排列与组合模型

刘伟

摘 要：排列与组合模型主要研究从不同元素中，选取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题。高考中，直接考本知识点的相关题型主要是选择或填空题，属中下难度。但在概率解答题中，古典模型与排列组合的结合，一直是高考热点。

关键词：排列与组合；模型；考点

题型1：分组问题

例1.將5名实习老师分配到3个班实习，每班至少1名，至多2名，不同的分配方案有（ ）

A.30 B.90

C.180 D.270

解析：由题目可知，5名教师只能分组为1，2，2，首先选出分配1个老师的那个班，即C13·C15，然后把剩下的4名老师随机各选2名分给剩余两班，即C24·C22，则最后应该有分配方案C13·C15·C24·C22=90种，故选B。

考点升华：均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合常见题型。解决关键是是否均匀，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数；有序分组要在无序的基础上乘以分组数的阶乘数。

题型2：捆绑问题

例2.将4名男生、3名女生排队照相，若7人排成一列，4名男生须排在一起，方法有（ ）

解析：先将4名男生排在一起，当成一个元素，再与其余3名女生排，故共有A44·A44=576种，故选B。

考点升华：把相邻元素看做一个整体，再和其他元素一起排列的方法称为捆绑法，此法应注意捆绑元素内部的排列。

题型3：特殊元素（位置）问题

例3.某晚会由7个节目组成，演出顺序有如下要求：甲节目须排在前两位，乙不排在第一位，丙须排在末位，则节目排序方案有

种。

解析：特殊节目有甲、乙、丙三个，可按甲的节目分两类：（1）甲排第一位，共有A55=120种排法；（2）甲排第二位，共有A14·A44=96种，据分类计数原理，共有方案120+96=216种，故填216。

考点升华：如果题目中含有特殊的元素或位置，应先满足这些特殊元素或位置，然后安排其他元素或位置，即采取先特殊后一般的解题原则。

题型4：插空问题

例4.8名学生和2名老师站在一处留影，2名老师不相邻的排

法有（ ）

A.A88 ·A29种 B.A88 ·C29种

C.A88 ·A27种 D.A88·C27种

解析：据题意先让8名学生排列，共有A88种，再让2名老师插

在8名学生形成的9个空中，有A29种，故共有A88·A29种，故选A。

考点升华：对于不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列所形成的空档中。

（作者单位 陕西省泾阳县桥底镇石桥中学）