浅谈数学分析对中学数学的指导作用

原春丽

【摘要】在中学数学中，数学分析有着极其重要的指导效能。运用数学分析法来解答问题可以把那些比较抽象和复杂的运算公式给避开，对解题过程进行了优化，适当降低了数学解题的难度，有利于帮助学生找到一条解题的捷径。本文就从一些具体的实例出发，谈一谈数学分析对中学数学的指导作用，以期能够为广大中学生带来一些帮助。

【关键词】数学分析 中学数学 指导作用

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）07-0115-01

当前，在中学数学当中，受限于知识的局限性，许多中学生在解答一些抽象以及复杂的数学题时往往会陷入一个困境当中，在理解一些基本概念时也会茫然失措，顾此失彼。而利用数学分析就可以把这些难题进行完满解决。数学分析是一门来源于实践又在实践中直接运用的学科，在教材中有大量利用数学分析的知识范例，学生对这些范例进行学习，就会增强自身的应用意识，使自身的数学素养得到提高。由此可见，在中学数学中，数学分析有着很强的指导作用，在解题的过程中合理运用数学分析就显得非常重要。

一、数学分析和中学数学之间的联系

数学分析是在中学数学的基础上形成起来的。数学分析的一些概念如数学导数、数学积分以及无穷级数的收敛等都是在中学数学的基础中演变而来。一些中学代数和几何无法解决的问题运用数学分析就能够有效解决出来，从这一点上来看，数学分析是为了解决中学数学中不能够解决的问题而逐渐发展形成的。数学分析对函数性质的研究是在实数范围之内进行的，在数学分析中，实数理论是基础。通常情况下，实数一般分为两种，一种是有理数，一种是无理数。然而中学数学无法回答出无理数的一些问题，如无理数有没有大量存在着？这些问题就可以通过数学分析来进行完美的解答。在中学数学中，函数也是比较重要的内容，而数学分析是对函数进行研究的。中学数学主要是对函数的一些简单性质以及概念图像来进行研究，在课文中讨论的内容也只是局限在函数的定义域、函数的值域、坐标轴的交点以及极值上，在研究方式上主要是依照把函数的定义给出来，运用式子的恒等变形，经过对方程式进行解答来进行探讨的。这就有着非常大的限制性，在学习的时候还要求学生掌握一些技巧，这就在无形之中给函数的研究增添了许多困难。而如果运用微积分去进行研究，函数的解答就会有一个简单易行的方法。同时，方程和不等式也是中学数学中比较重要的内容。中学数学对方程和不等式进行求解时有很多局限性，需要有一定的技巧才能进行求解。用数学分析来解方程和不等式只要把函数的零点或者是两条曲线的交点进行解答就可以了。除此之外，数学分析也是和几何问题有着紧密的联系，几何中任意曲线的切线以及渐近线运用数学分析很容易求解出来。

二、数学分析对中学数学的指导作用

数学分析对中学数学有着非常重要的指导作用，在这里，就以几个数学实例是说明这种指导作用。在中学数学中，讨论函数的单调性只能依照其定义来进行，如假设x10进行证明，从而得出函数的基本单调性，这种方法没有办法把函数在定义域中的单调性全貌给展示出来，而且还比较机械和繁琐。在数学分析当中，只需要运用导数的正负关系，就可以把函数的单调区间合理的给求解出来。比如，假设f（x）=x3-x，现对函数f的单调区间进行讨论。这道题运用数学分析就可以这样解：由于f（x）=3x2-1=（■+1）（■-1），因此当x∈（﹣∞，-1/■）的时候，f（x）≧0，f则递增；当x∈[-1/■，1/■]时，f（x）≦0，则f递减；当x∈[1/■，+∞]时，f（x）≧0，则f递增。那么，由此就可以得出函数的单调性；同样，函数极值的应用题在中学数学中也比较常见。其求解的时候一般运用像平均值不等式这类的基本不等式来进行，这就要求广大学生要有着非常要的解题技巧才能够解答出来，而在数学分析当中，只要运用简单的导数就可以把答案很快解答出来。比如，现求f（x）=x2+432/x的极值。那么，这个题运用数学分析就可以这样求解：当x≠0的时候，f（x）=2x-432/x2=2x2-432/x2，令f（x）=0，就可以得出一个稳定点x=6。又因为f（6）=（2+864/x3）x=6>0。那么，依照函数极值的第二个充分条件，x=6是f的极小值，则极小值就是f（6）=108；此外，在证明恒等式上，中学数学方法通常运用一些比较高的解题技巧，在数学分析中不必要这么麻烦，它只需要依照拉格朗日中值定理的一个推论就可以把恒等式给证明出来。比如：对arctanx+arccotx=π/2，x∈R进行证明。此题就是利用数学分析中拉格朗日中值定理的有效推论就可以马上得出答案。证明：因为x∈R，有（arctanx+arccotx）=1/1+x2-1/1+x2=0，因此，arctanx+arccotx=c，y=arctanx的定义域就是（-∞，+∞），值域则是（﹣π/2，π/2），那么y=arccotx的定义域就是（-∞，+∞），值域则是（0，π），同时，为了把c进行确定，可以在定义域中任取x的值，令x=0的时候，有c=arctan0+arccot0=π/2，因此arctanx+arccotx=π/2，x∈R。

对中学数学的教师来说，要不断的为自己充实数学知识，提高自身的教学素质，只有这样，才能在教学的过程中把数学知识应用的游刃有余、得心应手。要不断与数学分析中的理论以及思想方法进行一个接触与了解，让自身的知识能与现代社会相符合，能够更加现代化。用一些新知识和理论去对中学数学中的内容进行理解，让数学分析中能够对中学数学教学的实践做一个有效指导，才能体现出数学的真正魅力。广大教师要首先熟练掌握与理解数学分析中的理论和指导思想，要持续不断的对相关资料进行收集，不时做一些读书笔记，善于把数学分析和中学数学融合在一起，并进行比较。久而久之就会把数学分析运用的潇洒自如，也就会在贯彻数学分析对中学数学的指导作用上自然而然地运用了。

三、结语

在中学数学中，教师和学生要善于通过数学分析来对数学教材进行一个深刻理解，要注重把数学分析和中学数学结合在一起，灵活运用数学分析中的思想方法和理论原理，高瞻远瞩的去看问题，就一定能够获取更多的知识和收获。同时，就数学本身具有着严密性来看，广大教师要对数学内容中的某一些理论论述深度进行了深入了解，深化对知识实质性的认识，能够对那些选配的不是很合理的数学问题能及时的充实和熟练掌握。只有这样，在中学数学教学当中，我们才能更加对数学内容进行一个深刻理解，也才能把中学数学推向一个全新的高度。

参考文献：

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