趣谈“2013”的幂和表示

曾志廉 肖卿灿

摘 要：讨论了“2013”的幂和表示方法。

关键词：幂和；表示法；质数

熟知2013=64+54+43+33+13=64+54+24+33+72=74-54+44-33+23，观察前面式子，我们发现表达式中各数字互不相同，数字范围1～7，如果要求表达式中的数小于6大于2，指数小于5大于等于2，结果又会如何。

能否把2013表示成a1x1+a2x2+…+amxm-b1y1-b2y2-…-bnyn的形式？如果可以，这种表示方式是否有无限多个？其中，m、n均为大于100且小于170的正整数，且m-n≥50；a1，a2，…，am，b1，b2，…，bn均为两两不相等的小于6的正有理数，且a1

下面我们对此问题进行讨论，熟知，x2+y2=z2有无穷多组正整数解，

（x，y，z）=（a2-b2，2ab，a2+b2），

故m2+n2-1=0有无穷多组分数解，

（m，n）=■-■

而32+42=52，故当质数p>5时，

■2+■2-■2=0

因为2013=■4+■4+■4+■■2+■■2+■2-■4-■2-■4-■■2+■2-■■2

pi>5，pi为负数，pi互不相等，由于质数有无穷多个，故2013的表示法也有无穷多种。上述表示法显然满足ai+12-b12，ai+22b-22，…ai+n2-bn2（i=0，1，2，…，m-n）互不相等的条件。

作者简介：

曾志廉：男，硕士，广州大学，实验师。

肖卿灿：男，学士，广州大学，高级实验师。