例谈平面几何的入门教学

董健　胡秀清

【关键词】几何入门 激发兴趣 概念教学 识图教学 推理论证

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2013）08B-0058-02

初中平面几何教学的成败，在很大程度上取决于其入门教学。学生从初一开始上平面几何课，此时学生正处于从儿童期向青春期的过渡阶段，生理和心理都发生着巨大的变化。这个年龄阶段的学生思维结构正逐步形成，但是抽象思维能力还较弱，他们好动，容易对新事物产生兴趣但又不稳定，刻苦钻研、坚忍不拔的品质尚不成熟。此外，平面几何与代数相比，无论是研究对象或研究方法，都有很大的不同，特别是在研究方法上更注重逻辑推理和严密论证。

几何语言具有简洁、抽象、严密的特点。几何课程的第一部分集中了很多几何基本概念，如直线、射线、线段、线段中点、角、角平分线等，初学者容易陷于死记硬背、不求甚解甚至无所适从的被动局面，造成畏难心理。基础打不好，容易成为后续学习平面几何的障碍。因此教师在教学过程中必须加强看、画、听、读及简单的论证训练，用通俗易懂的语言阐明教学内容，帮助学生顺利度过几何入门这一关。

一、激发学生学习几何的兴趣

兴趣是入门的先导，是学习动机的重要心理成分，只有激发学生学习平面几何的兴趣，才能为入门教学创造有利条件。为此，在讲解几何课程《引言》一节时，教师可以先详细介绍几何学的起源，介绍我们的祖先对几何学发展的贡献，并举例说明几何知识及几何图形在生产建设、日常生活中的广泛应用；然后向学生提出如下问题：你会画我们的国旗上的五角星吗？为什么只要两根钉子就可以在墙上钉好一根木棒？为什么电视塔结构要采用三角形？为什么自行车的轮子是圆的？一连串有趣的问题让学生感受到几何学是一门应用广泛并且具有趣味性的学科，初步建立起学好平面几何的信心和求知的欲望。在随后的教学中，适时地向学生介绍：三角形的稳定性在日常生产、生活中的应用，利用全等三角形、相似三角形的知识测量池塘的宽度等知识。这样，把课本抽象的知识同实际生活结合起来，就能进一步增强学生学好平面几何的积极性和自觉性。

二、抓好数学概念的教学

数学概念是形象思维到抽象思维的过渡，是学生学好几何的基础，要保证几何教学顺利进行，必须使学生建立清晰明确的几何概念。

1.通过自制教具，加强直观教学

我们知道，概念往往是从客观事实中抽象出来的，因此讲解概念时应尽可能从生活、生产的实例引入。以“同位角、内错角、同旁内角”一课为例，进行如下教学。

预先做好教具，上课时展示教具并提问学生：①这三根小木条所构成的图形中共有几个角？（八个角）随后，根据实物，把它抽象成图形，如图2。

然后分别标出八个角，如图3。

②∠1与∠5的位置有何特征？

分析：∠1与∠5分别在直线AB、CD的上方，并且在直线EF的同侧，由此归纳出同位角的定义。∠3与∠5呢？∠2与∠5呢？由此归纳出内错角、同旁内角的定义，并让学生注意区分这三种角。随后分别画出这三种角的基本图形，帮助学生判别：

③揭示学习要点：三条直线相交；交角；位置关系。

④识别训练：补充如下的图形（图4），请学生分别说出图中哪些角是同位角、内错角、同旁内角？（用三个大写的字母表示）

2.对比异同，讲清概念

对于易混淆的概念，在教学中可采用对比分析的方法，找出它们之间的联系和本质差异，加强对概念的理解和记忆。

如在教学对顶角和邻补角时，结合图形，进行如下的教学：

如图5，∠1与∠3，∠2与∠4是对顶角，它们的特点是：①两直线相交；②有一个公共顶点；③没有公共边。而图中的∠1与∠2，∠1与∠4，∠2与∠3，∠3与∠4是邻补角。它们的特点是：①两直线相交；②有一个公共点；③有一条公共边。

结合图形，我们可以发现对顶角与邻补角的相同之处：都是①两条直线相交；②有一个公共点。不同之处是：对顶角没有公共边，而邻补角有一条公共边。为了加深学生的理解，请学生回答图6中的∠1与∠2是不是对顶角？是不是邻补角？并说明原因。

三、重视识图教学，加强图形语言训练

几何语言有三种表现形式：文字语言、图形语言和符号语言。读懂文字语言，正确地认识图形，是学好几何的基础。在教学中，通过读、说、写、画训练，不仅可以加深学生对概念的理解，还可以培养学生的语言表达能力。

学生在入门阶段对几何语言还相当陌生，比如对“任取一点”“有且只有”等几何术语往往不能理解透彻，而生活语言对几何语言又产生负迁移，这又给几何语言教学增加了一定的难度。针对这种情况，在平面几何第一章的教学中，要求学生认真听、认真学、认真记，模仿教师的几何语言。如教“直线、射线、线段”一节时，教会学生“过点×作直线××，连结××交××于×点”等几何术语，教学时教师边讲解边作图示范，并要求学生记住范句；然后反复练习，教师说学生画，教师画学生说，通过反复训练，加深学生对关键的几何术语的理解，并牢固记忆，逐步达到熟练运用的程度。下面举例说明对学生进行图形语言训练的过程。

1.看图回答

①说出图7中共有几条不同的线段？

②图8中共有几个不同的锐角？

③图9中共有几个不同的三角形？

指导方法：以图7为例进行说明，按顺序将两个字母顺次读出：线段AB、AC、AD、BC、BD、CD，共六条线段。

对于图8、图9，我们利用多媒体把不同的角、三角形展示出来，并配以不同的颜色，让学生能直观地看懂图形。

④如图10，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB，垂足是O，∠1与∠2是 ，∠1与∠3是 ，∠2与∠4是 ，∠4的邻补角是 。

2.看图叙述

在黑板上画出图形，要求学生把几何图形译成几何语言与符号语言。

①如图10，几何语言表述为：点O是线段AB的中点；符号语言表述为：AO=BO，或AO=BO=AB，或AB=2AO=

2BO。

②如图11，几何语言表述为：直线AB与直线CD垂直相交于点O，或直线AB与直线CD互相垂直，垂足为O；符号语言表述为：AB⊥CD于点O。

3.根据几何语言，正确地画出图形

几何语言是理解概念、认识图形并进行推理的工具，对于常用几何术语：延长线段 到点 ，使 = ，过点 作 ⊥ ，垂足为 ，连结 。教学时应对照作图过程演示讲解，然后要求学生模仿练习，以明其意。

四、由浅入深，引导学生正确推理论证

命题的证明是几何入门的难点，从对推理过程的模仿到独立书写推理过程，是对推理证明由感性认识上升到理性认识的过程。正因为一开始学生对推理过程的认识是感性的，所以对推理证明的教学从模仿开始，能取得较好的效果。为此我采取以下做法：

1.模仿性论证

开始阶段，选用一些简单的证明题，由教师事先写出证明过程，让学生填写推导的理由，并说出有几层因果关系。

3.变式训练

例：如图14，已知点C、D在直线AB上，AB=CD。求证：AC=BD。

教师证明后可将此题改为：若已知AC=BD，求证：AB=CD。让学生思考证明方法。通过变式训练，可逐步提高学生的思维能力和推理论证能力。

4.独立完成证明

学生通过反复模仿，逐步掌握证明过程后，教师可以鼓励学生自己分析、探索证明方法，独立完成证明，真正达到入门。

例：如图15，已知B、C、D在同一直线上，CE∥AB，∠A=∠B。求证：CE平分∠ACD。

注：教学时，教师可先帮助学生分析解题思路，但要求学生独立写出证明过程，然后根据练习情况进行讲评。讲评时可请个别学生把思维过程叙述出来，让能正确写出推理过程的同学感受成功的喜悦，同时使其他同学得到启发。证明的方法可能不止一种，鼓励学生发散思维，从不同角度思考，用多种方法解题。

在平面几何的入门教学中，教师应注意培养学生的学习兴趣，并在概念、语言、图形、推理等的教学上下功夫，使学生掌握科学的学习方法，才能提高平面几何入门教学的效果，为学生后续更深入地学习平面几何打下扎实的基础。

（责编 易惠娟）