘多项式法则；从形的角度，一是要分清适用公式的形式特征，二是要从数形结合思想，运用图形的面积 “以形辅数” 来理解公式.

在完全平方公式运用中，很多同学会将公式写成（a±b）2=a2+b2，少了±2ab.可以借助图2来帮助理解，从整体考虑这个大正方形的面积为（a+b）2，从局部考虑这个大正方形的面积应为a2+b2+ab+ab，它们表示的是同一个正方形的面积，虽然形式不同，但它们要相等，因此有（a+b）2=a2+2ab+b2，可见不能少掉2ab！在平方差公式的学习中，教材中的图不太利于同学们对教材意图的理解，现在可看下面的图3，它能更好地促进同学们对平方差公式认识的内化.图3中的计算面积的意图你能理解吗？怎样才能得到平方差公式呢？大家不妨动手试一试！

在因式分解的学习过程中，同学们常常对因式分解的综合运用感到困难，怎样在进行因式分解的过程中提高学习策略的运用水平呢？请关注图4中的分解策略.

说明：在因式分解过程中首先想到的是提取公因式法，提取公因式后，再看括号里的是二项式还是三项式，若是二项式看能否再用平方差公式进行再分解，若是三项式看能否再用完全平方公式进行再分解，一定要分到不能分为止.

三、 学法指导

本章中的主要题型是计算和分解因式，计算又分为整式乘法运算和套用公式进行运算.在整式乘法运算中，要先确定运算顺序，再运用相应的法则进行计算；若遇到幂（或积）的乘方要先进行运算，然后按运算顺序进行，一定要细心.在套用公式进行运算中，一定先要判断是否符合公式适用的要求，再正确运用公式计算.在分解因式的过程中一定要注意先提取公因式，再运用公式分解（要注意与乘法公式的联系和区别），分到不能分为止.

例1 计算：（2x+3）（x2-x-1）.

【分析】多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.相乘时，必须做到不重不漏，所以要按一定的顺序进行，通常是选择多项式的第一项乘遍另一个多项式的每一项，依此类推，再把所得的积相加.

【解答】原式=2x3-2x2-2x+3x2-3x-3

=2x3+x2-5x-3.

【说明】（1） 计算时注意不能漏项.检查的方法是：在未合并同类项之前，看积的项数是否等于原来两个多项式项数的积.本题在未合并同类项之前，积的项数应是2×3=6，即6项；（2） 多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定积中各项的符号；（3） 最后结果中有同类项的要合并，并按某一字母的降幂或升幂排列.

例2 计算：（-3+2x+y）（-3-2x-y）.

【分析】在解题之前一定要仔细观察，后一个多项式各项都是负号，可以变形为各项均为正号，另一方面，通常我们总是将多项式变形为字母在前、数字在后进行排列，因此我们可以将两个多项式先进行变形再计算.

【解答】原式=-（2x+y-3）（2x+y+3）

=-[（2x+y）2-9]

=-[4x2+4xy+y2-9]

=-4x2-4xy-y2+9.

【说明】变形后可将2x+y看成一个整体，先用平方差公式计算，再用完全平方公式进行计算，去括号时要注意改变括号中所有项的符号.

例3 因式分解：-2m3+8m2-8m.

【分析】经观察后发现，各项都含有公因式-2m，可先提取公因式（要一次性提完），提完后看能否可以用公式进行因式分解.

【解答】原式=-2m（m2-4m+4）

=-2m（m-2）2.

【说明】提完公因式后，括号里是三项式，再运用完全平方公式进行因式分解.