浅谈二元一次方程组中部分难题的解题技巧

2013-04-29程捷逵

中学课程辅导·教师通讯 2013年8期

程捷逵

【内容摘要】解二元一次方程组的基本思想方法就是通过消元将“二元”转化为“一元”。代入法、加减法是解二元一次方程组的基本方法，必须灵活运用，领会并掌握解二元一次方程组的方法，根据方程组的情况，能恰当地运用“代入消元法”和“加减消元法”解方程组。通过简单方法的灵活选择来提高学生的分析问题和解决问题的能力。

【关键词】二元一次方程组巧解化难为易

大家知道，“代入法”与“加减法”是解二元一次方程组的一般方法。它们的实质都是消元。当同学们熟练地掌握了这两种基本解法之后。就能解决一般的二元一次方程组中的题型，但是对于有些复杂一点的二元一次方程组中的有些题型，同学们处理起来还是有点吃力，根据多年的教学经验，和教学中自己摸索的一些教学方法，同学们在听讲时更容易掌握一点。我来谈谈巧解二元一次方程组部分难题的一些方法。

二元一次方程组的题型我大致把它们分为三类：两个方程，三个方程，四个方程。

两个方程是我们书中最长见的，也是同学们练的最多的，他的基本解法有“代入法”与“加减法”。

代入消元法即：将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解。

加减消元法即：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，有些复杂一点的二元一次方程组我们还可以用换元法。

换元法即：解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

以上的方法都是传统一点的方法，大部分的老师和学生都能很好掌握，下面就方程组中有些巧妙的方法我来稍做介绍。

一、两个方程

1.整体代入法

例1、解方程组

解：由①得x-y=1③，将③代入②得4-y=5，即y=-1，代入①得x=0，所以原方程组的解为x=0，y=-1。

2.参数法

例2、解方程

解：设3（x-1）=y+5=k，则有

将③和④同时代入②得

解得k=12，再将k=12代入③④得x=5，y=7。

下面重点来介绍三个方程和四个方程的方程组。

为了便于表达二元一次方程我把他们做出了如下定义：一个方程中如果只含有像x，y这样的两个字母我把他们称之为“简单”的方程，下面我都用“简单”表述，对于一个方程中有三个或四个字母的方程我用“难”来定义他们名字。很明显要解出一个方程组的解只要两个“简单”的方程就可以了。

二、三个方程

三个方程可以分为两种类型：

1.“简单”，“简单”，“难”型。

例3、如果方程组

的解为方程3x+my=8③的一个解，求m。

观察三个方程我们可以发现①②③分别是“简单”，“简单”，“难”，因此同学们自然就学会了先由两个简单方程①②解出方程组的解为x=2，y=1，代入方程③就能解得m=2。

例4、若方程组

中x=y③，求k。

观察三个方程我们可以发现①②③分别是“简单”，“难”，“简单”，因此同学们自然就学会了先由两个简单方程①③组成方程组并解出方程组的解为x=3，y=3，代入②解得k=1。

例5、已知二元一次方程2x+y=3①，2x-my=-1②和3x-y=2③有公共解，求m。

观察三个方程我们可以发现①②③分别是“简单”，“难”，“简单”，因此同学们自然就学会了先由两个简单方程①③组成方程组并解出方程组的解为x=1，y=1，代入②得m=3。

例6、若方程组

的解x与y互为相反数③，求a。

我们可以把方程③改写为x+y=0，观察三个方程我们可以发现①②③分别是“简单”，“难”，“简单”，因此同学们自然就学会了先由两个简单方程①③组成方程组并解出方程组的解为x=1，y=-1，代入②得a=2。

2.“难”，“难”，“简单”型。

对于“难”，“难”，“简单”型我们又可以把它们分为四类。

第一类：对于字母x，y他们的系数不是1或-1，但是两个方程的字母k的系数是1或-1，这类题型我们可以想办法先把两个方程利用加减法把k约掉，得到一个“简单”的方程，再和另外一个“简单”的方程组成方程组解出x，y的值，再带入“难”求出k的值。

例7、若关于x、y的二元一次方程组

的解中，x与y的差为7③，求k。

解：②-①得2x+3y=-1④再由③和④组成方程组解得x=4，y=-3，代入①得k=-2。

例8、关于x、y的二元一次方程组

满足x+y=12③，求k的值。

解：②-①得x+2y=2④再由③和④组成方程组解得x=22，y=-10，代入①得k=-1。

第二类：对于字母x，y他们的系数比较简单是1或-1，但是两个方程的字母k的系数比较复杂，这类题型我们可以想办法先把两个方程利用加减法解出x等于几k，y等于几k，再把x等于几k，y等于几k代入“简单”的方程就可求出k的值。

例9、若关于x、y的二元一次方程组

的解也是方程x+2y=15③的解，求k。

解：①+②得x=7k，①-②得y= -2k。把x=7k，y=-2k代入③解得k=5。

例10、如果二元一次方程组

的解是二元一次方程3x-5y-28=2③的一个解，那么k为多少。

解：①+②得x=2.5k，①-②得y= -1.5k。把x=2.5k，y=-1.5k代入③解得k=2。

第三类：对于字母x，y，字母k的系数都比较复杂，这类题型我们既可以用第一类的方法先把两个方程利用加减法把k约掉，得到一个“简单”的方程，再和另外一个“简单”的方程组成方程组解出x，y的值，再带入“难”求出k的值。也可以用第二类的方法利用加减法解出x等于几k，y等于几k，再把x等于几k，y等于几k代入“简单”的方程就可求出k的值。

例11、如果二元一次方程组

的解满足二元一次方程x+y=5③，那么k为多少。

第四类：仔细观察x和y的系数特点，有些题目有捷径可以走。

例如：若方程组

的解满足x+y=0③，求m。

解：①+②得3x+3y=2+2m，即x+y=（2+2m）/3因为x+y=0，所以（2+2m）/3=0，解得m=-1。

三、四个方程

例12：已知方程组

和方程组

的解相同，求（2a+b）2013的值。

分析：我们观察①②③④这四个方程，可知道①③这两个方程为“简单”，②④这两个方程为“难”，因此解题的时候可以先由两个“简单”的方程组成方程组求出x和y的值，再代入两个“难”的方程就能解出a和b的值了

解：由①③组成方程组得