与自然数有关的不等式的证明

李凤娟

摘 要：近几年高考题频频出现与自然数有关的不等式的证明，这类不等式的证明首先想到数学归纳法，但有些用数学归纳法得不到证明，比如2006年浙江高考20题，利用放缩法得到了证明，于是这类问题其他方法的掌握是必要的。以一个引例分别用数学归纳法、放缩法、构造函数利用函数单调性方法、构造数列一对一比较的方法解决了这一问题。

关键词：拓展；高三数学；自然数；证明

【教学目的】

1.拓展学生的思路，使学生对这一问题的处理方式多样化.

2.学生对一些复杂的不等式总是摸不着头脑，本案例的设计意在让学生体会一些复杂的不等式都是由简单不等式通过不等式的基本性质构造出来的，并不可怕，让学生从心理上克服对这类问题的恐惧感，降低难度，最终解决这类问题.

“高三数学怎么上？”是数学教学的重要话题.本文记录了我的一堂高三复习课“与自然数有关的不等式的证明”的教学过程，并就此谈一些感受.

【教学过程】

引入：请大家判断这几个不等式是否成立？

2>■ ■>■ ■>■

很显然成立.

通过这几个不等式，能得到更一般的结论吗？

生1：不难发现：■>■

这个不等式成立吗？

生2：成立。两边平方■>■

故成立.

很好，由这几个不等式，大家能构造出一些不等式吗？

生3：2+■+■+…+■>■+■+■+…+■

还有吗？

生4：2×■×■×…×■>■×■×■…×■

即得到2×■×■×…×■>■（n∈N*）

很显然这两个不等式都成立.

近几年高考的最后一题经常考查不等式与数列的综合知识，学生对一些复杂的不等式总是摸不着头脑，通过这样的设计意在让学生体会一些复杂的不等式都是由简单不等式通过不等式的基本性质构造出来的，并不可怕，降低难度.

我们知道，不等式两端都是n个式子的乘积，如果没有前边的铺垫，能求出右端是哪n个式子的乘积吗？

生5：引导学生构造数列{bn}，使b1b2…bn=■

易得bn=■，故只需证■>■

即问题转化为一对一的证明，这样大大降低了难度.

那大家想想看，你还能用哪些其他方法证明这条不等式.

学生很自然会想到数学归纳法，找同学证明.

生6：证：（1）当n=1时，显然成立

（2）假设当n=1时不等式成立，即2×■×■×…×■>■，

则当n=k+1时，2×■×■×…×■×■>■×■=■

故只需证■>■即可，这样就找到了核心命题.

只需证2（k+1）>■

只需证4k2+8k+4>4k2+8k+3

∵1>0成立，故2×■×■×…×■×■>■成立.

综合（1）（2）知，不等式对任意n∈N*成立.

数学归纳法是证明与自然数有关的命题的常用方法，在由n=k到n=k+1地证明时往往可以使用分析法证明.但数学归纳法不能解决所有问题.

对于这种恒成立问题，大家还有其他想法吗？引导学生用构造数列，利用数列单调性来证.

生7：问题转化为证■>1即可

令f（n）=■

f（1）=■>1，故只需证f（n）递增即可.

■=■>1，故f（n）递增.

或f（n+1）-f（n）=■-■=■×■>0，

故f（n）递增.

太好了！

接下来引导学生由前面的（2n）2>（2n+1）（2n-1）？圯■>■

不等式左端有根号，若两边平方则只需证22×■2×■2×…×■2>2n+1即可，∵22×■2×■2×…×■2>3×■×■×■×■…×■×■>2n+1

故原不等式成立.

放缩法也能完成证明，放缩的目的是能求出这n个式子的乘积。

接下来我们看个练习：

证明：1+■+■+…+■<2■（n∈N*）

学生可能首先想到数学归纳法，利用投影仪展示学生的证明过程。然后追问，还有其他想法吗？

学生8：数学归纳法.

学生9：构造数列{bn}，使b1+b2+…+bn=2■

则bn=2■-2■，故只需证■<2■-2■

学生3：放缩法

■=■<■=2（■-■）

放缩的目的是什么？

生：求和.

很好，由前面的放缩，大家猜一下1+■+■+…+■会大于什么呢？

启发学生由2（■-■）<■<2（■-■）得

2（■-1）<1+■+■+…■<2■（n∈N*）

通过这两个题目让学生充分掌握与自然数有关的不等式的证明的常用方法。

小结：与自然数有关的不等式的证明的常用方法：

（1）数学归纳法

（2）构造数列一对一比较

（3）利用函数单调性

（4）放缩法

反思：通过这节课的复习，一是让学生意识到很多复杂的不等式都是由简单的不等式根据不等式的基本性质构造出来的，从心理上让学生感觉没那么困难。学生最先想到数学归纳法，但数学归纳法也是有局限性的，拓展一下学生的思路，还可以通过构造数列转化为一对一的比较，也可通过函数的单调性转化为求函数的最值，其实不等式的本质也就是两个函数值比较大小。亦或通过放缩法实现证明，相对来讲难度大些，因放缩要适度，否则放得太大或太小，都达不到目的。

参考文献：

陈德华.与自然数n有关的不等式的几种证明方法.新课程：教研，2010（08）.

（作者单位 浙江省温州中学）