渗透化归思想， 提高学生的化归能力

王光灿

摘 要： 化归思想是数学的灵魂，它在培养学生的数学素质和解题能力等方面起着重要的作用.本文主要从“把复杂的问题化归为简单问题”、“把抽象的问题化归为直观问题”、“把陌生的问题化归熟悉问题”、“把无限的问题化归为有限问题”四个方面介绍如何应用化归思想研究和解决问题，培养学生思维的灵活性、敏捷性，提高学生的化归能力.

关键词： 数学思维 化归能力 化归思想

有位数学家把化归思想解释为“把面临的问题化归为已经解决过的问题”.运用化归思想方法灵活地解决有关数学问题，是提高思维能力的有效保证.我们应该在平时的教学过程中注意培养化归意识.化归思想具有多向性、层次性、重复性等特征.多向性体现在：①问题条件的变换；②问题结论的变换；③问题内部结构的变换；④问题外部形势的变换.层次性体现在：从微观上看，化归能够运用各种方法解决具体问题；从宏观上看，化归能够应用于沟通数学各分支学科的联系，实现学科之间的转化.在解决具体问题时，可以多次地使用化归，从而达到解决问题的效果，这就是化归思想的重复性.在解决问题时，引导学生向基本形式、向特殊形式、向低层次转化.渗透各种化归的技能、技巧，进一步提高解题能力.下面笔者就数学教学实践中如何实现化归思想的渗透，提高学生的化归能力谈谈做法，以期抛砖引玉.

一、把复杂的问题化归为简单问题

把复杂的问题化归为简单问题通常是指把繁琐的、高纬的问题转化为比较简单的、低纬的易于找到解决问题方向的程序，达到使原问题转化为在已有知识范围内更容易解决问题的目的.等价转化前后是充要条件，所以要尽可能使转化具有等价性.实施的方法主要有特殊值法、换元法、降纬法等.

笔者认为运用逆向思维，问题可以等价地看做是将取出的三个数再插入余下的7个数的8个空中，那么问题转化为求从8个空位中任意选3个的方法数，为C■■=56，选B.本题体现了“正难则反”，正与反的转化.解决某些问题，如果从正面无法解决或者很难解决，则可考虑从相反的方向去探究，反面得到解决正面亦能得到解决.

对于这一类的问题，已知条件不好理解，看上去比较复杂，感觉无从下手.此时我们可以运用“把复杂的问题化归为简单问题”的方法，进行解决.如第一道例题有时候我们可以把条件进行转化；如第二道例题有时候我们可以把结论进行转化；如第三道例题体现了“逆向思维”，正面出发比较难可能反面出发就会比较简单即正难则反的思想，等等.在教学中渗透化归思想，有利于增强学生思维的灵活性、创造性，提高学生的分析问题和解决问题的能力、逻辑思维能力、化归能力等.

二、把抽象的问题化归为直观问题

把抽象的问题化归为直观问题就可以形象地把握问题中各对象之间的关系，进而使待解决的问题更容易得到解决.利用函数图像或数学结果的几何意义，将数的问题（如解方程、解不等式、求最值、求取值范围等）与某些图形结合起来，利用几何直观性，再辅以简单计算，确定正确答案的方法.这种解法贯穿数形结合思想，每年高考均有很多题目可以用数形结合思想解决，既简捷又迅速.常用的实施方法有数形结合法、构造法等.

作出曲线的图像如左，因为直线y=2x+m与其有两个交点，则m>4或m<-4，选A.

对于这一类的问题，已知条件比较抽象的，但是已知条件又可以跟某些图形结合起来的，可以运用“把抽象问题化归为直观问题”的方法，通过“以形助数”、“以数赋形”使这一类抽象的数学问题直观化、生动化，变抽象思维为形象思维，体现了转化和化归的思想，有助于把握数学问题的本质.从而提高学生的形象思维能力、数学建模能力、化归能力等.

三、把“陌生”的问题化归为“熟悉”问题

把“陌生”的问题转化为“熟悉”的问题，从而利用我们已掌握的知识和经验，使原问题得到解决.常用的方法有调整法、扩充法、分解法等.

例如：曲线C：y=cosx（0≤x≤2π）与直线y=1围成的平面图形的面积是（ ）

A.1 B.2 C.π D.2π

根据余弦曲线的对称性，此题相当于是求直线y=1在0≤x≤2π之间与x轴围成的矩形的面积.画图观察，即把“曲边梯形”比较陌生的问题转化为“矩形”比较熟悉的问题.

可以将此正四面体补成一个正方体，正四面体和正方体有同一个外接球，因为正四面体的棱长为■，所以正方体的棱长为1，所以球的半径为■，所以球的表面积为3π.解法中，把“正四面体的外接球”比较陌生的问题转化为“正方体的外接球”比较熟悉的问题.

对于这一类的问题，就是条件比较陌生的，好像感觉从来没有见过比较陌生的问题，可以运用“把‘陌生的问题化归为‘熟悉问题”的方法进行解决.如第一道例题是求曲边梯形的面积但是根据余弦曲线的对称性，就可以把它转化求大家熟悉的矩形的面积，问题容易解决.在教学中渗透化归思想，有利于增强学生思维的创造性、广阔性、灵活性等，提高学生空间想象能力、化归能力等.

四、把“无限”的问题化归为“有限”问题

把“无限”的问题化归为“有限”问题是指通过对问题某种极端性的考查，找到解决问题的捷径，从而找到一般情况下的性质，进而找到解决问题的途径和方法，它不但可以避开抽象、复杂的运算，还降低解题难度，优化解题过程.它的思想就是“从近似到精确，从有限到无限，从量变到质变”.常用的方法有极限法、逼近法、调整法等.

对于这一类的问题，用常量数学的方法难以解决或者无法解决，用“把‘无限问题化为‘有限问题的方法”解决却很容易.它可以使问题化难为易，化繁为简，提高解题效率，从而收到事半功倍的效果.通过这种化归思想的渗透，还可以提高学生丰富的想象力，逻辑推理能力，化归能力，等等.

总之，在教学中运用上述方法渗透化归思想，有利于提高学生的化归能力.化归思想不仅应用于解题中，而且渗透在教材的各章各节中，各概念系统、定理系统的建立，以及公式系统的推倒都是通过各种转化而成的.化归思想的核心就是在认真分析新问题的基础上开展丰富的想象力，回忆起相关的旧知识，发散思维，顺利利用已学过的知识、已学过的方法及经验解决新问题.这种转化有其目的性和方向性，主要体现在“由已知到未知”、“由难到易”、“由繁到简”等.化归的入手点在于发现新问题和旧问题之间的类似，在于抓住新老问题之间的真正的、规律性的联系.在整个教学过程中要善于挖掘、体会这些思想方法，有意识地、恰当地讲解和渗透，这样才能逐步帮助学生形成科学的方法论，用有限的知识解决无限的新问题，使他们终生获益.

参考文献：

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[2]许青林.中学数学化归思想及其应用.吕梁高等专科学校学报，2007.

[3]林珧.让学生领略数学中的美.成才之路，2010.

[4]付爱民.浅谈中学数学教学中的美学教育.2011.