中学数学习题教学的策略分析

朱彩红

[摘 要] 题组教学能让学生在解题的过程中感知题组的内在规律，探究、发现题组内蕴涵的知识和方法，达到培养学生思维能力的目的. 本文从多个角度论述了优化设计题组教学对学生思维发展的重要意义，指出教师在教学实践中要精心设计题组，走出题海战术，减轻学生负担，提高课堂效率.

[关键词] 优化设计；题组教学；思维能力

美国数学家克莱茵说过：“数学是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度.”中学数学教学大纲明确指出，“发展思维能力是培养能力的核心”“要重视学生在获取和运用知识过程中发展思维能力”. 作为数学教学主体的习题教学，应重视数学练习设计的研究，不断改进、优化练习的设计与实施. 优化题组教学是培养学生思维能力的一种有效途径.

所谓题组教学，是指围绕某一教学目标或知识点，精选一批具有代表性、系统性的习题，将知识、方法、技能融于其中，让学生在解题的过程中感知题组的内在规律，探究、发现题组内蕴涵的知识和方法，达到培养学生思维能力的目的.

优化设计梯度型题组，培养学生思维的深刻性

学习活动是一个由易到难、由简单到复杂的过程，题目的设置应符合学生的认识规律，采用化难为易的办法，用题组训练的方式把一些较复杂的问题设计成一组有梯度的问题，给学生以清晰的层次感. 例如：

（1）已知一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，则第三边长多少？

（2）已知一个直角三角形，有两边长分别为3和4，则第三边长多少？

（3）已知一个三角形，有两边长分别为3和4，则第三边的长能确定吗？能否求出第三边的取值范围？

上述题组由易到难、层次分明，把学生的思维逐渐引向深入. 第（2）题用到了分类讨论思想，第（3）题则用到了不等式的思想，这样的安排能使学生既复习三角形的三边关系，又掌握勾股定理，而且在逐渐深入的问题中品尝到成功的喜悦；既掌握了知识，也深刻认识了问题的本质，能培养学生思维的深刻性.

优化设计“拆卸型”题组，培养学生思维的变通性

“拆卸型”题组是对于一个较复杂的题目或知识点，将它支解成若干部分来解决题目的一种题组. 这种题组是结合学生的认知水平和学生的思维能力而设计的，使学生容易接受知识，特别是基础一般的学生效果更突出.

例如，求方程x-1+x-2=5的解.

绝对值是数学中活性较高的一个概念，而本题属于含有多重绝对值符号的复杂绝对值方程，学生要解决此类问题有一定的困难，为了给学生道出解决问题的方向，我将此题支解成下面的题组：

（1）若x<1，x-1=____，x-2=____，方程x-1+x-2=5的解为____.

（2）若x≥2，x-1=____，x-2=____，方程x-1+x-2=5的解为____.

（3）若1≤x<2，x-1=_______，x-2=____，方程x-1+x-2=5的解为____.

（4）求方程x-1+x-2=5的解.

通过上述“拆卸型”题组的设计，不仅将x的取值范围分解成几部分，而且将含有多重绝对值符号的复杂运算分解为含有单一绝对值符号的简单运算，对各部分逐个解决，并在此基础上变中求进，进中求通，进一步探索问题的本质属性，能有效地培养思维的变通性.

优化设计对比型题组，培养学生思维的批判性

许多结构形式与叙述方式相近的习题，学生很容易产生混淆，如果教师在教学时能适当选用一组对比型题组进行教学，让学生通过比较在同中求异、异中求同，则可使学生在比较中理解知识、掌握知识.

例如，在教学“平行四边形”这一章时，由于各种四边形的概念多，学生难以区别，可选用下列习题：

①对角线互相垂直的平行四边形是正方形；（错误，是菱形）

②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；（错误，不一定是特殊四边形）

③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；（正确）

④对角线互相垂直的矩形是正方形；（正确）

⑤对角线相等的菱形是正方形；（正确）

⑥对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形. （正确）

以上题目基于四边形这一章易于混淆的概念，貌合神离， 答案不尽相同. 很多章节在学生平时的练习中屡有混淆，错误率高，因此，要引导学生三思而后行，像这样易错之处用题组的形式出现，能有效地引起学生对细小问题的注意，有利于错误的避免与纠正，也有利于培养学生思维的批判性.

优化设计归类型题组，培养学生思维的广阔性

为了培养学生思维的广阔性，应当增强数学教学的变化性，为学生提供思维的广泛联想空间，使学生在面临问题时能够从多种角度进行考虑，真正做到“举一反三”. 归类型题组是一类问题的典型代表，解剖它即解剖了一类题，掌握它即掌握了解一类题的钥匙.

例如，a为何值时，方程x2+x+a=0没有实数根？

这是一道十分典型的例题，具有普遍的适用性，为了让学生抓住事物的本质属性，可引导学生作如下探讨：

（1）a为何值时，二次函数y=x2+x+a的图象与x轴没有交点？

（2）a为何值时，抛物线y=x2+x+a位于x轴的上方？

（3）a为何值时，二次函数y=x2+x+a的值恒为正？

（4）a为何值时，不等式x2+x+a≤0无解？

（5）a为何值时，不等式x2+x+a>0是全体实数？

（6）a为何值时，二次三项式x2+x+a的值恒为正？

上述习题，本质上都可以通过解不等式1-4a<0得出结论. 这种通过改变信息形态得到内容各不相同的命题，总结了Δ在不同数学问题中的广泛应用，学生通过训练能自然地把二次函数、不等式和方程等相关知识构建成一个整体，达到懂一题晓一片的效果，不仅丰富了题目的内涵，扩大了知识的覆盖面，也培养了学生思维的广阔性.

优化设计互逆型题组，培养学生思维的双向性

为进一步打破学生禁锢于单一方向的思维定式，促进互逆思维习惯的形成，教师在教学中应精心设计可互逆式习题，逐步启发、适时点拨，引导学生将题中的题设与结论互换互逆，发挥“原材料”的功能性，以提高学生互逆思维转换能力，培养学生双向思维的良好习惯.

这三道习题都考查了三角函数和勾股定理的运用，综合性较强. 互换了题设和结论，其结构虽然发生了变化，但其解题思路、方法却很类似，只要将解题的顺序灵活调整即可. 这样的“借题发挥”，不仅提高了学生的解题能力，而且增强了学生的双向思维能力.

优化设计拓展型题组，培养学生思维的创造性

拓展练习是在基本题的基础上，逐步变换条件与问题，加大题目难度，要求学生一一解答. 这种练习不仅能使学生清楚地看出数学题变化的来龙去脉，弄清解题思路的脉络，而且对发展学生的推理能力、训练解题思维的灵活性和创造性都有好处.

例如，如图2，在正方形ABCD中，点E和点F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°，求证：EF=BE+FD.

由本题的解法，可编拟如下拓展题：

（1）如图3，在正方形ABCD中，点E和点F分别是BC，CD延长线上的点，且∠EAF=45°，求证EF=BE-FD.

（2）如图4，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，点E和点F分别是BC，CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，求证：EF=BE+FD.

（3）如图5，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，点E和点F分别是BC和CD延长线上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，求证：EF=BE-FD.

（4）如图6，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E和点F分别是BC，CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，求证：EF=BE+FD

（5）如图7，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E和点F分别是BC，CD延长线上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，求证：EF=BE-FD.

通过拓展和延伸，学生不仅在解题思路上发生拓展与迁移，而且在解题的方法与技巧上也能得到许多启示，这对培养学生思维的深刻性和创造性都极为有利.

综上所述，优化设计题组教学能走出题海战术、减轻学生负担、提高课堂效率，而且能充分调动学生学习的积极性，对学生掌握数学知识、培养和发展学生思维能力都有重要的作用.