空间问题平面化思想教学浅析

魏秋梅

摘 要：立体几何是平面几何的推广和发展，平面几何是立体几何的基础和依据。将空间问题平面化，是立体几何常用到的一种化归与类比思想。教学中可以从空间图形的画法平面化、空间角的平面化、空间距离的平面化三个方面去展开。

关键词：立体几何；空间问题；平面几何平面化；化归；类比

立体几何是平面几何的推广和发展，平面几何是立体几何的基础和依据。解决立体几何问题的基本思路是：寻找正确的手段和方法，将它化为平面几何去解决。因此将空间问题平面化，是立体几何常用到的一种化归与类比思想。教学中必须重视这种思想的渗透。

一、空间图形的画法平面化

空间图形的斜二测画法是将空间图形转化为它的直观图这一平面图形的基本方法。教学中培养学生识图、画图的能力，养成认真细心的良好的学习习惯。如，下边两个图形，由于虚线不同，看上去位置就大不一样了。

二、空间角的平面化

空间角指的是两条异面直线所成的角，直线与平面所成角，平面与平面所成角。把空间角化归为平面角的方法：

（1）异面直线所成角的求法：平移法，即把一条直线向另一条直线上移或把两条直线向同一点移。

（2）斜线与平面所成角的求法：通过斜线上的某一点作出平面的垂线去找角，将此角放到一个三角形中去解。

（3）二面角的求法：求作二面角的平面角的方法有定义法、垂线法、垂面法、延伸法、射影法等。

例1.底面是等腰梯形的四棱锥S-ABCD，AD=BC，AB=2CD=2SD，∠DAB=60°，SD⊥底面ABCD，求：

（1）侧面SAB与底面ABCD所成二面角的大小。

（2）侧棱SB与底面ABCD所成的角。

（3）异面直线SB和AD所成的角。

（2）连接SB、DB，则∠SBD即为所求的直线与平面所成的角。

（3）作BF∥AD交CD延长线于F，连接SF，则∠SBF即为异面直线所成的角。

∵SF2=SD2+DF2=5a2，SB2=SD2+DB2=4a2，BF2=AD2=a2 ∴SF2=SB2+BF2，故∠SBF=90°

三、空间距离的平面化

空间距离分为：点到直线的距离、点到平面的距离、直线与直线的距离、直线与平面的距离、平面与平面的距离。根据它们的定义都可化为平面上两点的距离。具体化法是：

（1）点到平面的距离的求法有直接法，即由该点向平面引垂线，直接计算垂线段的长；转移法，即将该点到平面的距离转化为另一点到该平面的距离；体积法，即已知棱锥的体积和底面的面积，求顶点到底面的距离，可用体积公式的逆公式。

（2）异面直线距离的求法：①直接法。当公垂线直接能作出时，直接求，这时，作出并证明异面直线的公垂线段；②转化法：将线线距离转化为线面距离或转化为面面距离。③体积法：利用线面距离转化为锥体的高，用体积公式的逆公式求之。

例2.四面体ABCD的棱长为1，求：

（1）点A到平面BCD的距离。

（2）异面直线AB、CD之间的距离。

简解：如图4

（1）过A作AO⊥平面BCD于O，连接BO并延长与CD相交于E，连接AE。

（2）取AB的中点E，连接CF、DF

∵BC=AC，BF=AF，∴CF⊥AB，同理DF⊥AB。∴AB⊥平面CFD，连结EF，则AB⊥EF。同理可证CD⊥EF，∴EF为异面直线AB，CD之间距离。

即AB、CD之间的距离为。

参考文献：

[1]史久一，朱梧槚.化归与归纳、类比、联想.大连理工大学出版社，2008-04.

[2]傅佑珊，古永喜.类比推理与立体几何教学.数学通报，1991-11.

（作者单位 陕西省西安市第三十三中学）