2K—H（A）型行星轮系“模型化”分析

徐志山

摘 要：本文首先从实体上建立了行星轮系的物理模型，根据力的平衡和能量守恒关系推导出行星轮系的运动方程；然后从理论上对2K-H（A）行星轮系建立了数学模型，结合数理分析，得出了同样的运动方程。这种“模型化”的分析方法揭示了行星轮系传递运动的内在规律性，为其他轮系的分析提供了新的方法。

关键词：2K-H（A）行星轮系 模型化 物理模型 数学模型

行星轮系属于非定轴轮系，它结构紧凑、重量轻，可以实现多个传动比，在传动、减速机构中多有应用。所谓2K-H（A）型行星轮系，就是两个中心轮和一个行星架组成的行星齿轮传动机构，结构示意图如图1所示，主要由四部分组成：中心太阳轮A、齿圈B、行星轮C和行星架H，其中A、B、H的转动轴在一条直线上，称为行星轮系的基本构件，且轴线固定，C可以绕该转动轴转动。设A、B、C的齿数分别为zA、zB和zC，它们的模数都相同，明显有zA

图1 2K-H（A）型行星轮系的结构示意图

一、2K-H（A）型行星轮系“模型化”假设

1.假设

承受一定载荷的行星轮系在传动过程中传递运动和动力，为了便于分析，首先提出三点假设。

第一，若行星轮系中定轴主动件匀速转动，则其他各个定轴从动件都处于匀速转动——运动假设。

第二，若不考虑行星轮系各构件间的摩擦和制动带来的能量损失，则该轮系的输入功率等于输出功率——能量守恒假设。

第三，若主动件在啮合点的施力方向与速度方向一致，该主动件向轮系输入功率；反之，则吸收功率。从动件在啮合点的受力方向与速度方向总是一致，对外输出功率——能量分配假设。

2.特征

根据“模型化”假设，2K-H（A）型行星轮系具有如下特征。

第一，若行星轮系某一构件匀速转动，则其他各构件均处于转动平衡。

第二，行星轮系彼此相接触的构件间存在作用力和反作用力关系，且作用点在啮合点或转动中心上。

第三，若行星轮系某一构件在啮合点和转动中心上存在作用力，则它们在同一平面内，且彼此相互平行，并对该构件在这一平面内任意一点力矩的代数和为零。

二、2K-H（A）型行星轮系物理模型

根据2K-H（A）型行星轮系“模型化”假设，将它的各个构件抽象为刚体，运用物理学中力与运动的关系，对构件进行受力分析和运动分析，下面分两种情况讨论。

为了便于分析，设定以下参数，

TA——输入给太阳轮A的动力矩，

TB——输入给齿圈B的动力矩，

TH——行星架H的输出动力矩，

rA——太阳轮A的分度圆半径，

rB——齿圈B的分度圆半径，

rH——行星轮与太阳轮转动中心之间的距离，且 ，

——齿圈与太阳轮半径之比。

1.单自由度物理模型

将2K-H（A）型行星轮系中某一基本构件固定后，该轮系变成有三个活动构件、三个低副和两个高副的轮系，由平面运动机构的自由度计算公式，可得

F=3n-2PL-PH （1）

这里，n、PL、PH分别为机构的活动件数、低副数和高副数。显然，该轮系的自由度为

F=3×3-3×2-2=1

我们称这种轮系为单自由度行星轮系。根据轮系的传动规律，单自由度行星轮系只需一个主动构件，该机构就有确定的运动规律，但计算它的传动比与定轴轮系大不相同。为了便于分析计算，先来分析受力，可分解为以下六种情况。

第一种情况：A为固定件，B为主动件，H为从动件。

第二种情况：A为固定件，H为主动件，B为从动件。

第三种情况：B为固定件，H为主动件，A为从动件。

第四种情况：B为固定件，A为主动件，H为从动件。

第五种情况：H为固定件，A为主动件，B为从动件。

第六种情况：H为固定件，B为主动件，A为从动件。

下面以第一种情况为例，分析轮系各构件间的受力情况，其受力图如图2所示。

图2 A为固定件，B为主动件，H为从动件

在图2中，假设中心太阳轮A为固定件，转速ωA=0，齿圈B为主动件，转速为ωB，行星架H为从动件，转速为ωH。对行星轮C的转动有影响的力是：受到中心太阳轮A、齿圈B和行星架H的力FAC、FBC、FHC分别作用在啮合点OA、OB和行星轮的中心OC上，主动件齿圈B的转向，显然有B对C的力FBC方向向右，且FBC的大小与主动件的输入转矩有关。现在来判断其他力的方向和大小。

行星轮C处于转动平衡状态，满足对啮合点OA的力矩平衡，即 M（OA）=0 （2）

由（2）式知，可以判断行星轮在转动中心 处受到的力 方向向左，且有 FHC=2FBC （3）

因为行星轮满足受力平衡，应有 ∑F（C）=0 （4）

由（4）式知，FAC的方向向右，且有 FAC+ FBC = FHC （5）

由（3）、（5）式，可得 FAC = FBC （6）

同理，可以分析第二种情况至第六种情况中行星轮的受力情况，从中可以看出，即使主动件不同，但它们都有相同的受力情况。在FAC、FBC、FHC中，必有一个为主动件产生的力，称为主动力；另外两个分别为从动件和固定件产生的力，称为被动力，且都满足（3）式和（6）式。

再来分析图2的运动情况。

主动件齿圈的输入功率P1为 PI=TBωB=FBCrBωB （7）

根据作用力和反作用力的关系，从动件行星架为顺时针转动，且对外输出，输出功率PO为

PO=THωH=FHCrHωH （8）

根据能量守恒假设，PO=PI′，经过化简，得到

ωA +αωB-（1+α）ωH =0 （9）

我们就称（9）式为单自由度行星轮系基本运动方程。

2.双自由度物理模型

在2K-H（A）型行星齿轮机构中，若基本构件都不固定，该机构有四个活动件、四个转动副和两个齿轮副，由自由度计算公式，可知自由度为2。这样的机构要有两个活动的主动件作为输入件，机构的输出件才有确定的输出，这种轮系又称为差动轮系。从传动方式上看，该机构的传动方式有三种。方式一：太阳轮和齿圈为主动件，行星架为从动件；方式二：太阳轮和行星架为主动件，齿圈为从动件；方式三：齿圈和行星架为主动件，太阳轮为从动件。

先来分析方式一。如图3所示，A、B为主动件，转速为ωA、ωB，且ωA>ωB，都为顺时针方向，H为从动件，根据相对运动关系，太阳轮A对行星轮C的力FAC方向向右，由行星轮系的运动特征，齿圈B对行星轮C的力FBC也向右，行星架H对行星轮C的力FHC向左，依旧有

（10）

因为中心轮A和齿圈B对行星轮C在啮合点的施力方向与速度方向相同，均输入功率；行星架H输出功率。在不考虑能量损失时，行星轮系能量守恒，即轮系输入功率等于输出功率。

图3 A、B为主动件，H为从动件

主动件的输入功率PI为

PI=TAωA+TBωB （11）

因为 TA=FACrA，TB=FBCrB

所以 PI=FACrAωA+FBCrBωB （12）

根据力的作用相互性原理，行星架收到行星轮的反作用力作用，使行星架顺时针转动，行星架输出功率

PO=THωH （13）

因为 TH=FHCrH

所以 PO=FHCrHωH （14）

根据能量守恒假设，由（12）式和（14）式可得

FACrAωA+FBCrBωB=FHCrHωH （15）

进一步化简，得

ωA +αωB-（1+α）ωH =0 （16）

对于图3还有两种情况，两个主动件转向相反，必然一个主动件向轮系输入功率，另一个主动件从轮系吸收功率，根据轮系的能量分配假设，得到如下两种情况。

第一种情况，A顺时针转动，且输入功率为

ωA - αωB-（1+α）ωH =0 （17）

第二种情况，B顺时针转动，且输入功率为

-ωA +αωB-（1+α）ωH =0 （18）

综合分析式 （17）和式（18），写成统一的矢量式如下。

（19）

我们称（19）式为双自由度行星轮系基本运动方程。 、、均为转速矢量，它们的方向在同一条直线上。在应用（19）式时，首先确定参考正方向，可以是某一矢量的方向为参考正方向，其他矢量与此同向取正值，相反则取负值，这样就可以将行星齿轮传动方程的矢量式变成标量式。

同理，运用轮系的能量守恒假设和能量分配假设分析方式二、方式三都得到与式（19）相同的结论。

综合以上分析，从“物理模型”来分析2K-H（A）型行星轮系，不论是单自由度，还是双自由度，都遵守同样的运动规律。

三、2K-H（A）型行星轮系数学模型

所谓数学模型，就是建立研究对象的函数式，首先确定自变量和因变量，然后找出因变量和自变量之间的函数关系。对于2K-H（A）型行星轮系，基本构件和行星轮的运动都在同一平面内转动，且基本构件的回转轴线都在一条直线上，由相对运动原理可知，各基本构件间的相对转速仅与构件间的转速差有关，而与某一构件的转速无关，且从动件的转速随着主动件转速的变化而变化。

为了便于分析，假设齿圈B和行星架H为主动件，各自的转速ωB、ωH为数学模型的自变量，中心太阳轮A为从动件，相应的转速为因变量，则从动件的转速和主动件转速的关系可以用函数表示如下

ωA=ωA（ωB、ωH） （20）

我们称（20）式为行星轮系的数学模型。在上式中， ωB、ωH为函数的自变量，第一个ωA是函数的因变量，第二个ωA是函数的对应法则。

对（20）式取微分

（21）

其中，的物理意义为：表示在ωH不变的情况下，ωA=随ωB的相对变化率，若以行星架H为参考系，则可以表示为

（22）

式中，iHAB表示中心太阳轮A与齿圈B在以行星架H为参考系的转速之比，称为相对传动比，在该参考系中，行星轮系转变为定轴轮系，这样：

（23）

所以 = - α （24）

同理， = = （25）

由（22）（25）式，可知

（26）

即 （27）

将（24）（27）式代入（21）式中，得

dωA=-αdωB+（1+α）dωH （28）

再对（28）式两边积分，当ωA的积分区间为[0，ωA]时，ωB的积分区间为[0，ωB]，ωH的积分区间为[0，ωH]，得到定积分表达式

∫oωA dωA= - α∫oωB dωB+（1+α）∫oωHdωH （29）

整理（29）式，得

ωA+αωB-（1+α）ωH = 0 （30）

写成矢量式 （31）

综合以上分析，（19）式和（31）式具有相同的表达式，即数学模型分析和物理模型分析所得结论相同。

四、小结

2K-H（A）型行星轮系有内在的运动规律，通过对其建立物理模型和数学模型，采用“模型化”分析方法，推导出行星轮系的运动方程，既揭示了行星轮系运动规律内在的统一性，又便于加深对行星轮系应用的理解。任何复杂轮系都可以视为由若干个基本轮系组合而成的。2K-H（A）型行星轮系是基本轮系中的一种，这种“模型化”方法同样适应于其他轮系运动规律的分析。

参考文献：

[1]饶振纲.行星传动机构设计（第二版）[M].北京：国防工业出版社，1994.

[2]李纯德，邹本友.行星齿轮传动速度分析的瞬心——速度矢量法[J].机械设计与制造，2003（4）.

[3]何国旗，李兴华.行星齿轮传动分析的新方法[J].机械工程师，2003（11）.

（作者单位：宣城职业技术学院）