谈类比法在中职圆锥曲线教学中的应用

杨建芬

摘要：中职圆锥曲线的教学，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线，类比法是方法论中的基本方法之一，教师充分运用类比的方法，可以提高学生的学习兴趣，有效地帮助学生理解概念，掌握圆锥曲线的相关知识，同时培养学生的创造性思维与提高创新能力。

关键词：中职类比法圆锥曲线

一、中职圆锥曲线教学

中等职业教育课程改革国家规划新教材的基础模块，我们学习了圆的方程，在拓展模块教材中，又系统地学习椭圆、双曲线、抛物线，从动点轨迹的角度研究了椭圆、双曲线及抛物线，得到描述动点轨迹的方程，称之为二次方程，称这些曲线为二次曲线。早在古希腊的亚历山大时期，阿波罗尼奥斯总结了前任的成果，就建立了完美的圆锥曲线论，编著成书《圆锥曲线论》，书中将圆锥曲线的性质网络殆尽，证明了由同一个圆锥曲面可以截取到圆、椭圆、双曲线及抛物线等几种曲线。因此二次曲线又叫做圆锥曲线。

中职学生基础普遍差，基础知识参差不齐，接受能力、分析能力、思维能力偏低。而中职教材的数学概括性强、内容抽象，学生不易理解，学习起来也比较枯燥、乏味，一些学生有明显的厌学情绪，这直接影响着数学教学和学生素质的提高。

圆锥曲线的学习对概念的掌握和运用要求极高，如果能将一种研究思想或方法运用于圆锥曲线的教学中，既有利于教师的教，又有利于学生的学，那么将会达到事半功倍的效果。结合多年的教学实践并不断改进，本人总结出在圆锥曲线教学中运用类比法的一般过程，可以有效地帮助学生理解区分概念，掌握圆锥曲线相关知识，同时培养学生的创造性思维与提高创新能力。

二、类比法的界定和意义

类比法也叫比较类推法，是指由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也应具有这种属性的推理方法。其结论必须由实验来检验，类比对象间共有的属性越多，则类比结论的可靠性越大。类比法的特点是“先比后推”。“比”是类比的基础，“比”既要“比共同点”也要“比不同点”。

哲学家康德说过“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往可以指引我们前进。”在数学的教学与研究中，类比法是进行合情推理的一种非常重要的思维方法。在我们分析问题解决问题的过程中，可以利用一个较简单的类比问题的解答方法或结果，去找到原问题的解决方法。可以说，类比法是探索问题、解决问题与发现新结果的一种卓有成效的思维方法。

三、类比法在中职圆锥曲线中的应用

（一）圆与椭圆的类比

在数学教材中，很多新知识都是在原有知识的基础上发展而来的，因而在新知识中多少都会带有旧知识的痕迹。椭圆新授课时，通过对圆的知识回忆，运用类比法给学生创造最佳思维环境，可以使学生猜想出椭圆的内容、结构、研究思想与方法，激发学习的积极性。

1.定义的类比

①取一条定长的细绳，把它两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时画出的轨迹是一个圆；

②如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？

在探究这一过程中，让学生动手操作，画出轨迹，有的学生画出一条线段，有的画出椭圆，这时分析为什么会得到线段，是因为两定点的距离等于绳长。接着与圆的定义作类比，引导学生给出椭圆的定义，强调椭圆是平面内到两定点的距离之和等于常数，且这一常数要大于两定点的距离。

2.推导标准方程的类比

圆的标准方程是在其定义的基础上，运用两点间距离公式推导而来的，具体步骤有：

①找已知条件：圆心的坐标为C（a，b），半径为r；

②设点找关系：设M（x，y）为圆上的任意一点，则|MC|=r；

③列式计算：√（x-a）2+（y-b）2= r；

④整理化简：（x-a）2+（y-b）2 = r2。

这个方程就叫做以点C（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程。

掌握了椭圆的定义，分析建立平面直角坐标系，设焦距为2c，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为2a（2a>2c>0）， 得到

①找已知条件：焦点F1（- c，0），F2（ c，0）；

②设点找关系：设点M（x，y）是椭圆上的任意一点，则 |MF1| + |MF2| = 2a；

③列式计算：√（x+c）2+y2+√（x-c）2+y2 = 2a；

④整理化簡：（a2-c2）x2 + a2y2 = a2（a2-c2）；

⑤设量取简：从审美角度，结合a>c>0，设a2-c2= b2，则b2x2+a2y2=a2b2，从而得到椭圆的标准方程；

⑥强调关系：a、b、c的大小关系，a最大。

（二）椭圆与双曲线类比

1.定义的类比

取一条定长的细绳，在绳子的两头对称打两个结，把绳子的两端分别固定在图板的两点处，抓住其中一个结，套上一个小圆圈，圆圈里放一只铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？再取另外一个结，做同样的操作。

与椭圆的定义做类比，分析画图过程中的变量与定量，引导学生大致描叙出双曲线上点的特点，师生给出双曲线的定义，强调双曲线是平面内到两定点距离之差的绝对值等于常数，且这一常数要小于两定点的距离。

2.推导标准方程的类比

建立平面直角坐标系后，设焦距为2c，双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值为2a（0<2a<2c）， 得到

①找已知条件：焦点坐标F1（- c，0），F2（ c，0）；

②设点找关系：设点M（x，y）是双曲线上的任意一点，则 |MF1| - |MF2| = 2a；

③列式计算：√（x+c）2+y2-√（x-c）2+y2= ±2a；

④整理化简：（c2- a2）x2 - a2y2=a2（c2- a2）；

⑤设量取简：因为c>a>0，类似可以设c2- a2= b2，则b2x2-a2y2=a2 b2，便得到双曲线的标准方程；

⑥强调关系：a、b、c的大小关系，c最大。

3.几何性质的类比

椭圆的几何性质包括了图形范围、对称性、顶点和离心率，充分运用代数计算基本知识，从椭圆的标准方程入手，逐一分析和探究，理清了标准方程中a、b、c的几何意义，以及离心率e的计算和对椭圆形状的影响。