让“数学模型”搭建成初中数学解答的桥梁

钟建强

【摘要】本文主要阐述了运用“数学模型”在初中数学教学中的解题思路以及培养学生数学思维的意义。

【关键词】“数学模型” 初中数学 解题思路

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）05-0160-01

把“数学模型”概念引入初中数学课堂，运用数学模型方法引导学生学习数学，其效果很是明显。但由于这一方法走进数学课堂的时间不长，因此，如何更好地认识和了解“数学模型”，如何运用它解答数学问题，自然成了我们数学教师谈论的一个新话题和探讨的一个新领域。

“数学模型”的初步认识

模型，本来是实物体存在的某种形状。而所谓的数学模型是指通过抽象和模拟，利用数学语言（文字、符号、图形）和方法对所解决的实际问题进行的一种刻画。近些年，它发展成为一门新学科，是数学理论与实际问题相结合的一门科学。它将现实问题归结为相应的数学问题，并在此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究，从而从定性或定量的角度来刻画实际问题，并为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导。

“数学模型”与初中数学

在初中数学教学中的运用主要是解题方法，即数学模型方法，它根据研究目的，对所研究的过程和现象的主要特征、主要关系、采用形式化的数学语言，概括地、近似地表达出来的一种结构，通过研究事物的数学模型来认识事物的方法。一般地，通过数学建模来解决实际问题的过程称为数学建模。

就初中数学而言，常见的数学模型有：方程、不等式、函数、几何、概率等。

方程（组）刻画现实世界中的等量关系；不等式（组）刻画现实世界中的不等关系，如设计投资决策、人口控制、资源保护、生产规划、商品销售、交通运输等；函数或代数式刻画变量之间的相互关系，涉及成本低、利润或产出最大、效益最好等实际问题；几何涉及图形面积的计算、合理下料、跑道的设计与计算、工程选点定位、优化设计等应用问题；概率涉及到提前预测相关事件发生的可能性大小等。

“数学模型”的解题思路探微

运用数学模型解决实际问题的一般步骤是：明确实际问题，并熟悉问题的背景；构建数学模型；求解数学问题，获得数学模型的解答；回到实际问题，检验模型，解释结果。

下面根据相应模型举几个例子，并给出解答过程：

1.方程模型

解题思路：合理设未知数，根据已知的或隐含的等量关系，列出含有未知数的等式，然后解方程（组），验证解的合理性。

如七年级：在月历上用正方形圈出2×2个数的和是76，这4个数分别是几号？

解：设最小的数为x，则其余3个数分别为x+1，x+7，x+8。

根据题意，得 x+x+1+x+7+x+8=76，4x=60，x=15。

因此，这4天分别是15号，16号，22号，23号。

再如，某物流公司为一客户的物质打包成件，其中书籍和食品共360件，书籍比食品多90件。求打包成件的书籍和食品各多少件？

分析：学生抓住书籍与食品两个数量关系，设未知数x与y，建立方程模型求解。

解：设打包成件的书籍x件，食品y件，由题意得：x+y=360 x-y=90 解得：x=225，y=135

2.不等式模型

解题思路：合理设未知数，根据已知的或隐含的不等关系，列出含有未知数的不等式（组），然后解不等式（组），最后验证解的合理性。

如八年级：某单位决定购买8台空调，现有甲、乙两种空调供选择。甲种空调每台0.8万元，乙种空调每台0.5万元，经过预算，本次购买空调所耗资金不能超过4.6万元。

（1）设购买甲种空调x台，请写出x应满足的不等式；

（2）写出所有的购买方案。

解：（1）0.8x+0.5（8-x）≤4.6；（2）解不等式，得x≤2。因为x为整数，所以x=0，1，2。

第一种方案是买0台甲空调，8台乙空调；

第二种方案是买1台甲空调，7台乙空调；

第三种方案是买2台甲空调，6台乙空调。

“不能超过”隐含着不等关系，这是选用不等式模型的主要依据。

3.函数模型

解题思路：根据实际问题或几何中的等量关系，求出函数的解析式。

4.几何模型

解题思路：将实际问题转化为几何图形，然后根据几何图形的性质去求解。

如（七年级）：如图1，要把水渠中的水引到水池C中，在渠岸AB什么地方开沟，才能使水沟的长度最短？本题可以归结为一个数学模型“在直线上找一点，使这点到直线外一定点的距离最短”。

如（八年级）：如图2，要在公路旁修建一个蔬菜收购站，由蔬菜基地A，B向收购站运送蔬菜，收购站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？

这题可以归结为一个数学模型：“在直线上找一点，使这点到直线外两点的距离之和最小”。

5.概率模型

解题思路：必须找出等可能结果的总数和某一事件可能发生的结果数，然后根据公式求解。

如（七年级）：小孙设的微机密码由6位数字组成，每位上的数字都是0～9这十个数字中的一个。小孙忘了密码，如果他任意拨一个密码，恰好打开微机的概率是____。

“数学模型”的教学启示

首先，运用数学模型教学，可以培养学生一种良好的数学思维。数学建模是一种主动的活动，要在现实中提取数学模型。在建模过程中，学生所面临的主要问题是如何从杂乱无章的现象中抽象出数学问题，并确定出问题的答案，这就要善于在其中分解与目标相关连的最主要因素，常常先从建立简单模型入手，逐步考虑各种建模要素，使模型按预定的目标逐渐完善。

其次，运用数学模型教学，可以培养学生良好的数学技能。在数学建模教学中，我们不仅要使学生掌握数学模型的概念及建模的方法和技能，而且要培养学生把客观事物的原型与抽象的数学模型相联系的能力。

总之，运用数学模型教学，可以培养学生充分理解数学知识，培养敏锐的洞察力，良好的想象力以及较强的抽象思维能力和创新意识。