类五声集合初论

摘要：类五声集合作为五声性集合的一种扩展，在既保持五声性特征最大化的前提下，又具有非五声性因素适度的对比，因而在五声性风格的写作中同样具有重要的意义和价值，对其进行研究也是极为必要的。为此，本文对类五声集合作了初步的定义，并对类五声性集合的类别和数量作了详尽的推导，进而对其与五声性集合相比而体现出的音级最大相似性关系和音程级相似性关系做了深入的阐述。

关键词：类五声集合 五声性集合 音级相似性 音程级相似性 包含关系 子集 母集

笔者在拙作《五声性集合概述》[1]一文中曾经谈到：“五声性集合还可以进行扩展，内部扩展可以形成与其具最大音级相似性关系即Rp关系的类五声集合，外部扩展则可以形成各种类型的组合甚至十二音组合。”后者在拙作《五声性集合的十二音组合》[2]一文中已做了论述，而前者正是本文所要论述的。

类五声集合[3]作为五声性集合[4]本身的一种内部扩展，在既保持五声性最大化，也就是五声性音级或音程级最大包含的前提下，又具有非五声性因素适度的对比，因而在五声性风格的写作中同样具有重要的意义和价值。

一、类五声集合的定义

笼统地，本文将以下两类集合定义为类五声集合：

1.如果五声性集合的基数为n，那么它的基数为n+1的母集即为类五声性集合。简言之，n元素五声性集合的母集（此时基数为n+1）为类五声性集合。

2.除五声性集合外，与五声性集合呈音级最大相似性关系即Rp关系的的集合也是类五声集合。也可以理解为，如果基数为n的非五声性集合包含基数为n-1的五声性集合，那么这个基数为n的非五声性集合即为类五声性集合。

以上两类，有部分交叉的关系。如类五声集合5-11（02347）既是五声性集合4-22（0247）的母集，它又与五声性全集5-35（02479）呈音级最大相似性关系即Rp关系。

根据基数不同，类五声集合具体有：

1.六元素的类五声集合，是五声性全集5-35的母集。

2.五元素的类五声集合，既与五声性全集5-35呈Rp关系，也必然是某些五声性四音集合的母集；

3.四元素的类五声集合，既与某些五声性四音集合呈Rp关系，也必然是某些五声性三音集合的母集；

4.三元素的类五声集合，既与某些五聲性三音集合呈Rp关系，也必然是某些五声性二音集合的母集。但实际上，除了五声性三音集合外的所有三元素集合都具有这种特征，故三元素的类五声集合无特别的意义。

5.在所有二元素集合中，除五声性二音集合2-2（02）、2-3（03）、2-4（04）、2-5（05）外，实际上只剩下2-1（01）、2-6（06）两个了，因此类五声性二元素集合更是无实际意义。

故而，类五声性集合实际上只有六元素、五元素、四元素的才具有实际意义，本文所讲的类五声性集合也仅限于这些。

二、类五声性集合的推导

根据类五声性集合的定义，按五声性集合的音级最大包含关系和音级最大相似性来进行推导，可以得出下面所列的这些类五声性集合。

1.六元素的类五声集合

六元素的类五声集合，是五声性全集5-35的母集，包括有6-32、6-33、6-Z47、6-Z48共4个。这些集合只占全部六元素集合的极小部分。

表1六元素的类五声集合表

2.五元素的类五声集合

五元素的类五声集合包括有5-11、5-14、5-23、5-24、5-25、5-27、5-29、5-30、5-32、5-33、5-34、5-Z36、5-Z37共12个。这些集合刚好占全部五音集合的三分之一左右。

表2五元素的类五声集合表

一方面，这些五元素的类五声集合与五声性全集5-35均呈最大音级相似性关系即Rp关系。

另一方面，这些集合又对应为某些五声性四音集合的母集，情况具体如下：

4-22（0247）的五音母集：5-11、5-23、5-24、5-27、5-30、5-34、5-Z36共7个；

4-23（0257）的五音母集：5-14、5-23、5-29共3个；

4-26（0358）的五音母集：5-25、5-27、5-32、5-Z37共4个。

其中，5-23既是4-22的母集，又是4-23的母集。5-27既是4-22的母集，又是4-26的母集。

3.四元素的类五声集合

四元素的类五声集合共有17个，占全部四音集合的近五分之三。

表3四元素的类五声集合表

四元素的类五声集合，情况较为多样，分析和理解的角度也较为多样，具体如下：

（1）五声性三音集合的四音母集

3-6（024）的四音母集：4-2、4-11、4-21、4-24共4个；

3-7（025）的四音母集：4-4、4-10、4-11、4-13、4-Z15、4-27共6个；

3-9（027）的四音母集：4-6、4-14、4-16共3个。

3-11（037）的四音母集：4-14、4-17、4-18、4-19、4-20、4-27、4-Z29共7个。

其中，4-11既是3-6（024）的母集，又是3-7（025）的母集。4-14既是3-9（027）的母集，又是3-11（037）的母集。4-27既是3-7（025）的母集，又是3-11（037）的母集。

（2）与五声性四音集合呈Rp关系

与4-22（0247）呈Rp关系的有：3-6（024）的四音母集全部，3-11（037）的四音母集全部；

与4-23（0257）呈Rp关系的有：3-9（027）的四音母集全部，3-7（025）的四音母集全部；

与4-26（0358）呈Rp关系的有：3-7（025）的四音母集全部。

综上所述，类五声性集合有33个，其中六元素的4个，五元素的12个，四元素的17个。

三、类五声集合的音程特征及分類

我们知道，音级集合的特征以及音级集合之间的关系，通常是通过音级和音程级来体现和衡量的。

前面所列的类五声集合，是根据其与五声性集合的音级最大相似性推导出来的。实际上，类五声集合与五声性集合的音程级相似性[8]特征，与它们之间的音级相似性特征常常是不完全一致的。

下面就类五声集合与五声性集合的音程级相似性关系，对类五声集合的音程特征及类别来进行概要性的阐述。

1.含一个非五声性音程级（ic1或ic6）的

仅含一个非五声性音程级（ic1或ic6）的类五声性集合，五声性音程涵量是最大饱和的，其五声性音程级（ic5、ic4、ic3、ic2）的数量为总音程涵量减去1，也就是只包含有一个非五声性音程。这类类五声集合，与五声性集合相比较，只有一个音级不同；同时这类类五声集合也只有一个音程级不是五声性的。因此，这类类五声集合与五声集合相比的音程级相似性与音级相似性是一致的，故这类类五声集合的五声性特征在所有类五声集合中是最强的。

当然，在这类类五声集合中，就五声性特征来看，基数大的要强于基数小的。

这类类五声集合，还可以作如下的分类：

（1）含一个小二度或大七度（ic1）的

包括六音集合6-32，五音集合5-23、5-27，四音集合4-10、4-11、4-14、4-17、4-19、4-20，共9个；

表4含1个ic1的类五声性集合（9个）

（2）含一个三全音（ic6）的

包括五音集合5-34，四音集合4-21、4-24、4-26，共4个。

表5含1个ic6的类五声性集合（4个）

含一个三全音的类五声集合，除没有六音集合外，五音集合和四音集合的数量刚好都是含一个ic1的类五声性集合数量的一半，统计如下：

含ic1 含ic6

六音集合数量 1 /

五音集合数量 2 1

四音集合数量 6 3

2.含2个非五声性音程级（ic1或ic6）的

含2个非五声性音程（ic1或ic6）的类五声性集合，其五声性音程级（ic5、ic4、ic3、ic2）的数量为总音程涵量减去2。

（1）含ic1和ic6各一个的

包括6-33、5-24、5-25、5-29、5-30、5-32、4-13、4-Z15（全音程集合）、4-16、4-18、4-Z29（全音程集合），共11个。

表6含ic1和ic2各一个的类五声性集合（11个）

（2）含2个ic1的

包括5-11、5-Z37、4-2、4-4共4个。

表7含2个ic1的类五声性集合（4个）

3.含3个非五声性音程级（ic1和ic6）的

含3个非五声性音程（ic1和ic6）的类五声性集合只有5个，分别是6-Z47、6-Z48、5-14、5-Z36、4-6，都含有2个ic1和1个ic6。

表8含3个非五声音程级（2个ic1和1个ic6）的类五声性集合（5个）

本文将与五声性集合呈音级最大相似性关系即Rp关系的集合，归类为类五声集合。这与中国传统音乐中注重横向线型思维也就是旋律性思维是相符的。但是，与五声性集合呈音级最大相似性关系的类五声性集合，在音程级相似性方面又不完全一致，其中有含一个非五声性音程级的，也有含两个甚至三个非五声性音程级的。因此，类五声性集合在横向陈述和纵向组合上所表现出的风格特征有一定的差异。

本文为四川省教育厅2011年重点科研项目“五声性音高结构研究”（项目编号为11SA128）的阶段性成果。

注释：

[1]该文目前待发。

[2] 该文目前待发。

[3]概念的称呼往往是约定俗成的。到目前为止，人们通常把由五声调式的正音构成的集合称为五声性集合，故而本文只好把与五声性集合呈最大相似性关系的集合称为类五声性集合了。实质上，由五声调式的正音构成的集合当称为五声集合（与由五个音构成的五音集合是不同的概念），那具有五声特性的集合也就是本文所述的类五声性集合则称为五声性集合是最为恰当的了。当然，这些都是题外话。

[4]有关五声性集合的定义及类别，详见拙作《五声性集合概述》，待发。

[5]表中的五声性强度是指五声性音程含量与总音程含量的比值。表中的类五声集合是按与五声性集合的音级最大相似性来推导的，因此某些非五声性集合尽管其五声性音程含量与总音程含量的百分比与表中的类五声性集合相等甚至还高，但由于不具备音级最大相似性，因此也不将其列入。

[6]也可理解为T0（5-11）∩T0（5-35）= T0（4-22），也就是说5-11与5-35呈音级最大相似性Rp关系，且5-11与5-35的交集为4-22，另外，4-22既包含于5-35中，也包含于5-11中。余下的同理。

[7]T0（4-17）也可看作是 T0（3-11）与T7I（3-11）的并集，数学表达式为T0（3-11）∪T7I（3-11）= T0（4-17）。4-21也类似。

[8]本文的音程级相似性是针对本文论述的五声性而言的，与一般意义上的音程级最大相似性（包括R1或R2关系）是不完全一致的。对于一般意义上的音程级相似性关系，可参看[美]艾伦·福特著，罗忠镕译，《无调性音乐的结构》，上海音乐出版社，2009年10月第1版，p.56—73。

作者简介：

高畅（1964—），男，四川音乐学院作曲系教授，硕士研究生导师，作曲理论教研室副主任。