交流电的有效值到底如何求？

李俊成

(江苏省南京市第九中学,江苏 南京 210018)

1 问题提出

原题.如图1所示的电路中,理想变压器原、副线圈的匝数比n1∶n2＝22∶5,原线圈接的交流电,电阻R1＝R2＝25Ω,D为理想二极管,则

图1

(A)电阻R1两端的电压为50V.

(C)原线圈的输入功率为200W.

(D)通过副线圈的电流为3A.

本题是南通市2013届高三第1次调研测试卷中的第8题,原题所给的参考答案是(A)、(B)、(D).我校在做该试卷的时候,发现对于答案(A)、(B)学生没有疑问,但对答案(D)学生出现几种不同的解法,得出了不同的答案,好像都有道理,争论激烈,现列举几种解法如下.

2 解法列举

图2

解法1:通过分析可得通过电阻R1的交电流的有效值为2A,对于电阻R2由于二极管的单向导电性,其电流随时间变化的图像如图2所示,结合有效值的定义,可得进一步计算得出通过电阻R2的电流的有效值为A,所以通过副线圈的电流的有效值为A.

解法2:通过电阻R1的电流随时间变化的图像如图3所示,结合如图2所示的通过电阻R2的电流随时间变化的图像,可知通过副线圈的电流随时间变化的图像应如图4所示,设该电流的有效值为I,根据有效值的定义让该电流通过某一电阻R,满足求得通过副线圈的电流的有效值为

图3

图4

解法3:根据分析可知电阻R1的功率为100W,由于二极管的单向导电性,电阻R2功率为50W,所以副线圈输出的功率P2＝150W,而副线圈两端的电压的有效值U2＝50V,根据P2＝U2I2可得通过副线圈的电流的有效值为I2＝3A.

3 问题探究

3种解法中只有解法3得出了通过副线圈的电流的有效值为3A,与参考答案吻合,其实解法3是在知道了答案之后才有学生想出来的,那么命题专家的命题意图到底是什么呢？笔者特意打电话咨询了该市的物理教研员,得知命题意图与解法3的思路吻合,尽管得知了命题意图,但笔者还是感觉解法3颇有疑问,带着疑问,笔者又咨询了几位大学教电工学的教师,得到的答复是解法3符合能量守恒,肯定正确.那么,解法3从能量守恒这一自然界普遍适用的规律出发,真的无懈可击吗？其实只要假设把电阻R1去掉,根据解法3的思路可得通过副线圈的电流的有效值为1A,而根据解法1的计算可知通过电阻R2的电流的有效值为,出现了通过二极管前后电流有效值不同,这应该与实际不符,解法3的疑问确实存在.

那么去掉电阻R1后,通过副线圈的电流的有效值到底是多少呢？笔者查阅了电工学［1］相关内容,得知去掉电阻R1后的电路就是单相半波整流电路,若副线圈的电压为则半波整流后的电压、电流的平均值分别为通过副线圈的电流的有效值为I＝1.57I0,代入题中数据可得去掉电阻R1后副线圈的电流的有效值为1.413A,即为与解法1中求出的通过电阻R2的电流的有效值相同.即去掉电阻R1后通过二极管前后有效值相同,这与实际情况吻合,但去掉电阻R1后副线圈的功率为而电阻R2消耗的功率50W,貌似违背了能量守恒,这又是为什么呢？

笔者查阅了大学教材物理学［2］得知,原来变压器副线圈两端电压有效值与流过的电流有效值的乘积严格讲只能称之为视在功率,用符号S表示,即S＝UI,其单位为伏安(VA),副线圈中电阻消耗的功率,称之为有功功率,视在功率不表示交流电路实际消耗的功率,只表示电路可能提供的最大功率或电路可能消耗的最大有功功率.即有功功率在通常情况下要小于视在功率,只有负载为纯电阻时视在功率和有功功率才相等.中学阶段研究比较多的是纯电阻,而本题只涉及二极管和电阻,貌似是纯电阻电路,其实本题由于二极管的单向导电性,导致负载电路在流过正向电流和反向电流时电阻值不同,相当于非纯电阻电路,从而导致去掉电阻R1后视在功率大于有功功率,合情合理,既然去掉R1后视在功率大于有功功率,那么原题视在功率也应该大于有功功率,由于这种情景并不常见,因此命题专家甚至几位大学电工学教师,都简单地以为“P2＝U2I2就是两电阻消耗的总功率”从而确定解法3肯定正确.至此,可以确定解法3是错误的.

对于解法1,其关键是在交流电路中,将支路电流的有效值直接相加来计算干路总电流的有效值是否正确.为解决这个问题,我们不烦设两支路中通过同频率的交流电的瞬时值表达式分别为利用矢量图的求解方法或三角函数直接相加均可得到干路总电流的瞬时值表达式为

从表达式可知干路总电流有效值为

当φ2＝φ1时,满足I＝I1＋I2,即两支路通过同频率的交流电时,如果相位相同,干路总电流的有效值才等于支路电流的有效值直接相加.因此本题通过副线圈的交电流的有效值不等于通过两电阻的交电流的有效值之和,明显解法1也是错误的.那正确的只可能是解法2了,但好像又不能够让人信服.

那交流电的有效值是否有其他求法呢？笔者查阅普通物理学电磁学［3］得知,有效值又称方均根值,即交流电的有效值等于电流瞬时值的平方在1个周期内平均值的平方根,表达式为把本题通过副线圈的电流的瞬时值(图4所示)代入表达式得

结果和解法2根据有效值的定义求得的结果相同,因此解法2根据有效值的定义求得的结果是正确的,即副线圈的电流的有效值为此时副线圈的视在功率为而电阻R1、R2消耗的总功率150W,视在功率大于有功功率,也是合理的.可见原题选项(D)是错误的.

4 一点感悟

其实如果把问题变化为“求如图4所示的交变电流的有效值？”,那么按照解法2来求解应该没有争议,原题只不过没有直接给出电流随时间变化的关系,就惹来很大的争议,其关键是对有效值的定义“让交流和恒定电流分别通过大小相同的电阻,如果在交流的1个周期内它们产生的热量相等,而这个恒定电流是I,电压是U,我们就把I、U叫做这个交流的有效值”的理解.笔者以为“通过大小相同的电阻”才是定义的关键词,而且这个电阻应该是没有具体数值,即求出的有效值的大小应该和这个电阻的具体数值无关,才是正确的.解法3只关注了定义中的“在交流的1个周期内它们产生的热量相等”,而且对这个特定的电路(前半周期和后半周期负载电路电阻不同,如果通以直流电其阻值和电流方向有关)保证在1个周期内它们产生的热量相等,明显与定义不符,其实这才是命题专家认为解法3正确,从而得到原题选项(D)正确的真正原因.

讨论到此,可以说本题貌似超出了高中物理学习的要求,涉及了大、中专教材中的相关内容,其实只要紧扣定义,弄清定义的关键词,原题求出正确答案应该没有问题(其实从学生的解答来看,按照解法2求解还是比较多的,在知道答案前基本没有学生用解法3求解),只不过对学生来说如果进一步求出副线圈功率,发现大于电阻R1、R2的功率之和,好像违背了能量守恒,貌似不合理,存在疑问.但对于命题专家、中学教师,甚至部分大学教师在遇到这类不常见问题时,不能按照固有思维,只停留在问题表面(比如认为原题一定是纯电阻,P2＝U2I2一定等于两电阻消耗的总功率),而应该加强研究,弄清新问题的本质.同时作为中学教师不能够只站在中学物理的高度去教学和命题,平时要加强学习研究,从更高的高度去审视中学物理内容,真正弄懂弄透每一个物理概念、物理定义,才能命制出符合中学考纲的、合理的好题,真正考查出学生的能力.

1 秦曾煌编.电功学——电子技术(第7版).北京:高等教育出版社,2009.

2 刘克哲,张承琚.物理学(第3版).北京:高等教育出版社,2005.

3 梁绍荣,刘昌平,盛正华.普通物理学——电磁学(第3版).北京:高等教育出版社,2005.

4 洪波,于正荣.如何理解理想变压器的电流变比关系.中学物理教学参考,2010(5).