放缩法在不等式证明中的应用

高军

摘 要：用“放缩法”证明不等式在高考题和各地模拟题的压轴题中屡见不鲜，本文以具体题型为例，介绍了用“放缩法”证明不等式的几种常用策略，旨在探索题型规律，揭示解题方法.

关键词：放缩法；不等式证明；应用

众所周知，放缩法是不等式证明的一种非常重要的方法，在高考题和各地模拟题的压轴题中屡见不鲜. 所谓放缩法即是从不等式的一边着手，用不等式的传递性等性质，舍去（或添上）一些正项或者负项，扩大或缩小分式的分子、分母，逐渐适当地有效放大或缩小到所要求的目标. 它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点，有极大的迁移性，对它的运用往往能体现出创造性. “放缩法”可以和很多知识结合，对应变能力有较高的要求. 因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递. 下面采撷近几年的高考题及高考模拟题进行分类解析，旨在探索题型规律，揭示解题方法.

点评：在数列求和型不等式证明中，一般来说有先放缩再求和或先求和再放缩两种形式. 若数列易于求和，则选择先求和后再放缩；若数列不易求和，要考虑先放缩后再求和的证明方法. 本例题选择先放缩再求和，但切记放缩后要易于求和且放缩得当，若从第1项开始放大，则会放得过大，导致证明失败，故在证明过程中选择从数列第2项开始放大，恰到好处.

点评：本题采用分析法，在证明过程中，通过化简整理之后，再利用基本不等式由2≤am+an放大即可.

以上介绍了用“放缩法”证明不等式的几种常用策略，解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法，有时还需要几种方法融为一体. 在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果. 但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象. 因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要. 要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点. 掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力、分析问题和解决问题的能力. 希望读者通过本文能够进一步地了解放缩法的作用，掌握基本的放缩方法和放缩调整手段，达到熟练应用的目的.