分部积分公式及其应用的原理分析

黄丽云

【摘要】对不定积分公式的来源、基础作分析，进而指出分部积分公式的应用原理，以帮助学生加深对不定积分的认识，灵活地用好分部积分公式，提高计算积分的能力.

【关键词】不定积分；分部积分公式；导数

一、引 言

分部积分公式是计算积分的重要公式之一，但对于具体的积分问题，选取公式中的函数u与v′（或dv）具有较大的灵活性，初学者不易把握.文＼[1＼]中指出，选取u和v′一般要考虑两点：（1） v要容易求得.（2）∫vdu要比∫udv容易积出.对于第一点，把有积分公式的函数选作v′，v自然容易求得；但对于第二点，往往难于把握，若对可能的几种选法都作试探比较则很费时.因此，讨论如何选取u与v′的文献很多，人们还总结了积分中常出现的基本初等函数选作v′的优先顺序，具有很强的实用性.本人在数学分析的教学实践中，力图在思想方法、辩证原理等方面引导学生作更多思考.对于不定积分，应用辩证原理分析公式的来源、基础，有利于学生更好地理解分部积分公式及其应用原理，灵活地用好公式，提高计算积分的能力.

二、公式来源分析

不定积分的定义是非构造性的，从它自身的定义出发，直接开展讨论很困难.

定义：函数f（x）在区间I的所有的原函数F（x）+C（C∈R）称为函数f（x）的不定积分，表为

∫f（x）dx=F（x）+C （F′（x）=f（x））.

定义中并没有明确给出求原函数的具体公式，因此，计算不定积分比求解有明确公式的问题困难得多.对于非构造性定义，应用事物总是相辅相成或相反相成的原理，借助其反面来讨论是一种常用的思路，不定积分正是如此.将导数公式表中的公式反转过来得到基本积分表，由函数代数和的导数公式推得代数和的不定积分公式，由函数乘积的导数公式则得到了分部积分公式，至于函数之商的导数公式，其形式较复杂，因此很少利用它来讨论函数之商的不定积分，而是把商的积分视为乘积的积分来处理.

三、公式基础分析

对于上述积分公式，分析其基础——导数公式的规律、特点，有助于理解和用好这些积分公式.导数公式表给出了各类基本初等函数的导数，比较求导前后的两个函数的形式，以下四类特征值得关注.