数学答题中的常见失误

田伟　易志伟

摘 要：高考是综合性的考试，要对一个人的知识和能力进行全方位的考查. 数学课程标准中提出考查学生的五大基本能力：计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理能力. 而为了实现这个目标，数学考试题目就具有很强的综合性，设置了很多陷阱. 因此，对于知识掌握得不太牢固的学生来说就容易失误. 为了帮助学生减少失误和帮助教师在教学中揭示误区，特此研究各种层次的失误.

关键词： 能力；课标；失误；层次

高考是综合性考试，它不是简单重复地考查知识，而是对一个人全方位能力的考核. 每个人在学习和考试中，都存在很强的个性化解题失误. 正是这些看似不起眼的个性化失误导致成绩不佳. 所以在考试中要善于分析自己，明确错误所在，争取通过高三一年的复习，切实做到有的放矢.

《数学课程标准》提出数学五大基本能力：计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理能力，而高考正是从这几方面考查一个学生的数学能力与素养. 数学高考试题按能力要求粗略分为基础层级、综合层级、研究层级. 下面就从这三个层级入手，分别对考生在解答高考各类题型中的常见思维误区进行分析，并简要阐述一些行之有效的增分技巧.

[?] 基础层级能力题

高考中基础题占了较大的比重. 而高考命题不再是单纯的考查基础知识，而是以基础知识为载体考能力（计算能力、逻辑思维能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理能力等）、考数学思想方法（归纳的思想想法、转化的思想方法、分类讨论的思想方法等）. 选择题和填空题是以基础考能力的主要题型，并且由于考生能力素养相差悬殊，造成快与慢、好与差的巨大差异，使选择、填空题的区分度越来越大，选择、填空题既成为考生夺取高分的关键又成为考生失去高分的关键. 对于所有考生而言，这个基础分，一定要有“想方设法得高分”的决心. 对于数学成绩较好的学生，只有保证在基础题中不失分才有可能在高考中取得高分，而对于数学水平处于中、下等学生而言，该部分算得上是提升空间最大的了. 因此需要注意方法和技巧.

常见误区

考生在解答该层级的考题时，常见误区主要有：

1. 审题不清，不明要求就贸然动笔. 解题之行，始于足下. 审清题意是解决数学问题的前提. 数学选择、填空题目的要求富于变化，如立体几何的选择题要求有“下列结论正确的是”和“下列结论不正确的是”之分；简易逻辑的选择题要求有“必要性”、“充分性”及“充分必要性”之分；线性规划和不等式等选择、填空题要求有“最大值”、“最小值”和“最值”之分……这些特点决定了在解答该类题目时，必须将审题放在首位，一部分学生就是因为没有看清题目要求贸然动笔，从而导致白白丢分.

2. 解题方法不正确而导致失分，基础送分题一般放在选择、填空题，而只需用各种方法把答案选正确即可，不需要过程，这就说明在做该类题目的时候有技巧和方法，有特殊值法、排除法、验证法等等.

4. 对某些数学术语和概念没有理解而导致失分. 例如，求参数a的取值范围，学生很容易理解为是一个确切的范围，但有些时候是一个具体的值，从而导致学生陷入思维的误区. 又如在求函数的值域的时候，往往学生只求出函数的最大值或最小值，但是两者没有兼顾全面而造成失分，这是对于函数概念的内涵和外延没有理解透彻. 例如，一个命题的否定和否命题是有区别的，但是在全称命题中，学生容易出错. 例如“已知函数f（x）=ax2+ax+1，对于任意的x∈R，都有f（x）>0”，命题否定应该为“已知函数f（x）=ax2+ax+1，存在x∈R，使得f（x）≤0”. 又如函数的极值与最值，很多学生认为极值就是最值，其实最值是在极值和端点处产生的函数恒成立的问题，是高考考查的重要内容. 这类问题内容丰富，概括起来有恒成立、能成立、恰成立等. 再如不等式恒成立、能成立、恰成立、部分成立四种类型，学生对于“恒成立、能成立、恰成立、部分成立”这几个概念是很不容易区分开的.

5. 知识不牢，似是而非造成胡乱动笔. 数学是在感性的基础之上加以理性思维，而较大比例的学生在做基础题时因为简单就凭感性认识贸然得出结论. 当然，在感性的同时很多学生也因知识不牢、记忆不准确而失分. 例如，对集合的考查注重考查集合的三种性质（确定性、互异性、无序性）；对定义域、值域的考查要求学生明确定义域、值域应该写成集合或区间形式；对复数的考查一定要注意i2=-1；对导数的考查要求学生正确地掌握基本的导数计算公式以及数学中涉及的相关球面公式、二面角定义，以及夹角、到角的取值范围，向量夹角的取值范围没有记准确，从而造成能否取得等号很模糊等等. 这类题目要求学生对数学基本知识清楚地掌握，需要扎实的知识积累才能准确判断. 不少考生因为知识不牢，感觉似是而非，最后只能胡乱猜一个，导致失误.

6. 分析不深，路到一半则原路返回. 数学是严密的，每一个正确的数学结论都是通过层层推导得到的. 同时，又因为数学的抽象性，大多数学生在数学解题过程中遇到困难就很难突破，很可能题目本身并不难，只是因为学生自己对题目分析不深或者分析出现偏移而导致其与正确答案擦肩而过，与高分失之交臂. 例如，解析几何既是学生学习的重点，也是学生学习的难点，在解决解析几何的基础题时很多学生以常规思路解题往往走入死胡同，绕一圈又回到起点，导致失分甚至根本得不到分.

[?] 综合层级能力题

该层级题目可能出现在个别选择、填空题，但主要体现在计算、证明题、解答题上，考查数学的思想和方法. 例如，三角函数题、立体几何题、解析几何题、不等式以及数列和概率题等问题，该层级题目注重考查学生的综合能力，因此题目涉及的知识点较多，考查的数学概念较多. 例如，在三角函数题目中就可能考查三角函数的诱导公式、积化和差、和差化积、二倍角等公式，向量相关知识（垂直、平行），函数的周期性和奇偶性，二次函数的最值问题，均值不等式等知识；立体几何题目中可能考查学生的空间思维能力、动手实践能力等，涉及向量、平面几何等知识. 该层级题目几乎是各地高考必考题目，对于大多数考生，这一层级内容的掌握程度直接决定着高考数学分数的竞争力.

常见误区

该部分的常见误区有：

1. 不记规律和解题的模型，要点遗漏现象频发. 本层级的各类题型都有一定的规律，而且规律的内容相对庞杂，要掌握这些内容，既需要一定的题量积累，也要求及时回顾总结. 但不少学生在备考过程中要么畏其繁，要么畏其难，总是很难将这些规律都记住，这样带来的最直接的后果便是答题时丢三落四、考虑不周全，三角函数条件遗漏、立体几何结论没化到最简或结论出现偏移等.

2. 不会审题，不能准确挖取题中隐性条件和要求. 本层级的各类题型中，对题目准确理解的要求比基础层级要高许多，不少学生丢分不是不重视审题，而是不会审题，不能准确理解题干中的一些隐性条件. 比如，对于三角函数题，我们在审题时既要关注题干中具体的长度值、角度大小，又要关注题干中是否涉及垂直、平行、钝角、锐角等条件；对于解析几何题，要关注题干中的坐标判断图形的位置等.

3. 重题轻读，没有整体把握题意就匆忙做题. 概率题是高考的热点，因为该类题目不仅仅考查的是学生的数学素养，还考查学生的阅读能力、理解能力、分析问题的能力，而由于学生认知水平的限制，学生都觉得概率题难以把握，变化性大. 其实，从学生的试卷分析及学生其他信息反馈，我们不难发现，学生之所以容易在概率题上出错，是因为学生在读题时没有区分主次，没有理清题设所呈现的关系，没有分清题设中事件的性质（独立事件、对立事件、重复事件等），没有明白是几何概型还是古典概型等. 正是因为这些“没有”， 学生贸然下手、匆忙做题，结果当然可想而知，那就是“痛痛快快”得个低分.

4. 答案烦琐，关键不突出，缺乏整合性. 虽然说数学是严密的，每一个正确的数学结论都是通过层层推导得到的，但是，当我们在答卷时却没有必要将所有的步骤都呈现在卷面上. 部分学生为了稳妥起见，为了多拿步骤分，把解决每道题的每一步都写出来，例如，三角函数中把简单的角度计算步步呈现；立体几何中向量的加减法步步呈现；概率题中大量数值的代入计算步步呈现……这样做之后整张试卷都显得满满的，甚至有杂乱的感觉，给阅卷教师带来严重的不便，如果答案出错，那么阅卷教师很难在较短的时间内找到关键步骤，从而导致白白失分.

[?] 研究层级能力题

随着新课程标准的不断改革，研究性学习的重要性日益突出. 学数学最好的途径就是做数学，而研究层级的数学题目就是做数学的基础. 该层级能力题是数学试题的难点，主要包括较难的数列题、函数综合题. 这一部分内容需要在长期的数学实践中不断积累和锻炼. 对于大部分考生而言，这一层级的内容可“遇”而不可“求”；对于数学基础好的学生而言，这一部分的得分高低对能否进名校具有直接影响.

常见误区

本层级常见误区有：

1. 理解不够深入，缺乏解题思维. 研究层级能力题一般包括数列题和函数综合题. 这类题对考生的综合能力、数学素养、阅读积累、平时训练等方面都有较高要求. 不少考生感觉不能理解题意，甚至不能读懂题意，没有解题思维，因而无从下手，即使能够动笔也只能解决相对较简单的第一小问，因此得分普遍不高.

2. 思考缺乏依据，答题过于随意. 研究层级能力题一般都具有三个小问题，三个小问循序渐进，涉及的知识点丰富而且复杂，计算要求高. 最后一个问题一般都具有发散性，这就要求考生能根据题设条件做一定程度的探究和研究，但不少考生在做此题时感觉十分棘手，会出现思考缺乏依据、答题过于感性、题解细而不全、随心所欲发挥等现象，而且这类题多要求考生能从不同层面和角度思考，答案步步呈现，步骤清楚明了，不过，不少考生会出现在一个问题上翻来覆去陈述的情况.

3. 题解缺乏整合，答题没有层次. 整洁、干净、有层次的数学答卷给阅卷教师眼前一亮的感觉，先不说题目是否做正确，至少印象分存在. 但是，当代大多数学生的字迹潦草或者书写不规范，答题没有层次，想到哪里写到哪里，很多步骤出现颠倒现象或者不需要的步骤也书写出来，若出现错误则划掉，这严重破坏了卷面的美感，影响了自己的得分.

数学是神圣的，数学试卷给我们接近神圣的一次机会. 只要我们明晰各类题型的常见误区，在备考过程中做到细心谨慎，踏踏实实，找到自己薄弱和提升空间较大的环节，对于实在力不从心的难点不妨适当放弃，对于经常出错但能力水平能够答对的部分重点加强，切实做到科学备考，便能够笑看数学考场风云，赢得高考这场战役的胜利.