(n，4，1，2)光正交码的上界

牛心舒，黄月梅，2

（1.内蒙古师范大学 数学科学学院，内蒙古 呼和浩特 010022；2.内蒙古自治区应用数学中心，内蒙古 呼和浩特 010022）

1 引言及主要结果

令n，k，λa，λc是正整数，Zn是模n的剩余类加群，(Zkn)是Zn中所有k元子集的集合。一个(n，k，λa，λc)光正交码（简记为(n，k，λa，λc)‐OOC）是一些长度为n，汉明权为k的（0，1）‐序列的集合C，每个（0，1）‐序列称为一个码字并满足下列条件：

（1）（自相关性）对任意A=(ai)∈C 和任意正整数r，r≡0(modn)有

（2）（互相关性）对任意A=(ai)，B=(bi)∈C 和任意整数r且A≠B有

一个(n，k，λa，λc)‐OOC 的码字数量称为容量，通常用Φ(n，k，λa，λc)表示所有(n，k，λa，λc)‐OOC 的最大容量。当一个(n，k，λa，λc)‐OOC 的码字数量达到了最大的容量则称之为最优的。

光正交码最早在文献［1］中被研究。当λa=λc时光正交码的上界以及构造问题已经被许多学者研究，可参考文献［2-6］。当λa≠λc时，文献［7］通过运用Skolem 序列及递归构造等方法研究了最优(n，3，2，1)光正交码的容量问题；文献［8-10］通过直接构造与递归构造等方法给出了最优(n，4，2，1)光正交码的上界；当λ∈{1，2}时，文献［11-12］解决了最优(n，4，λ，3)光正交码的上界；文献［13］给出了最优(n，4，3，2)光正交码的容量与一些递归构造；文献［14］研究了更为一般性的(n，k，k-2，k-1)光正交码的上界问题；同时在文献［15-16］中得到了最优(n，5，2，1)光正交码的一些无穷类。本文主要通过3‐子集轨道出现在码字中的次数，给出最优(n，4，1，2)光正交码的上界。

定理1对于任意正整数n有

2 预备知识

设C 是一个(n，k，λa，λc)‐OOC，对于任意（0，1）‐序列A∈C，若在Zn上构造一个k元子集BA，有i∈BA，当且仅当A中第i个位置是非零的。集合{BA：A∈C}中的k元子集就与C 中的（0，1）‐序列形成一一对应关系，通常将这样的k元子集的集合记为B。

例1下 列 四 个（0，1）‐ 序 列 构 成 一 个 (13，4，1，2)‐OOC，即 1101000001000，1100101000000，1100010000010，1100000000100，通过子集的概念，一个(13，4，1，2)‐OOC 中的码字可通过Z13上的4‐元子集给出{0，1，3，9}，{0，1，4，6}，{0，1，5，11}，{0，1，8，10}。

对 于 任 意B∈B，定 义O(B)={B+i：i∈Zn} 为B在Zn作 用 下 生 成 的 轨 道，其 中B+i={b+i(modn)：b∈B}，这样()中的所有k元子集可以被划分为一些轨道的并集，每个O(B)中的k元子集称之为区组。通常用|O(B)|表示轨道中不同区组的个数，若|O(B)|等于n则称之为长轨道，否则为短轨道。

对于任意Zn中的k元子集B，定义集合ΔB={a-b(modn)：a，b∈B，a≠b}为B的差多重集，再定义ΔB的支撑集为集合中所有不同元素的集合，记作supp(ΔB)，令λ(B)记为ΔB中所有差重数的最大值，则有

根据文献［13］可用差集与3‐子集轨道代表元出现在码字中的次数给出一个(n，k，λa，2)‐OOC 的等价表述。令B 是Zn中k元子集的集合，若B 满足以下两个条件，则它构成一个(n，k，λa，2)‐OOC：

（1）（自相关性）λa=max{λ(B)：B∈B}；

（2）（互相关性）每个3‐子集轨道代表元最多出现在B 中的一个码字中。

3 (n，4，1，2)‐OOC 的上界

建立Φ(n，4，1，2)较为紧密的上界，设B 是一个(n，4，1，2)‐OOC，对于任意B∈B，B为轨道O(B)的任意代表元，因此任一码字B总可以表示为{0，a，b，c}的形式，其中a，b，c∈Zn{0}。

引理1［12］令B是Zn的任一包含0 元素的4‐子集。λ(B)=1，当且仅当|supp(ΔB)| =12。

引理2［13］令B是B 的任意4‐子集且λ(B)≤3。B包含三个不同的3‐子集轨道代表元，当且仅当B形如{0，a，2a，3a}，其中a∈Zn且a≠n5，2n5；B包含两个不同的3‐子集轨道代表元，当且仅当B形如{0，a，2a，3a}，其中a∈{n5，2n5}；其余形式的码字均包含四个不同的3‐子集轨道代表元。

引理3［9］令X={0，a，b}是Zn的任意3‐子集，则有

由引理3 可知，在Zn作用下只有O({0，n3，2n3}) 为短轨道，其余3‐子集均属于长轨道。对于Zn中的任意3‐子集，当|supp(ΔX)| ≤5 时，这样的3‐子集不能出现在B 的码字中，否则与λa=1 矛盾。又因为Zn中的所有3‐子集可以被划分为若干个不同的3‐子集轨道，故可记M(n)为|supp(ΔX)| =6 的3‐子集轨道的个数。

证明对于任意正整数n，设B 是一个(n，4，1，2)‐OOC。由引理2 可知B 中的每个码字均包含四个不同的3‐子集轨道代表元，因此有

为确定Φ(n，4，1，2)的上界，需分情况讨论M(n)的值。

对 于Zn中 任 一3‐子 集X，当(n，12)=12 时，() 中 包 含n3 个|supp(ΔX)| =2 的3‐子 集，n个|supp(ΔX)| =3 的3‐子集，n(n2-3)个|supp(ΔX)| =4 的3‐子集以及n(n2-2)个|supp(ΔX)| =5 的3‐子集，因此中包含|supp(ΔX)| =6 的3‐子集轨道的个数为

当(n，12)=6 时，中不存在|supp(ΔX)| =3 的3‐子集，包含n3 个|supp(ΔX)| =2 的3‐子集，n(n2-2) 个|supp(ΔX)| =4 的 3‐子 集 以 及n(n2-1) 个|supp(ΔX)| =5 的 3‐子 集，因 此中 包 含|supp(ΔX)| =6 的3‐子集轨道的个数为

当(n，12)=4 时，() 中 不 存 在|supp(ΔX)| =2 的3‐子 集，包 含n个|supp(ΔX)| =3 的3‐子 集，包 含|supp(ΔX)| =4，5 的3‐子集均为n(n2-2)个，因此(Z3n)中包含|supp(ΔX)| =6 的3‐子集轨道的个数为

当(n，12)=3 时，() 中 不 存 在|supp(ΔX)| =3，5 的3‐子 集，包 含n3 个|supp(ΔX)| =2 的3‐子 集，n((n-1) 2-1)个|supp(ΔX)| =4 的3‐子集，因此(3)中包含|supp(ΔX)| =6 的3‐子集轨道的个数为

当(n，12)=2 时，() 中 不 存 在|supp(ΔX)| =2，3 的3‐子 集，包 含|supp(ΔX)| =4，5 的3‐子 集 均 为n(n2-1)个，因此()中包含|supp(ΔX)| =6 的3‐子集轨道的个数为

当(n，12)=1 时中不存在|supp(ΔX)|=2，3，5 的3‐子集，包含n(n-1) 2 个|supp(ΔX)|=4 的3‐子集，因此()中包含|supp(ΔX)| =6 的3‐子集轨道的个数为

将以上所得M(n)的值分别代入（1）式，定理1 得证。

4 结语

本文主要通过计算码字的3‐子集的方法确定了最优(n，4，1，2)‐OOC 的上界，所用到的计算方法具有一定的普适性，可推广应用于二维(n×m，4，1，2)‐OOC 上界的构造，并有望获得更多的结果。