巧用辅助圆解几何题

万丽

“圆”是特殊的平面曲线图形，而学习圆的特殊性质也是初中数学中的一项重要的任务，虽然《课程标准》中降低了原《教学大纲》中圆的定理教学和演绎证明的要求，但圆为三角形的运用及化归思想的培养，以及巩固和深化“图形变换”的教学提供了理想的平台。某些几何题通过添加辅助圆，能收到意想不到的效果。下面列举三种适合添加辅助圆的几何题。

1.等距离型：即若干个点到某一点的距离相等。到定点的距离等于定长的点都在圆上，这一结论既是判定点在圆上的依据，又是添加辅助圆的依据。

例1 求证：如果三角形一边上的中线等于该边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

已知：如图1，在△ABC中，BM=CM，且AM=■BC.求证：∠BAC=90°.

解析：由已知得BM=CM =AM，故点B、C、A在以BC为直径的⊙M上，如图2，根据直径所对的圆周角为直角得∠BAC=90°.

图 1 图 2

2.直角型：90°的圆周角所对的弦是直径，直径所对的圆周角是直角，这成为由直角联想到辅助圆的依据。简称“有直角想直径”。

例2 如图3 ，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），直线l ∶ y=-2x+4分别与x轴和y轴相交于B、C两点。

（1）点B的坐标为 ，点C的坐标为 ；

（2）在直线l上是否存在点P，使得△AOP为直角三角形。若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

图 3 图 4

解析：△AOP为直角三角形，并没有明确哪个角是直角，故需分三种情况讨论，即∠AOP、∠OAP、∠APO分别为直角。当P为直角顶点时，由直径所对的圆周角是直角，联想到P点可以看作是以AO为直径的⊙B与直线l的交点，这样的P点有两个（如图4）。在这种情况下要求点P的坐标时，一种方法是看出PB是Rt△AOP斜边上的中线，从而用几何方法求得。如果知道圆上的点满足的关系式，也可以用它与直线的表达式联列成方程组求得。

3.互补型：我们知道利用圆中同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可以证明圆的内接四边形的对角互补.利用这一点我们也可以构造辅助圆解决几何题。

例3 如图5，点P是锐角△ABC所在平面上的一点，如果∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则称点P为△ABC的费马点。

（1）当△ABC是边长为4的等边三角形时，费马点P到BC边的距离为 ；（2）如图6，在锐角△ABC的外侧作等边△ACB′，连接BB′，能否在线段BB′上取一点P，使P成为△ABC的费马点，并给出说明；（3）如图7，利用尺规找出△ABC的费马点P（不写作法，保留作图痕迹）。

解析：本题是一道阅读理解题，对于第（1）小题，学生利用等边三角形的的性质不难想到此时P点就是等边三角形的内心（或外心），解决起来没有什么问题。但是第（2）小题却会很难入手，不知道该用什么知识去解决，此时如果发现已知条件中角度之间的关系，120°与60°互补，再结合圆的内接四边形的对角互补，从而联想到作△ACB′的外接圆，与BB′的交点就是P点。因为∠CPA+∠CB′A=180°，所以∠CPA=120°.根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”，可以知道∠APB′=∠ACB′=60°，从而得到∠BPA=120°，同理也可以得到∠CPB=120°。有了这种思想的铺垫，第（3）小题就迎刃而解了，因此受前面一题的提示，此时既然没有60°角，那么我们可以去构造，从而就模仿第（2）小题，在△ABC的外侧作等边△ACB′，然后再作△ACB′的外接圆，与BB′的交点就是P点，理由与第（2）小题一样。

数学的一个很大魅力就是知识间的互相渗透与运用，由上面几种类型的例题可以使我们充分感受到辅助圆在几何证明中起到的巨大作用。那么在碰到问题的时候怎么判断是否可用圆来解决呢，这主要还是从图形的特点以及圆的相关性质来进行判断，同时利用辅助圆解决几何问题也是高中比较常见的解题方法。