让概念教学走向生动

李建东

如何设计数学概念的教学过程，使抽象的概念变得具体，使枯燥的概念教学变得生动活泼，从而使学生更好地理解和掌握概念，是数学教学中应认真考虑的问题。下面以“分类计数原理与分步计数原理”的教学设计为例谈些体会。

一、教学背景

这是计数原理的第一节课，是起始课。学习它所需的先行知识跟学生已熟知的数学知识联系很少，中学数学课程中引进的关于排列、组合的计算公式都是以分步计数原理为基础的，而一些较复杂的排列、组合应用题的求解，更是离不开两个计数原理，因此必须使学生学会正确地使用两个计数原理，它是这一章教学中必须抓住的一个关键。正确使用两个计数原理的前提是要学生清楚两个计数原理使用的条件。而原理中提到的分步和分类，学生不是一下子就能理解深刻的，这就需要教师引导学生，帮助他们分析，找到分类和分步的具体要求一类类互斥，步步独立。分类用分类计数原理，分步用分步计数原理，单纯这点学生是容易理解的，问题在于怎样合理地进行分类、分步，特别是在分类时必须做到既不重复，又不遗漏，找到分步的方法有时是比较困难的，这就要着重进行训练，目的就是要帮助学生发展思维能力，培养学生周密思考、细心分析的良好习惯，为后面的排列组合等知识的学习打下一个良好的基础。

二、教学过程

（一）本节课教学目标设计

1、知识与技能：正确理解和掌握两个原理，并能用它们分析和解决一些简单的实际问题。

2、过程与方法：体验学习。

3、情感态度与价值观：通过比较分类计数原理和分步计数原理的异同，培养学生学习比较、类比、归纳等数学思想方法和灵活应用能力，发展学生的数学应用意识。通过教师引导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，使学生经历思维过程，获得成功的体验。

（二）教学过程与教学资源设计

1、两个计数原理的形成：首先设置情境激发学生兴趣，先来看几张图片。

2、两个计数原理的理解

师：你们认为用好这两个原理的关健是什么？

生1：首先要清楚做“哪件事”？怎样算“完成”？

生2：判断是分类做还是分步做，关键看一种方法是否可以将工作做完。

生3：分类指的是每一类中的任何一种方法都能将工作完成；分步指的是每一步中的任何一种方法都不能将工作完成。

生4：如果完成一件事是分类做的，用加法；如果完成一件事是分步做的，就用乘法。

师：（小结）对于分类计数原理，“类”中之法是可以独立完成这件事的，而“步”中之法却不能。把“类”中之法相加就是完成这件事的方法数。对于分步计数原理，“步”中之法不能独立完成这件事，还依赖于其它步骤的支撑、合作才能完成这件事。把步中之法相乘就是完成这件事的方法数。

3、两个计数原理的应用：经历概念建立的过程之后，学生们用概念分析、解决问题就比较容易了。

三、几点反思

（一）这是一堂概念课，目的是帮助学生建立两个计数原理的概念。这堂课的教学过程大体可以分成三个阶段：抽象概括、内化理解、外化运用。首先是抽象概括。要概括出什么来？也就是要明确教学目标。教学目标的核心所在就是“教学生学什么？”原理抽象概括出来之后，需要“内化理解”，既能把握本质说出其中的“关键词”，能举出例子说明。原理清楚了，接着就是“外化应用”。“外化应用”也有进一步领会原理的作用。因此，从整体上说，这堂课大致经历的这三个阶段中，重心在前两个阶段，并不在后面。

（二）这节课的难点在于对两个计数原理的理解。一个概念的形成过程需要抽象、概括。而抽象、概括首先需要占有大量的材料，并对这些材料进行观察、分析、比较，然后才能抓住本质特征进行归纳、概括。如果材料太少，本质特征难以暴露，那就难以抽象概括，所以可以把材料比作是发现数学规律的“脚手架”。教学中，防止“一次归纳”把概念“抛”给学生。

（三）当前课改强调课堂教学中的“会话、协商”，提倡通过学生的合作交流、主动建构、相互评价等一系列活动来完成意义建构。这是重要的，但要注意数学活动是思维的活动，“会话、协商”不应追求表面上“繁荣”，“上课热热闹闹，下课全不知道”不可取。另外。不是什么都要经过探究、建构，关键在于教师要明确探究、建构的目的、意义、教育价值。

（四）问题是数学的心脏，数学教学应当从问题开始，以问题引导学习是数学教学比较好的教学方法。没有问题就没有思维，至少是没有专注的思维。问题设计是教学成败的关键。我在设计本节课时，就是以“问题串”的方式来组织教学内容、教学过程的，通过提出好的问题来组织引导学生。

（作者单位：北京市第十一中学）

（责任编校：合欢）