两道课本习题引发的思考

彭吴桃

摘 要：本文从两道课本习题出发，从两圆相交、两圆相切（内切或外切）、两圆相离、两圆内含这4个方面探讨了两圆方程相减的几何意义.

关键词：两圆方程；相减；几何意义

人教版高中数学必修2课本第152页有这样两道题：

A组6 已知圆x2+y2=4和圆x2+y2+4x-4y+4=0关于直线l对称，求直线l的方程.

解：两圆心为C1（0，0），C2（-2，2），C1C2斜率为-1，中点为（-1，1），所以直线l斜率为1，过点（-1，1），求得直线l的方程为x-y+2=0.

A组7 求与圆C：（x+2）2+（y-6）2=1关于直线l：3x-4y+5=0对称的圆的方程.

解：设对称圆的圆心（a，b），所以（a，b）与（-2，6）关于l：3x-4y+5=0对称，

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这是两圆关于直线对称的问题，两圆半径相同可以转化成两圆圆心关于直线对称的问题，但是在练习的过程中细心的学生发现了A组6中两圆方程相减即为所求对称直线方程，这是否是必然呢？若是，A组7中圆C与直线l方程相加减为何又不是所求对称圆的方程呢？学生提问引发笔者思考圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0这两圆方程相减的几何意义是什么呢？探讨如下：

当两圆相交时

设A（x1，y1），B（x2，y2）为圆C1和圆C2的交点，则有A（x1，y1），B（x2，y2）满足方程组x2+y2+D1x+E1y+F1=0 ①，

x2+y2+D2x+E2y+F2=0 ②， ①-②得（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0③，A（x1，y1），B（x2，y2）也满足③，所以直线l：（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0表示两圆公共弦所在直线方程.

当两圆相切（内切或外切）时

当把两相交的圆逐渐往两侧移动时，两交点会逐渐靠近，最终重合为一点时，两圆外切，同时与两圆相交的直线l也就与两圆只有一个公共点，直线l成为两外切圆的过同一切点的公切线.因此，直线l：（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0表示两外切圆的过同一切点的公切线. 当把两相交的圆逐渐往中间移动，到两交点逐渐靠近，最终重合为一点时，两圆内切，同时，与两圆相交的直线l也就与两圆只有一个公共点，直线l成为两内切圆的过同一切点的公切线. 因此，直线l：（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0表示两内切圆的公切线.

当两圆相离时

这里首先得了解式子的意义，先看看圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2，当点在圆外的时候表示点P到圆的切线长，所以表示点P到圆的切线长，①-②得：

（x2+y2+D1x+E1y+F1）-（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0，此式可变为：=，即点P到两圆的切线长相等. 因此，直线l的几何意义是：到两相离圆的切线长相等的点的集合.

当两圆内含时

对两圆内含且非同心圆，同3易知，直线l上的点到两圆的切线长相等.

由以上结论可知如果两圆的半径相等，无论是相交、相切、相离，两圆方程相减所得就是两圆的对称轴直线方程. 可见A组6中结果是必然的. A组7中能否由圆方程与直线方程加减得到呢？很快我们发现直线方程的系数进行了一定的化简，所以直接相加减是很容易出错的，以下给出新的解法：

设对称圆的方程为（x+2）2+（y-6）2-1+m（3x-4y+5）=0，即x2+y2+（4+3m）x-（12+4m）y+39+5m=0，半径为1，所以=1，解之得m=-4或0（舍），

整理得对称圆的方程为：（x-4）2+（y+2）2=1.