《点到直线的距离》教学设计与反思

许荣良

（江苏教育学院运河分院，江苏 邳州 221300）

解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想，其主要内容是计算和证明，而计算问题则主要是距离和角的计算。其中距离的计算主要包括点、线、面之间距离的计算，而点到直线的距离处在关键的位置上。

一、教材分析

本课内容选自高中数学苏教版必修2第二章第一节，这一节是研究平面元素的位置关系，由定性研究到定量研究的第二节课。它是解决点线、线线距离的基础，也是研究直线与圆、圆与圆位置关系的重要工具，同时为后面学习圆锥曲线作准备。教材试图让学生经历探索点到直线距离公式并论证这个公式的过程，深刻领会蕴涵于其中的数学思想和方法，如数形结合、算法、函数等；并让学生享受作为学习主体进行探究、发现和创造的乐趣。

教材中以算法语言的形式给出了两种推导点到直线的距离公式的方法，尤其是第二种方法是通过构造形解决数的问题，然后再把形代数化，这一正一逆，使数与形达到了完美的结合，其蕴含的重要思想，需要学生细细体会。

二、教学目标

针对咱们师范学校学生的特点，结合本教材，本着低起点、高要求、循序渐进，充分调动学生学习积极性的原则，我制定了以下教学目标：

1、掌握点到直线的距离公式，并能运用它解决一些简单问题；

2、通过运用面积法推导点到直线的距离公式的推导过程，使学生进一步了解数学结合思想在解决具体问题中的重要作用；

3、让学生经历自主探究，合作交流的过程，充分感受点到直线的距离公式的推导过程；同时通过此过程，渗透算法、化归等思想，培养学生勇于探索、勇于创新的精神。

三、教学重点、难点

教学重点：点到直线的距离公式的推导思路以及其简单的应用作为本节课的教学重点。

教学难点：点到直线的距离公式的推导思路。

四、教法、学法

类比探究式教学模式。即：从学生熟知的实际生活背景出发，通过由特殊到一般、从具体到抽象的课堂教学方式，引导学生探索点到直线的距离的求法。让学生在合作交流、共同探讨的氛围中，认识公式的推导过程及知识的运用，进一步提高学生几何问题代数化的数学思维能力。

五、教学过程设计

四环节教学法。

即：

（一）创设情境 设趣激疑

如图1,在铁路的附近,有一大型仓库.现要修建一条公路与之连接起来.那么怎样设计能使公路最短？最短路程又是多少？

图1

注：首先从一个具体的实际问题入手，引导学生将其转化为解析几何问题，建立坐标系，由此引出本节课题，同时激发学生学习兴趣，培养学生简单的数学建模能力。

（二）合作探究 深化认识

点到直线的距离公式的推导过程 如图2。

问题1求P(2,0)点到直线x-y=0的距离；

问题2如何求P(4,2)点到直线4x-3y+2=0的距离。

问题3如何求点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0(其中A2+B2=0)的距离。

图2

这个环节的教学需要通过三个具体的问题实现的。而这三个问题是由特殊到一般、从具体到抽象的过程，符合学生的认知规律。

第一个问题虽然简单，但是是后面两个问题的基础。通过平均3到4位同学一组放手让学生讨论解决这个问题的方法，在学生讨论的过程中，适时的引导学生从不同的角度分析问题，进而寻求到不同的方法。

结合学生现有的知识水平，他们可能会想到的方法不外乎会有以下几种（图3）：

（1）两点间的距离公式；

图3

当然，也可能会有同学采用以下这两种方法：

（4）解三角形；

（5）函数的思想：点到直线距离的最小值问题.

注：由于这个问题比较简单，可以通过让学生结合找到的方法解决这个问题并相互验证方法的正确性，体验成功的喜悦。

在解决了问题一的基础上，引导学生寻找问题二的解决办法，这一过程，最重要的是将其划归为第一个问题的解决办法：即过点P向X轴和Y轴作垂线构造直角三角形，进而引导学生发现第一个问题的解决方法依然适用于问题二。

有了以上两个问题的解决作为铺垫，第三个问题的解决就顺理成章。

虽然在前面两个问题的解决中并没有要求学生说出详细的思路，但是经过两次针对性的训练，学生心里应该有一个大概的思路，因此该问题的解决可分成以下三个层次进行：

层次一：学生说一说面积法推导点到直线的距离公式的思路；

层次二：师生共同用算法框图的形式把思路写出来；

层次三:师生合作推导点到直线的距离公式的详细过程。

最终推导得出点到直线的距离公式：

点 P（x0,y0）到直线 Ax+By+C=0（其中 A2+B2=0）的距离为：

（三）应用举例 巩固提高

为了能够让学生迅速的掌握点到直线的距离公式，可以通过以下三个具体的例子及相关练习进行针对性的训练。

例1.求下列点到直线的距离：

（1）A（－2，3）l:3x＋4y＋3＝0；

（2）B（1，-2）l:4x＋3y＝0；

（3）D（2，-1）l:2y=3

思考：

①当A＝0或B＝0时，怎样求点到直线的距离？

②当A＝0或B＝0时，点到直线的距离公式是否依然成立？

注：第一个例子是公式的简单应用问题，学生应该能够很轻松的解决，同时在学生完成第一个例子的基础上给出一个思考题，学生通过画图也应该能够解决。

例 2.(1)已知点 A（－2，3）到直线 y＝ax＋1 的距离为 1，求的值；

（2）已知点 A（－2，3）到直线 y＝－x＋a 的距离为 1，求的值.例3.如图，试求平行四边形ABCD的面积（图4）.

图4

注：而第二个例子则是公式的逆向运用问题，需要提醒学生注意多解的情况。那么第三个例子有以下几个目的：第一个目的是公式的简单应用，第二个目的则是让学生发现选择不同的点平行四边形的高不变，第三个目的则是为平行直线间的距离作铺垫。

（四）归纳总结 拓展延伸

课堂小结：

（1）点到直线的距离公式；

（2）面积法的算法框图；

（3）面积法推导点到直线的距离公式的过程：

注：在归纳小结中，此时应该重点强调数形结合思想在本节课的充分体现。

拓展延伸：

1.求下列点到直线的距离：

（1）P（3，-2）l：3x＋4y－25＝0；

（2）P（－2，1）l：3y＋5＝0；

2.若点P在直线x＋y－4＝0上，O是原点，求OP的最小值.

3.在直线x＋2y＝0上求一点P，使它到原点的距离与到直线 x＋2y－3＝0 的距离相等.

六、教学反思

1.对于本节内容，有两种不同的处理方式：一种是让学生理解、记忆公式，直接应用而不讲公式的探寻过程，这样的处理不利于学生数学思维能力的培养；二是本课方式，通过强调对公式的探索过程，提高学生利用代数方法处理几何问题的能力；

2.在公式的推导过程中，含有字母运算，比较抽象.如果没有整体算法步骤的分析，学生的思路会缺乏连贯性，所以本课重点分析了推导公式的算法思想，让学生在明了算法步骤的前提下，再进行有效的公式推导和自学阅读；

3.学生在练习中的“错误体验”将会有助于加深记忆，所以我重视在学生应用公式中容易忽略的环节,并在补充的例题中给予了设置，以期达到强化训练的目的。