一阶线性非齐次微分方程的解法探悉

2013-04-29刘喜梅

现代企业教育·下半月 2013年6期

关键词：组合法变易常数

刘喜梅

摘要：一阶非齐次线性微分方程是微分方程组重要组成部分.本文分二章.第一章阐述了它的基本概念.第二章介绍了它的几种基本解法及例题分析。

关键词：非齐次线性微分方程常数变易法变量代替法

引言

微积分中研究变量的各种函数及函数的微分与积分.这里讨论了一阶线性非齐次微分方程的几种解法。

一、一阶线性非齐次微分方程的基本概念

定义1[1]：一阶线性微分方程dy1dx=P（x）y+Q（x）（1），（P（x），Q（x）在考虑区间上是x连续函数），若Q（x）=0，（1）变为dy1dx=P（x）y（2），（2）稱为一阶齐次线性微分方程.若Q（x）≠0，（1）称为一阶非齐次线性微分方程。

二、一阶线性非齐次微分方程的解法及例题分析

（一）常数变易法

1.常数变易法概念[2]

现用常数变易法来求（1）解。由（2）是分离变量，得dy1y=P（x）dx积分得ln|y|=∫P（x）dx+c1（c1是任意常数）。由对数定义得y=±ec1e∫P（x）dx，令±ec1=c得y=ce∫P（x）dx，这是（2）的通解，令y=c（x）e∫P（x）dx（3），得dy1dx=dc（x）1dx=e∫P（x）dx+c（x）P（x）e∫P（x）dx（4），由（1）（3）（4）得dc（x）1dx=Q（x）e-∫P（x）dx，即c（x）=∫Q（x）e-∫P（x）dxdx+c（c是任意常数），将上式代入（4），得到方程（1）通解y=e∫P（x）dx∫Q（x）e-∫P（x）dxdx+c，这将常数变易为待定函数的方法，称常数变易法。

2.伯努利微分方程概念

定义2[3]：形如dy1dx=P（x）y+Q（x）yn方程，称为伯努利微分方程，这里P（x），Q（x）为x连续函数，n≠0，1是常数，对于y≠0，用y-n乘上式两边，得y-ndy1dx=y1-nP（x）+Q（x），引入变量变换z=y1-n，得dz1dx=（1-n）y-ndy1dx由此得dz1dx=（1-n）P（x）z+（1-n）Q（x）（5），这是线性微分方程，可按常数变异法求（5）的通解.n>0时，还有解y=0。

（二）变量代替法

1.变量代替法概念[4]

设y=u（x）v（x）是方程（1）的解，其中u（x）为（2）特解，将y′=u′（x）v（x）+u（x）v′（x）代入（1），得u′（x）v（x）+u（x）v′（x）=P（x）u（x）v（x）+Q（x）

即[u′（x）-P（x）u（x）]+u（x）v′（x）=Q（x）

因u（x）是（2）特解，有u′（x）-P（x）u（x）=0，得u（x）=e∫P（x）dx

对u（x）v′（x）=Q（x）积分，得v（x）=∫Q（x）e-∫P（x）dxdx+c

所以（1）通解为y=e∫P（x）dx∫Q（x）e-∫P（x）dxdx+c

2.变量代替法例题分析

求y′-21x+1y=（x+1）512

解：设y=uv是原方程的解，且u是对应齐次方程特解。

把y′=u′v+uv′代入原方程即得[u′-21x+1u]v+uv′=（x+1）512

由u′-21x+1u=0，得u=（x+1）2由uv′=（x+1）512，得v=213（x+1）312+c