“计白当黑、着墨无痕”的数学教学艺术

严俊

摘 要：本文从新课标理念和高中数学教学实际出发，借鉴中国传统绘画 “计白当黑、着墨无痕”的思维技巧，对高中数学课堂教学提出几点做法，旨在探究如何提高学生学习效率.

关键词：计白当黑；概念习题教学；数学结构；学习评价；自我拓展；转化能力

数学在高中课程体系中占有重要地位，《高中数学课程标准》从三个维度对高中数学教学提出指向性明确、操作性强大的课程要求，有效指导了高中数学教学. 数学教学内容丰富，知识点与数学能力点特别多，而数学学科历来特别重视数学过程的思维方法教学与训练，相当多的数学教师还重视让学生接受数学美熏陶与热爱数学的情感取向培养. 如此多的教学目标势必面临的成本挑战很多：学生精力、课堂学习时间有限，兴趣注意与分配的领域有限；更残酷的现实是，高考竞争让高中数学教学被功利性绑架. 应对挑战的各类教学模式应运而生，都尽可能在有限教学时空内增大教学容量，学生独立思维空间基本压缩殆尽. 许多数学教育家、数学家质疑，学生花费大量时间学习数学，但仍然存在效率与效果的问题.

在数学教学中，我们可以以中国传统绘画思维作借鉴. 例如，初看齐白石的一幅绘画作品“虾戏水中”，只见活泼动弹的虾，悠然漂浮的水草，晶莹剔透的水底石，却不见画中有水；再细评，处处是水，虾的动作是在划水，水草随水波而舞，石因水对光的反射、折射而光彩四溢. 大师画中尽管于水未着点墨，却通过巧妙构思引导观众遐想联翩，胸中溢满水. 传统绘画称这种“留白”技巧为“计白当黑、着墨无痕”，效果极佳.数学教学若能巧妙处理，“计白当黑”，留给学生足够多的教学时空，教学效果必然会大有提高. 实践中，如下几个数学教学细节的处理技巧值得重视，提供给读者分享.

[?] 新概念教学，教师毋庸过度解读，而是引导学生自我拓展概念

中学数学教学中概念教学占有重要地位，主要内容包含系列化概念体系. 概念教学，教材中往往这样安排，以一系列材料引入，进一步归纳，辅之以各类变式范例，以期达到让学生掌握概念的内涵与外延的目的. 但如果照本宣科，只是达到最起码的概念教学的目的. 用三维目标观点，从数学教育本质看，需达到的教学目标至少还有：激发概念学习的需要与兴趣，学会归纳内涵与外延，将新概念纳入自我内在的概念体系，处理相关问题能用概念识别、推理、分析与综合，在新概念学习中掌握学习概念的技巧；对能力发展较高水平的学生，还应学会提出后继概念. “计白当黑、着墨无痕”，教师不应“一条龙”包办，对新概念过度解读，反而抑制学生思维.高明画家工夫下在画外，数学教师工夫要下在课前，课堂教学时空中敢于不着痕地 “留白”，顺其自然引导学生参与概念建立与运用的各环节，体会概念、内化概念，运用中辨明概念内涵与外延，建立概念有机体.

例如“极坐标系”教学，很多教师采用的教学流程是：教师口述或以多媒体展示需要运用极坐标的实例，然后教师概括极坐标系定义，最后指导学生当堂进行巩固训练. 采用“计白当黑”的技巧，可用如下思路：课前将教学案发给学生，抛出系列问题让学生预习，如“你在教室里，王丹在操场上，试问王丹跟你联系时，怎样能把自己在操场上的位置说清楚？”“最多能采用几种方法说清楚？”“采用的这些不同方法各有什么特点？”“采用的不同方法之间有什么联系？”，课堂教学中让学生充分提出见解，学生回答可能五花八门、不规范，教师需要逐步帮助学生理清叙述，让学生用比较规范的数学语言把想法概括出来，极坐标系的概念就在学生讨论中生成了. 这里比较难的问题是极坐标系中坐标与位置的“多对一”的对应关系，因学生早已适应直角坐标系中的坐标与位置的一一对应关系. 教师可列举实例，如：一同学以操场中心某一位置为圆心，在操场上沿圆形轨道跑步，跑一圈后，他的位置与原来出发位置重合，极径未变，极角增大了2π；进一步还可引入负极径、负极角的概念. 而要回答“你采用的不同方法之间有什么联系？”这个问题，就需找出极坐标系与直角坐标系的坐标互化关系与方法. 这样，立足于学生自我探究与自我概念建构，表面上教师少讲，其实教师准备课前的工作量更大，因为教师需要精心准备供学生预习思考讨论的问题，需构思如何引导学生归纳、内化概念的实例与教学的细节；学生课上动脑时间增多，积极兴奋状态增多，学概念的过程一直都在训练思维，概念内化效果好.

[?] 典型例题教学，教师毋庸招数尽显，而是引导学生自我展示技法

数学教学中解题教学处于核心.解题教学值得重视的一点，就是培养学生问题转化的能力、数学结构关系之间联想与联系的能力. 数学结构可以是代数式、几何图形、逻辑关系、或者推理模式等. 很多教师习题教学采用的思路是：先由教师详析典型例题，接着学生当堂巩固训练. 这种模式，教师竭尽所能，例题解剖得滴水不漏，学生和其他听课教师惊叹不已，为其介绍的解法之精妙拍案；学生的巩固训练，往往是同类问题模仿性训练，思路寻找、推理的数学步骤、结论的得出都跟例题很切合. 这样训练的学生是考试高手，未必真正理解数学，对数学产生不了兴趣. 当然高考还未必成功，高考数学陌生题数量很多，相当多的学生依旧束手无策.

因此，与其教师讲得苦，学生练得苦而且变通能力差，不如改变教学理念. 习题教学，就像画国画，教师同样要敢于“计白当黑”，敢于留白，留出足够多教学时空，留出足够多问题让学生自己探究.

例如，在教学“椭圆与直线关系”，教师可在课前学案中“抛砖引玉”：现有椭圆C：+=1（a>b>0），已知其上顶点是A，左、右焦点分别为F1，F2，而C经过点P

，

，以AP为直径的圆恰好过右焦点F2. （1）求椭圆C的方程；（2）若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，试问：在x轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由.

这道题设置的两个问题呈现一定的梯度：第一问涉及椭圆的定义与椭圆的几个主要参量关系；而第二问主要涉及直线与椭圆的相对位置关系跟它们的方程之间关系的数学联系. 第一问，在教学中教师就可以彻底放手让学生解决；第二问，教师可以首先引导学生将直线与椭圆位置关系满足的代数、几何关系回溯到直线与圆的位置关系中几何位置关系与代数方程之间的联系，然后让学生相互讨论，最后让学生解答这个问题. 在教学中，学生依靠自己的能力完全可以解决这道习题：

（1）椭圆C的方程是+y2=1.

（2）直线方程为x=±时，存在两个定点（1，0），（-1，0），使其到直线l的距离之积为定值1.

[?] 教学评价过程中，教师毋庸指点江山，而是引导学生自我总结

数学教学中长期容易被忽视的环节是学生的学习评价问题. 学习评价绝不仅是阶段性考试，其实教学的每个阶段，每解决一个问题或完成一个学习目标，都存在评价问题. 及时到位的评价，可激发学生学习积极性，及时解决学习中存在的问题，有效进行师生之间、学生之间的互动. 很多数学教师在课堂教学中，要么缺少教学评价，要么包办所有的评价过程，学生没有在评价中积极参与，而是被动等待裁判式的评价结果，课堂学习的积极性太低. 换个思路，不如放手让学生积极参与评价，让学生在评价中学会思考，建构良好的数学价值取向. 教师同样要敢于“计白当黑”，敢于让学生大胆评价，不能因学生不适当评价乃至错误评价而不敢放手.例如下面这道题：

a>0，f（x）=ax3-bx（x∈R）的图象上相异两点A，B处的切线分别为l1，l2，且l1∥l2. （1）判断函数f（x）的奇偶性，并判断A，B是否关于原点对称；（2）若直线l1，l2都与AB垂直，求实数b的取值范围.

课堂教学中，有些学生直接根据函数奇偶性定义判断，也有学生运用导数和其他数学技巧判断，学生自我或相互评价时，评价很热烈，评价带来的教学效果很好：第一种方法容易联想到，计算按部就班，但计算量稍大；后一种方法不易联想到，但数学技巧运用灵活，对奇偶性和对称的理解更深刻一点. 对第二问，很多学生经过认真独立思考和相互讨论后提出如下解决方案：

由（1）知A（x1，y1），B（-x1，-y1），所以kAB==ax-b，又f（x）在A处的切线斜率k= f′（x1）=3ax-b，因为直线l1，l2都与AB垂直，所以kAB·k=-1，（ax-b）·（3ax-b）= -1，令t=ax≥0，即方程3t2-4bt+b2+1=0有非负实根，所以Δ≥0?b2≥3. 又t1t2=>0，所以>0?b>0. 综上b≥.

学生评价时进行自我归纳：这一问，要求会熟练运用函数性质和导数的运算与应用，以及一元二次方程根的分布；同时学习了运用换元法推理论证的方法. 学生的评价代替了教师的“指点江山”，学生的数学学习积极性高涨，学习方法的理解也更深刻.

反思之余，笔者认为，无论采用何种现代化教学手段，采用多少现代教育思想，变换多少教学模式，调整多少次教学内容，让学生愿独立思考，会独立思考，养成独立思考的习惯，才是解决数学学习效率问题的根本出路之一. 数学教学若能巧妙处理，“计白当黑”，留给学生足够多的教学时空，引导学生逐步自我领略数学美景，体会数学真谛，进而愿独立思考，会独立思考，养成独立思考的习惯，教学效率必有显著改观.