命制初中数学试题十种简易途径及注意点

有教育就需要有测量，数学教育水平的测量与选拔，离不开数学问题的创造性命题，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意为指导思想，结合教学实际，笔者归纳了平时单元检测中命制数学试题十种易于操作的途径，供大家参考.

1编写试题常见的方法

1.1以教材中典型的例、习题为背景进行命题

“源于教材又高于教材”已成为全国及各地中考命题的一项准则.在平时单元检测、期中或期末考试等命题中坚持以课本题为源命制测试题，有利于引导学生学习课本，学会看数学书.源于课本的改编题，选题背景更贴近学生的实际.

例1如图1，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向 A，B两镇供气.泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？（义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级上册P42.）

图1改编题1.若此知识点在《四边形》的单元中考查，可编写为：如图2，菱形ABCD中， ∠BAD=60°，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB的最小值是3，则AB长为.

2.若此知识点在平移的综合中考查，可编写为：如图3，当四边形PABN的周长最小时，a =.

图2图3编拟意图：以上两小题是在不同情境下运用基本图形来解决问题，不但考查了学生类比与迁移的能力，而且引导学生在打好基础上下功夫，在教学中，对培养学生的探索精神具有一定引导作用.

1.2以学生作业中的错题为背景进行命题

例2 1.关于x的方程（a -5）x2-4x-1=0有实数根，则a满足（ ）

A.a≥1B.a>1且a≠5

C.a≥1且a≠5D.a≠5

2.有以下三个命题，判断这三个命题的正确性

①平行四边形是中心对称图形（ ）

②四边形中只有平行四边形才是中心对称图形（ ）

③平行四边形不是轴对称图形（ ）

编拟意图：第1小题是在讲解一元二次方程实数根时，学生容易将一元二次方程的实数根与方程的实数根混淆.第2小题是在教一般平行四边形和特殊平行四边形关系时，学生表面上好像懂了，其实做了这一题后会发现，不懂的学生很多，尤其是第②个，学生认为是错的，理由是还有矩形、菱形.

在实际教学中，把学生的错误当作宝贵的教学资源，从错题中提炼出错误原因，提取共性，编拟成试题，能培养学生思考错题、分析错题、研究错题，引导学生学会反思错误，充分调动学生求知、求思的积极性和主动性.

1.3以中考题为背景进行命题

最激烈的竞争是中考，最优秀的命题是中考题.以中考题为参照命制试题，作为中考复习的模拟题是明智之举.

例3（山东东营） 如图4，在平面直角坐标系xOy中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y=kx+b和x轴上.△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果A1（1，1），A2 712，312，…，那么点An的纵坐标是.

图4改编题 在平面直角坐标系xoy中，正方形A1 B1 C1O、A2 B2 C2 B1、A3 B3 C3 B2，…，按图5所示的方式放置，点A1，A2，A3，…和点B1，B2，B3，…分别在直线y=kx+b和x轴上.已知C1（1，-1），C2712，-312，则点A3的坐标是，点An的坐标是.

图5编拟意图：改编题在原题的基础上，增加考查正方形的轴对称性，由C1、C2的坐标可求A1、A2的坐标，将新问题转化为原题，确定出A3的坐标，依此类推寻找规律，即可求出An的坐标.灵活运用正方形的性质是解本题的关键.

新课改要求教学中应重视学生发现和解决问题能力的培养，重视知识“过程”的学习，锻炼学生归纳总结的能力，会将学过的问题（做过的作业）进行改编，引导学生提出有一定深度和广度的问题，激发学生积极思考.

1.4以数学竞赛中一些内容和方法为背景进行命题

竞赛题有一定的难度，不能照搬照套；但它的视角，它的立意，它的方法，它的情景却是值得我们平时命题时借鉴和模仿的，改编时要特别注意学生的实际能力.

例如在学习完第七章《二元一次方程组》知识后，给学生出了这样一道阅读题：

例4 阅读下列解题过程，借鉴其中一种方法，解答后面给出的试题：

问题：某人买13个鸡蛋，5个鸭蛋、9个鹅蛋共用去了925元；买2个鸡蛋，4个鸭蛋、3个鹅蛋共用去了320元.试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋各一个共需多少元.

分析：设买鸡蛋，鸭蛋、鹅蛋各一个分别需x、y、z元，则需要求x+y+z的值.由题意，知

13x+5y+9z=9.25（1）

2x+4y+3z=3.20（2）；

若视x为常数，将上述方程组看成是关于y、z的二元一次方程组，化“三元”为“二元”、化“二元”为“一元”从而获解.

解法1：视x为常数，依题意得

5y+9z=9.25-13x（3）

4y+3z=3.20-2x（4）

解这个关于y、z的二元一次方程组得

y=0.05+x

z=1-2x

于是 x+y+z=x+0.05+x+1-2x=1.05.

评注：也可以视z为常数，将上述方程组看成是关于x、y的二元一次方程组，解答方法同上.

若视x+y+z为整体，由（1）、（2）恒等变形得

5（x+y+z）+4（2x+z）=9.25，

4（x+y+z）-（2x+z）=3.20.

解法2：设x+y+z=a，2x+z=b，代入（1）、（2）可以得到如下关于a、b的二元一次方程组

5a+4b=9.25（5）

4a-b=3.20（6）

由⑤+4×⑥，得21a=22.05，a=1.05.

评注：运用整体的思想方法指导解题.视x+y+z，2x+z为整体，令a=x+y+z，b=2x+z，代人①、②将原方程组转化为关于a、b的二元一次方程组从而获解.

请你运用以上介绍的任意一种方法，解答下列试题：

购买五种教学用具A1、A2、A3、A4、A5的件数和用钱总数列成下表：

品名

次数 1A11A21A31A41A51总钱数第一次购买件数111314151611992第二次购买件数1115171911112984

那么，购买每种教学用具各一件共需多少元？

编拟意图：本题若设购买每种教学用具各一件各需a，b，c，d，e元，则有a+3b+4c+5d+6e=（a+b+c+d+e）+（2b+3c+4d+5e）=1992；以及a+5b+7c+9d+11e=（a+b+c+d+e）+（4b+6c+8d+10e）=2984，可假设（a+b+c+d+e）=x，2b+3c+4d+5e=y，构建新的方程组解决问题.

此类题是引导学生用观察、分析、归纳、猜想、验证等探索方法，得出规律.考查学生的创新能力，锻炼学生探索技巧，在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用.

1.5以古典数学名题作为问题的背景

《新课程标准》指出，数学学习不仅包括数学的一些现成结果，还要包括这些结果的形成过程.以古典数学名题作为问题的背景的主要有杨辉三角、蝴蝶定理、七桥问题、色环问题等，以这些问题为背景主要考察学生的知识迁移能力.

例5 如图6，是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a、b、c、d是相邻两行的前四个数（如图6所示）.那么当a=8时，c=，d=.

图6编拟意图：本题学生通过观察，找出每一行中数据间的相互联系，和行与行间数据的相互联系，然后对数据间的这种联系用数学式子将它表达出来.本题是以我国古代的杨辉三角为背景的规律探索型题，主要考查学生对数据的整理、分析、概括和处理能力，同时考查了学生对类比方法的运用，体现“数学文化”，展现数学文化价值，寓教育于考试之中.

1.6以课题学习为背景进行命题

作为考查学生数学素养的载体，不适宜用未学的“高一级”知识，而是用“同级”的但不是太熟悉的知识；以课题为背景的研究性学习无论是对课程教材的开发，还是对于学生的探索能力和创新意识的培养都具有积极意义.

例6某课题小组对课本的习题进行了如下探索，请逐步思考并解答：

（1）如图7，两个大小一样传送轮连接着一条传送带，两个传动轮中心距离是10m，求这条传送带的长.

（2）改变图形的数量

如图8，将传动轮增加到3个，每个传动轮的直径是3m，每两个传动轮中心的距离是10m，求这条传送带的长.

图7图8（3）改变动态关系，将静态问题转化为动态问题

如图9，一个半径为1 cm的⊙P沿边长为2π cm的等边三角形△ABC的外沿作无滑动滚动一周，求圆心P经过的路径长？⊙P自转了多少周？

（4）拓展与应用

如图10，一个半径为1 cm的⊙P沿半径为3 cm的⊙O外沿作无滑动滚动一周，则⊙P自转了多少周？

图9图10编拟意图：本题从课本中学生熟悉的问题入手，通过改变图形的数量，改变图形的动态关系，将理论性思维与动作性思维结合起来，充分体现了研究性学习的基本特征，以学生为主体、以类似科学研究的方式主动地获取知识、应用知识、解决问题.

1.7以与高中内容紧密联系的数学知识为背景

以高中数学知识为命题背景，考查考生的阅读理解能力和信息处理能力，自学能力，同时既能开阔数学视野，有利于完成高中数学与初中数学的和谐接轨，又能有效地考查学生的思维能力和后续学习的潜能.

例7阅读下列材料，并回答下列问题

一般地，如果函数y=f（x）对于自变量取值范围内的任意x，都有f（-x）=-f（x），那么y=f（x）就叫做奇函数；如果函数y=f（x）对于自变量取值范围内的任意x，都有f（-x）=f（x），那么f（x）就叫偶函数.

例如f（x）=x3+x，当x取任意实数时，f（-x）=（-x）3+（-x）=-x3-x=-（x3+x），即，f（-x）=-f（x），所以f（x）=x3+x奇函数.

又如f（x）=|x|，当x取任意实数时，f（-x）=|-x|=x，即，f（-x）=f（x）所以f（x）=|x|是偶函数.

问题：（1）下列函数中：①y=x6；②y=x2+2；③y=31x；④y=x+1；⑤y=x+11x；奇函数是，偶函数是.

（2）请你再分别写出一个奇函数、一个偶函数.

编拟意图：以高中函数知识为背景，是初中函数知识的延伸.由于初中学生已有一定的函数知识，故只需对照题中两例，完成对概念的探究，获取新知识，进而应用新知识，就可以解答问题.（1）中 ①②是偶函数，③⑤是奇函数；（2）如y=x是奇函数，y=2x2-1是偶函数.

1.8以实际生活、生产实践经验作为问题的背景

在实际问题中，条件往往不能完全确定，即条件的不确定性是自然形成的或是实际需要，其不确定性是合理的.从实际材料出发，通过抽象、概括的数学化过程建构数学知识，建立数学模型，以培养学生创新精神和实践能力.

例8为鼓励学生参加体育锻炼，学校计划拿出不超过3200元的资金购买一批篮球和排球，已知篮球和排球的单价比为3∶2，单价和为160元.

（1）篮球和排球的单价分别是多少元？

（2）若要求购买的篮球和排球的总数量是36个，且购买的排球数少于11个，有哪几种购买方案？

编拟意图：本题主要考查学生分析和解决实际问题，构造数学模型的能力；把实际问题抽象为数学问题，利用转换的方法（即转化为某种类似的数量关系模型），确定实际问题中的已知量和未知量之间的关系，从而解决问题.

19以学生较为熟悉的的图形作为问题的背景

让学生通过对较为熟悉的图形的观察，找出图形间的相互关系，图形本身的特征，然后加以归纳和猜想.主要考查学生的观察、比较、分析、抽象、概括等思维能力.

例9如图11，平面内4条直线l1、l2、l3、l4是一组平行线，相邻2条平行线的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这图11些平行线上，其中点A、C分别在直线l1、l4上，该正方形的面积是平方单位.

改编题如图12，若正方形ABCD的四个顶点恰好分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，设这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h1>0，h2>0，h3>0）.

（1）求证：h1=h3；

（2）如图13，现在平面直角坐标系内有四条直线l1、l2、l3、x轴，且l1∥l2∥l3∥x轴，若相邻两直线间的距离为1，2，1，点A（4，4）在l1，能否在l2、l3、x轴上各找一点B、C、D，使以这四个点为顶点的四边形为正方形，若能，请直接写出B、C、D的坐标；若不能，请说明理由.

图12图13编拟意图：该题主要是考查学生对图形的直觉猜想、归纳能力.利用平行线的性质、正方形的性质和面积计算解决问题，关键是根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形.这样既保留了原习题的特点，又有创新，结合考查的目的、要求进行取舍、组合，编制出有坡度、信度高、区分度适中的不同层次的试题.

1.10以陈题为背景进行命题

有一些很平常、很常见的题，学生通常习以为常，解题往往已形成了习惯性思维，但可以改编成一道全新的题，培养学生思维深刻性.

图14例10如图14，D在直线BE上，BE交AC于F，△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE.

改编题：如图14，D在直线BE上，BE交AC于F，△ABC∽△ADE，请找出其他的相似三角形，并证明.

本题还能找到2对： △AEF∽△BCF，△ABF∽△CEF.

编拟意图：对于这一类问题通常是在某个旧知识的背景下，给出一个新的问题，要求能在新问题下，联系所学的知识，进一步探索创新，既加深了对原有知识的理解，同时有发展了学生的思维，培养了学生的阅读理解能力和对知识的应用能力.

2命制试题的注意点

（1）命制的新题目要保证背景的公平性，同时要特别注意语言表述的准确性，防止条件变化所引起的歧义，并注意条件的相容性.

（2）命制新题要立意明确，不是作些廉价的转化，机械的组合.现在不少学生思考问题的思维方式往往是：见过没有？做过没有？讲过没有？而不是针对题面信息本身的，告诉我们什么？要求什么？有何联系？选择什么知识与方法？所以，从平时单元检测起，适当引进新题、改编题，可以更好体现对学生能力的考查，更好地培养学生的思维方式与思维品质.

（3）命制的新题不仅包含有“亮点”的精彩题目，还应该包含似曾相识的常规题，新题目常常有两类：一类是新而不难，一类是新而难.第一类题目往往由于新面孔而吓倒一批学生，难在题意的理解上，就数学的知识或方法而言却并不难，学生只要多看几遍题，弄清题意，努力一把，往往就可以迎刃而解，这时是选择努力还是放弃，实际上就是体现《数学课程标准》中的“对学生个性意志品质的考查”；第二类题目往往是真正的难题，是拔尖用的.所以一份好的试卷里也不能出现太多的新题难题，更多的还应该是改编后的常规题（不是陈题）.

（4）命制的新题的“新”，重要体现在情景与思路的选择上，不要用技巧与运算冲淡主题，尤其不要编写未学过的后面知识或更高级的知识方法求解很方便，而目前硬要学生去用设定某种方法去解的题目；另外命制的试题涉及的思想方法要偏重于具有“可持续发展”功能.

作者简介于清来，男，江苏省海安县人，中学高级教师，南通市中考数学命题库成员，长期进行数学命题研究，主持多项市级课题研究和省级课题核心组成员，有多篇文章在国家级刊物上发表.